1、第 12 讲 函数概念与平面直角坐标系1平面直角坐标系考试内容考试要求定义平面内，两条互相 、原点 的数轴组成平面直角坐标系坐标平面内的点与 实数对一一对应b坐标系内点的坐标特征第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 坐标轴上点的坐标特征x 轴负半轴 ；x 轴正半轴 ；y 轴负半轴 ；y 轴正半轴 ；原点 象限角平分线上点的坐标特征一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标_；二、四象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标 注意点 坐标轴上的点不属于任何象限c2.点到坐标轴以及原点的距离考试内容考试要求到 x 轴的距离点 P(a，b) 到 x 轴的距离为_.到 y 轴的距离点 P(a，b)到 y
2、 轴的距离为 到原点的距离点 P(a，b)到原点的距离为 c3.平移与对称点的坐标考试内容考试要求点的平移将点 P(x，y)向右(或向左)平移 a 个单位，得对应点坐标为_；将点 P(x，y)向上(或向下)平移 b 个单位，得对应点坐标为 关于坐标轴对称点 P(x，y)关于 x 轴的对称点坐标为 _；点 P(x，y)关于 y 轴的对称点坐标为 关于原点对称点 P(x，y)关于原点对称的点坐标为 c4.函数的有关概念考试内容考试要求自变量与函数一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，如果对于 x的每一个值，y 都有 的值与之对应，那么 y 是x 的函数，其中 x 是自变量函数的表示
3、方法列表法、图象法、解析法函数自变量的取值范围函数解析式是整式，自变量取值是_；函数解析式是分式，自变量取值使得_；函数解析式是偶次根式，自变量要使得_为非负数；来源于实际问题的函数，自变量要使得实际问题有意义、式子有意义函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作_坐标、_坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象bc考试内容考试要求基本思想数形结合，为分析问题和解决问题创造了直观形象的有利条件，如用函数图象解答相关问题是典型的数形结合思想的应用基本方法平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相等c1(2015金华)点
4、 P(4，3)所在的象限是( ) A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2(2017湖州)在平面直角坐标系中，点 P(1，2)关于原点的对称点 P的坐标是( )A(1，2) B(1，2) C(1，2) D(1，2)3(2017绍兴)均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h随时间 t 的变化规律如图所示 (图中 OABC 为折线)，这个容器的形状可以是( )4(2015台州)如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示 1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区 A 处的位置则椒江区 B 处的坐标是_
5、【问题】点 P(m，12m)是平面直角坐标系上一点，回答下列问题：(1)若点 P 在第四象限，则 m 的取值范围是_；(2)若点 Q(3，4)，且 PQx 轴，则 m 的值是_；(3)点 P 关于 x 轴的对称点为 M(1，3)，则 m 的值是_ ；(4)请你再提出几个与点 P 有关的问题【归纳】通过开放式问题解答和联想可以对本讲知识作条理性的归纳和疏理类型一 建立坐标系确定位置关系(1)(2017潍坊)小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子如图，棋盘中例 1心黑子的位置用(1，0)表示，右下角黑子的位置用(0，1) 表示小莹将第 4 枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置
6、是( ) A(2，1) B(1，1) C(1， 2) D(1，2)(2)以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：甲：从学校向北直走 500 公尺，再向东直走 100 公尺可到图书馆乙：从学校向西直走 300 公尺，再向北直走 200 公尺可到邮局丙：邮局在火车站西方 200 公尺处根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站( )A向南直走 300 公尺，再向西直走 200 公尺B向南直走 300 公尺，再向西直走 600 公尺C向南直走 700 公尺，再向西直走 200 公尺D向南直走 700 公尺，再向西直走 600 公尺(3)某雷达探测目标得到的结果如图所示，
7、若记图中目标 A 的位置为(3，30)，目标B 的位置为 (2，180)，目标 C 的位置为(4，240) ，则图中目标 D 的位置可记为_【解后感悟】(1)首先确定 x 轴、y 轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断； (2)根据描述画出示意图是解题的关键；(3)阅读理解定义，结合图形直观地解答1(1)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的记录根据图中两人的对话记录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为( )A向北直走 700 公尺，再向西直走 100 公尺B向北直走 100 公尺，再向东直走 700 公尺C向北直走 300 公尺，再向西直走 400 公尺D向北直走 400
8、 公尺，再向东直走 300 公尺(2)如图是绍兴市行政区域图，若上虞市区所在地用坐标表示为(1 ，2)，诸暨市区所在地用坐标表示为(5，2)，那么嵊州市区所在地用坐标可表示为_(3)如图，在平面内，两条直线 l1，l 2 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，若 p，q 分别是点 M 到直线 l1，l 2 的距离，则称(p ，q)为点 M 的“距离坐标” 根据上述规定， “距离坐标”是(2 ，1)的点共有_个类型二 平面直角坐标系中点的坐标特征(1)(2017宁波模拟)点 P(a，a3)在第四象限，则 a 的取值范围是_例 2(2)(2017萧山模拟)已知点 A 是直线 x2 上的点，且到 x
9、 轴的距离等于 3，则点 A 的坐标为_(3)(2017通川模拟)已知点 P 的坐标(2 a ，3a6)，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是_【解后感悟】(1)各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键； (2)点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键；(3)点到两坐标轴的距离相等，即到坐标轴形成的角的两边距离相等，这个点一定在各象限的角平分线上.2(1)(2017威海模拟)若点 A(a1，b2)在第二象限，则点 B(a，b1)在第_象限(2)(2017温州模拟)已知点 P 在第二象限，且 P 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为4
