1、第 21 讲 矩形、菱形与正方形1矩形考试内容考试要求矩形的定义有一个角是 的平行四边形叫做矩形 b(1)矩形具有平行四边形所有的性质(2)矩形的四个角都是 ，对角线互相平分并且 矩形的性质 (3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是 (1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形矩形的判定(3) 的平行四边形是矩形c2.菱形考试内容考试要求菱形的定义有一组 的平行四边形叫做菱形 b(1)菱形具有平行四边形所有的性质(2)菱形的四条边 ，对角线互相 ，并且每条对角线平分一组对角(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图
2、形，它的对称中心就是 菱形的性质(4)菱形的面积等于对角线乘积的 菱形的判 (1)定义法c(2)四条边 的四边形是菱形定(3)对角线 的平行四边形是菱形3.正方形考试内容考试要求正方形的定义有一组邻边 ，并且有一个角是_ 的平行四边形叫做正方形b(1)正方形的四条边 ，四个角都是 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质正方形的性质(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_条，对称中心是对角线的交点(1)有一组邻边相等的_是正方形.(2)有一个角是直角的 是正方形正方形的判定(3)对角线 的四边形是正方形c4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系考
3、试内容考试要求基本方法正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形) ；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)c1(2016杭州)在菱形 ABCD 中，A30，在同一平面内，以对角线 BD 为底边作顶角为 120的等腰三角形 BDE，则EBC 的度数为_ 2(2016衢州)如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线(1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F( 保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由【
4、问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是_(3)如图菱形 ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为 a 的正方形面积是 S a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例12来说明【归
5、纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定类型一 矩形的性质与判定(1)如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件例 1是( )AABCD BACBD CABBC DAC BD(2)如图，在矩形 ABCD 中，有以下结论：AOB 是等腰三角形；S ABO S ADO ；ACBD；ACBD；当ABD 45时，矩形 ABCD 会变成正方形；AC 所在直线为对称轴；矩形 ABCD 的周长是 28，点 E 是 CD 的中点，AC10 时，DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是_【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综
6、合判定； (2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键1(1)(2015南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，B 与 D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )A四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形BBD 的长度增大C四边形 ABCD 的面积不变D四边形 ABCD 的周长不变(2)(2015临沂)如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DEAD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( ) AABBE BDE DC
7、 CADB90 DCEDE2(2017南京模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD6，M，N 分别是 AB，CD的中点，P 是 AD 上的点，且PNB 3CBN.(1)求证：PNM2CBN ；(2)求线段 AP 的长类型二 菱形的性质与判定(1)如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，连结例 2OE，若菱形的边长是 10，一条对角线长是 12，则此菱形的另一条对角线长是_若 OE3，则菱形的周长是 _若ABC60，周长是 16，则菱形的面积是_(2)已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从 AB BC ，ABC90，AC BD， ACBD 四个条
8、件中，选一个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是( )A或 B或 C或 D或【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定3(1)(2015黔东南州)如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DH AB 于H，则 DH( )A. B. C12 D24245 125(2)如图，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，且 DE DF.给出下列条件：BEEC；BFCE；AB AC ；从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认
9、为这个条件是_(只填写序号 )(3) (2016梅州 )如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于 BF 长为半径画弧，两弧交于一点 P，连结12AP 并延长交 BC 于点 E，连结 EF.四边形 ABEF 是_；( 选“矩形” 、 “菱形” 、 “正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)AE，BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF10，则 AE 的长为_，ABC_.(直接填写结果)4如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE2DE，延长 DE 到点 F，使得 EFBE，连结
10、CF.(1)求证：四边形 BCFE 是菱形；(2)若 CE4，BCF 120，求菱形 BCFE 的面积类型三 正方形的性质与判定如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OD、OC例 3上，且 DECF ，连结 DF、AE ，AE 的延长线交 DF 于点 M.求证：AMDF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形5(1)(2015日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题
11、，从下列四个条件：AB BC， ABC90，ACBD，ACBD 中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形 (如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是 ( )A B C D(2)如图，四边形 ABCD 中， ABBC ，ABC CDA 90，BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE( )A2 B3 C2 D22 3(3) (2015黄冈 )如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E.若CBF20，则AED 等于_度6(2017绍兴模拟)如图，正方形 AEFG 的顶点 E、G 在正方形 ABCD 的边 AB、AD上，连结 BF、
