1、第 37 讲 方案设计型问题内容特性方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，依据所建立的数学模型求解，从而设计方案.基本思想运用方程思想、函数思想和数形结合解决方程或不等式方案设计问题，函数方案设计问题，几何方案设计问题.类型一 利用计算和判断比较的方案设计某学校举行演讲比赛，选出了 10 名同学担任评委，并事先拟定从如下 4 个方案例 1中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(
2、满分为 10 分) ：方案 1：所有评委所给分的平均数；方案 2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数；方案 3：所有评委所给分的中位数；方案 4：所有评委所给分的众数为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题1一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径 20 厘米卖价10
3、元，乙种煎饼直径 30 厘米卖价 15 元，请问：买哪种煎饼划算？( )A甲 B乙 C一样 D无法确定类型二 利用方程( 组)的方案设计某乳制品厂现有鲜牛奶 10 吨，若直接销售，每吨可获利 500 元；若制成酸奶销例 2售，每吨可获利 1200 元；若制成奶粉销售，每吨可获利 2000 元该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶 3 吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶 1 吨(两种加工方式不能同时进行)受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完成为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4 天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，
4、并恰好 4 天完成你认为哪种方案获利最多，为什么？【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解2某班组织班团活动，班委会准备用 15 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2 元/本，中性笔 1 元/ 支，且每种奖品至少买 1 件(1)若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x 之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率类型三 利用不等式的方案设计(2016资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买 A、B
5、两种型号的污水处理设备例 3共 8 台，用于同时治理不同成分的污水，若购买 A 型 2 台、 B 型 3 台需 54 万元，购买 A型 4 台、B 型 2 台需 68 万元(1)求出 A 型、 B 型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台 A 型设备一个月可处理污水 220 吨，一台 B 型设备一个月可处理污水 190 吨，如果该企业每月的污水处理量不低于 1565 吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键3(2017绍兴模拟)某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、B 两种型号的电风扇，下表是
6、近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号 B 种型号销售收入第一周 3 台 5 台 1800 元第二周 4 台 10 台 3100 元(进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本)(1)求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由类型四 利用函数的方案设计某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价例 4是 25
7、 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 x(元) 之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择
8、最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值) ，也就是说二次函数的最值不一定在 x 时取得b2a4(2017衢州)“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为 x 小时，租用甲公司的车所需费用为 y1 元，租用乙公司的车所需费用为 y2 元，分别求出 y1，y 2 关于 x 的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算5(2015泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A、B 两种花草，第一次分别购进 A、B 两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 675 元；第二次分别购进 A、B
9、 两种花草 12 棵和5 棵两次共花费 940 元(两次购进的 A、B 两种花草价格均分别相同) (1)A、B 两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买 A、 B 两种花草共 31 棵，且 B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用类型五 利用图形的方案设计某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗例 5杆 AB 顶端 A 垂下一段绳子 ABC 如图经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度(1)请你给出具体的
10、测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则第 2 个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨对于以上 2 种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出6(2017镇江模拟)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子 A，O，B 的位置如图，它们的坐标分别是( 1，1) ，(0，0) ，(1，0)(1)如图 2，添加棋子 C，使四颗棋子 A，O ，B ，C 成为一个轴对称图形，
11、请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子 P，使四颗棋子 A，O，B ，P 成为轴对称图形，请直接写出棋子 P 的位置的坐标( 写出 2 个即可)7(2016海陵模拟)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边长的直角三角形请你设计出所有合适的方案，画出草图，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积【探索研究题】要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案(1)求小亮设计方案中甬路的宽度 x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积
12、( 小颖设计方案中的 x 与小亮设计方案中的 x 取值相同) 【方法与对策】本题是一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型该题型是实际应用和图形变换相结合，是中考命题的方式之一【忽视变量前系数，导致解答不全而出错】为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 180 元，售价 320 元；乙种服装每件进价 150 元，售价 280 元(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共 200 件，恰好用去 32400 元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共 200 件的总利润(