10、，则 P 点的坐标为_(3)(2017台州模拟)在平面直角坐标系内，以点 P(1，1)为圆心、 为半径作圆，则该5圆与 y 轴的交点坐标是_(4)(2017宜宾模拟)如果点 P(x，y)的坐标满足 xyxy，那么称点 P 为和谐点请写出一个和谐点的坐标：_.类型三 点的对称和平移(1)在平面直角坐标系中，点 P(3，2) 关于 x 轴的对称点是_，关于 y 轴例 3的对称点是_，关于原点的对称点是_，将点 P 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，则平移后点 P 的坐标为_(2)点 P(4，5) 关于直线 x1 的对称点的坐标是 _，关于直线 y2 的对称点的坐标是_【解后感悟】(1
11、)关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数；关于平移，根据“横坐标，左，右，纵坐标，上，下”的原则进行对坐标的变化；(2)点的对称和平移规律是解题的关键，关于直线 xa 的对称点的坐标用画图方法解决3(1)(2017萧山模拟)点(a2，b2)经过平移变换得到点(a，b) ，则这个平移变换是( )A先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度B先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D先向右平移 2 个单位长度
12、，再向上平移 2 个单位长度(2)(2017上海模拟)已知点 P(3，2)，则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是_，点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是_(3)(2017南京模拟)将点 A(3，2) 沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A，点 A关于 y轴对称的点的坐标是_类型四 确定自变量的取值范围及函数图象(1)(2016南宁)下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是( )例 4【解后感悟】注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点(2)(2015内江)函数 y 中自变量 x 的取值范围是( )2 x
13、1x 1Ax2 Bx2 且 x1 Cx2 且 x1 Dx1【解后感悟】本题是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负(2015台州)图 1 中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度 y(m)与旋例 5转时间 x(min)之间的关系如图 2 所示(1)根据图 2 填表：x(min) 0 3 6 8 12 y(m) (2)变量 y 是 x 的函数吗？为什么？(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径【解后感悟】此类题主要是函数图象的读图能力和函数与实际
14、问题结合的应用要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论而本题是函数图象的动点问题，解决函数图象的动点问题关键是发现 y随 x 的变化而变化的趋势4(1)(2015呼和浩特)如果两个变量 x、y 之间的函数关系如图所示，则函数值 y 的取值范围是( )A3y3B0y2C1y3D0y3(2)(2015荆门)在一次 800 米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程 s(米) 与各自所用时间 t(秒)之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD，则下列说法正确的是( )A甲的速度随时间的增加而增大B乙的平均速度比甲的平均速度大C在起跑后第 180
15、 秒时，两人相遇D在起跑后第 50 秒时，乙在甲的前面类型五 求点的坐标问题(1)已知点 A(4，3)，B(x，3)，若 ABx 轴，且线段 AB 的长为例 65，x_.(2)如图，在平面直角坐标系中，点 A(2，0)，B(0，4)，作 BOC，使BOC 与ABO 全等，则点 C 坐标为_(3)在平面直角坐标系中，已知点 A( ，0) ，B( ，0) ，点 C 在坐标轴上，且5 5ACBC 6，写出满足条件的所有点 C 的坐标_【解后感悟】(1)平行于 x 轴得出纵坐标相等是关键，作出图形更形象直观，要注意全面考虑到各种情况；(2)解题的关键在于根据点 C 的位置分情况讨论全等三角形；(3)解
16、题时，要分类讨论，以防漏解5(1)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2，3)，在坐标轴上找一点 P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点 P 共有_个(2)(2017杭州模拟)已知点 P 在直角坐标系中的坐标为(0 ，1) ，O 为坐标原点，QPO 150，且 P 到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为_【探索规律题】(2015河南)如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆O1，O 2，O 3，组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是( ) 2A(2014，0) B (2015，1)
17、C(2015，1) D(2016，0)【方法与对策】本题是坐标位置确定，根据题目信息探究点的坐标的变化规律，并理解每 4 秒为一个循环组依次循环，这是解题的关键这类探索规律题是中考的热点题【求实际问题时忽视自变量的范围】【问题】矩形的周长是 8 cm，设一边长为 x(cm)，另一边长为 y(cm)(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)作出函数的图象参考答案第 12 讲 函数概念与平面直角坐标系【考点概要】1垂直 重合 有序 (， ) (，) (，) (，) ( ，0) (，0) (0，) ( 0， ) (0，0) 相等 互为相反数 2.|b| |a| 3.(xa，y)或a2 b2(xa，
18、 y) ( x，yb )或(x，yb) ( x，y) ( x，y ) ( x，y) 4.唯一确定 全体实数 分母不等于 0 被开方数 点的横 纵【考题体验】1A 2.D 3.D 4.(10，8 )3【知识引擎】【解析】(1) m ； (2)1.5； (3) 1； (4) 如：点 P 到 x 轴的距离是 2，则 m 的12值是_( 或 )12 32【例题精析】例 1 (1)B；(2)A；(3)(5，120) 例 2 (1) 点 P(a， a3)在第四象限，得 0a 3.故答案为 0a 3； (2) 点 A 是直线 x2 上的点，且到 x 轴的a0，a 30，y0， ) x0，4 x0， ) x0，x4.)(2)图象如图所示