12、DF.(1)求证：BFDF ；(2)连结 CF，请直接写出 BE CF 的值( 不必写出计算过程 )类型四 特殊平行四边形的综合运用(2016临沂)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，例 4且 CEBF. 连结 DE，过点 E 作 EGDE，使 EGDE，连结 FG，FC.(1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍
13、然成立？请直接写出你的判断【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形7如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点 E，PFCD 于点F，连结 EF.给出下列五个结论：APEF；APEF ；APD 一定是等腰三角形；PFE BAP；PD EC.其中正确结论的序号是 _28(2016荆州)如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到ACD ，再将ACD 沿 DB 方向平移到ACD的位置，若平移开始后点 D未到
14、达点 B时，AC 交 CD 于 E，D C交 CB 于点 F，连结 EF，当四边形 EDDF为菱形时，试探究ADE 的形状，并判断 ADE 与EFC是否全等？请说明理由【课本改变题】教材母题浙教版八下第 147 页，作业题第 5 题(1)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，AE，BF 交于点O，AOF 90 .求证：BECF；(2)如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E，H ，F，G 分别在边 AB，BC ，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O，FOH 90，EF 4.求 GH 的长；(3)已知点 E，H ，F，G 分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC
15、，CD，DA 上，EF ，GH 交于点 O，FOH 90，EF 4.直接写出下列两题的答案：如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成，求 GH 的长；如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，求 GH 的长( 用 n 的代数式表示)【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形【由于思维定势，对问题考虑不全】若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点，BE 3，M 为线段 AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点
16、 F，且 BFAE ，则 BM 的长为 _参考答案第 21 讲 矩形、菱形与正方形【考点概要】1直角 直角 相等 对角线的交点 对角线相等 2.邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半 相等 互相垂直 3.相等 直角 相等 直角 垂直平分 相等 四 矩形 菱形 互相垂直平分且相等 4.两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角【考题体验】1105或 45 2(1)如图，EF 为所求直线； (2)四边形 BEDF 为菱形，理由为：证明： EF 垂直平分BD， BEDE，DEFBEF，ADBC，DEF BFE ，BEFBFE，BEBF， BFDF ，BEE
17、DDFBF，四边形 BEDF 为菱形【知识引擎】【解析】(1) 根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图如图(2)根据正方形的判定方法进行解答即可即两种常见的方法：一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的菱形是正方形填：一组邻边，直角(3) 本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证结论正确证明：S 正方形ABCDS AOB SAOD S COD S BOC 4 a a a2.12 12 12 12【例题精析】例 1 (1)
18、B；(2) 例 2 (1) 16 24 8 (2) D 3例 3 证明：四边形 ABCD 是正方形，ODOC.又DE CF， ODDEOC CF，即 OFOE，在 RtAOE 和 RtDOF 中，AOEDOF ，OAE ODF.OAE AEO90，AO DO， AOD DOF，OE OF， )AEO DEM ，ODF DEM90，即可得 AMDF. 例 4 (1)FGCE，FGCE；(2)过点 G 作 GHCB 的延长线于点H，EG DE，GEH DEC90，GEH HGE90，DECHGE，在HGE 与CED 中， ，HGECED(AAS)， GHE DCE， HGE DECEG DE， )
19、GHCE，HECD，CE BF，GHBF，GH BF，四边形 GHBF 是矩形，GF BH ，FGCH，FG CE ，四边形 ABCD 是正方形，CD BC， HEBC，HE EB BCEB，BHEC，FGEC. (3) 成立四边形 ABCD 是正方形，BCCD，FBCECD90，在CBF 与DCE 中，CBFDCE(SAS)，BF CE， FBC ECDBC DC， )BCFCDE，CFDE，EGDE，CFEG ， DEEG，DECCEG90，CDEDEC90，CDECEG，BCFCEG，CFEG，四边形 CEGF 是平行四边形，FGCE ，FGCE.【变式拓展】1(1)C (2)B 2.(
20、1)四边形 ABCD 是矩形， M，N 分别是 AB，CD 的中点，MN BC， CBNMNB，PNB3CBN， PNM2CBN； (2)连结AN，根据矩形的轴对称性，可知PANCBN，MN AD，PANANM ，由(1)知PNM2CBN ， PANPNA，APPN ，ABCD4，M，N 分别为AB，CD 的中点， DN2，设 APx，则 PD6x，在 RtPDN 中，PD2DN 2PN 2，(6x) 22 2x 2，解得：x ，所以 AP .103 1033.(1)A (2) (3) 菱形 10 120 34. (1)略； (2)BCF120，EBC60，EBC 是等边三角形，菱形的边长为
21、4，高为 2 ， 菱形的面积为 42 8 . 3 3 35. (1)B (2)C (3)65 6. (1)只要证明BEFDGF(SAS)，BFDF； (2) BFDF，点 F 在对角线 AC 上， ADEFBC ， BE CFAEAFAE AE ，BECF . 222 227. 8.当四边形 EDDF为菱形时，A DE 是等腰三角形， ADEEFC.理由：BCA 是直角三角形，ACB90，ADDB ，CDDADB，DACDCA ，A CAC，DAEA，DEA DCA，DAEDEA ，DADE ，ADE 是等腰三角形，四边形 DEFD是菱形，EF DEDA，EFDD，CEF DAE，EFC CD
22、A，CDC D，ADEADCEFC，在A DE 和EFC中 EA D CEF，A D EF， A DE EFC， )ADE EFC .【热点题型】【分析与解】(1)证明：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，AB BC， ABCBCD90，EABAEB 90.EOBAOF90，FBCAEB90， EABFBC ，ABE BCF，BECF. (2)如图，过点 A 作 AMGH 交 BC 于 M，过点 B 作 BNEF 交 CD 于 N，AM 与 BN 交于点O，则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形，EF BN，GH AM ， FOH90，AMGH，EF BN，NO A 90，故由(1)得，ABMBCN ， AMBN，GHEF4. (3)8 4n.【错误警示】由题中射线 BM 交正方形的一边于点 F 知有如下两种情形：BM 或52 125