13、 利润售价进价)不少于 26700元，且购进甲服装不超过 80 件，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在 5 月 1 日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠 a(0a20) 元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？参考答案第 37 讲 方案设计型问题【例题精析】例 1 (1)方案 1 最后得分： (3.27.07.83838.49.8)7.7；方案 2 最110后得分： (7.07.838 38.4) 8；方案 3 最后得分： 8；方案 4 最后得分：8 或188.4. (2)因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响，不能反映
14、这组数据的“平均水平” ，所以方案 1 不适合作为最后得分的方案；又因为方案 4 中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案 4 不适合作为最后得分的方案例 2 方案一获利：42000650011000(元) 方案二：设制奶粉 x 天，则1x(4 x) 310，解得 x1 天故 1120003 3120012800(元)故方案二获利最多例 3 (1)设 A 型污水处理设备的单价为 x 万元，B 型污水处理设备的单价为 y 万元，根据题意可得： ，解得： .答：A 型污水处理设备的单价为 12 万元，2x 3y 544x 2y 68) x 12y 10)B 型污水处理设备的单价为 10
15、万元； (2)设购进 a 台 A 型污水处理器，根据题意可得：220a190(8 a)1565，解得： a1.5，A 型污水处理设备单价比 B 型污水处理设备单价高，A 型污水处理设备买越少，越省钱， 购进 2 台 A 型污水处理设备，购进 6 台 B型污水处理设备最省钱 例 4 (1)w(x20)(250 10x 250) 10x 2700x10000； (2)w10x 2700x10000 10(x35) 22250 所以，当 x35 时，w 有最大值 2250，即销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案 A：由题可得 20x30，因为a100，对称轴为 x35，抛物线
16、开口向下，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大，所以，当 x30 时，w 取最大值为 2000 元，方案 B：由题意得解得：45x49，在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，所以，250 10（x 25） 10，x 45， )当 x45 时，w 取最大值为 1250 元，因为 2000 元1250 元，所以选择方案 A. 例 5 (1)测量方案设计如下：测量绳子比旗杆多出的部分 BCam；把绳子 ABC拉紧到地面 D 处如图 1，测量 B 到 D 的距离 BDbm .推算过程：设旗杆的高度为 xm，则AD 是(x a)m.在直角ABD 中，根据 AB2BD 2AD 2 得 x2b 2(xa
17、)2，x 2b 2x 2a 22ax ，解得 x . (2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗b2 a22a杆的方案可能有以下几个：【变式拓展】1B 2. (1)根据题意得：2xy15，y 与 x 之间的关系式为 y152x. (2)购买方案：x1，y13；x2，y11；x3，y9；x4，y7；x5，y5；x6，y3，x7，y1，共有 7 种购买方案 (3)买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为： . 3.(1)设 A、B 两种型号电风扇的销售单17价分别为 x 元、y 元，得： 解得： 答：A 、B 两种型号电风扇3x 5y 1800，4x
18、10y 3100， ) x 250，y 210， )的销售单价分别为 250 元、210 元； (2)设采购 A 种型号电风扇 a 台，依题意得：200a170(30 a)5400，得： a10.答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元；(3)依题意有：(250 200)a(210170)(30a)1400，解得：a20，a10，在(2)的条件下超市不能实现利润 1400 元的目标 4. (1)设 y1k 1x80，把点(1 ，95)代入，可得 95k 180，解得k115，y 115x80(x0)；设 y2k 2x，把(1，30) 代入，可得 30k 2，
19、即k230，y 230x(x0)； (2)当 y1y 2 时，15x80 30x，解得 x ；当 y1y 2 时，16315x8030x，解得 x ；当 y1y 2 时，15x8030x，解得 x ；当租车时间为163 163小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于 小时，选择乙公司合算；当租车时间163 163大于 小时，选择甲公司合算 1635. (1)设 A 种花草每棵的价格 x 元，B 种花草每棵的价格 y 元，根据题意得：，解得： ，A 种花草每棵的价格是 20 元，B 种花草每棵的30x 15y 67512x 5y 940 675) x 20y 5)价格是 5 元 (2)设 A
20、种花草的数量为 m 株，则 B 种花草的数量为(31 m)株，B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍，31m2m ，解得：m ，m 是正整数，313m 最小值 11，设购买树苗总费用为 W20m 5(31m)15m155，k0，W 随m 的减小而减小，当 m11 时，W 最小值 1511155 320(元)答：购进 A 种花草的数量为 11 株、B 种 20 株，费用最省；最省费用是 320 元 6.(1)如图，答案不唯一； (2)(2，1)，(0 ，1)7如图 1 所示：S ABD 81248(m 2)；如图 2 所示： SABD 81040(m 2)；12 12如图 3 所示：在
21、 RtACD 中，AC 2DC 2AD 2，即 82 x2(x 6) 2，解得：x ，故 S73ABD 8 (m2)12 (6 73) 1003【热点题型】【分析与解】(1)根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可根据小亮的设计方案列方程得：(52x)(48 x)2300，解得：x2 或x98(舍去 )， 小亮设计方案中甬道的宽度为 2m； (2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可作 AI CD，HJEF，垂足分别为I，J ，ABCD，160 ，ADI60，BC AD，四边形 ADCB 为平行四边形，BC AD，由(1)得 x2，
22、BCHE2AD，在 RtADI 中，AI 2sin 60. 小颖设计方案中四块绿地的总面积为 5248522482( )22299 平方米3 3【错误警示】(1)设购进甲种服装 x 件，则乙种服装是(200x)件，根据题意得：180x150(200x)32400，解得：x80，200x200 80120(件)，则购进甲、乙两种服装分别为 80 件、120 件； (2)设购进甲种服装 y 件，则乙种服装是(200y) 件，根据题意得：(320180)y(280 150)(200y) 26700，解得： y70，而y80，70y80，又y 是正整数，共有 11 种方案； (3)设总利润为 W 元，W(140 a)y 130(200y)，即 w(10a)y26000. 当 0a 10 时，10a0，W 随y 增大而增大，当 y80 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 80 件，乙种服装 120 件；当 a10 时，(2)中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；当 10a 20 时，10a0，W 随 y 增大而减小当 y70 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 70 件，乙种服装 130 件
