1、第 19 讲 特殊三角形第 1 课时 等腰三角形1等腰三角形考试内容考试要求概念 有两条边 的三角形是等腰三角形 a性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有 条对称轴2性质 1：等腰三角形的两底角 (简写成“等边对 ”)3性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合(简写成“三线合一” )判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形；2有两角相等(简写成“等角对 ”)的三角形是等腰三角形c2.等边三角形考试内容考试要求概念 有 条边相等的三角形叫做等边三角形 a性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于 ；3等边三角形是轴对称图形，共有 条对称
2、轴判定1.三条边相等的三角形是等边三角形；2三个角都 的三角形是等边三角形；3有一个角是 的等腰三角形是等边三角形拓展 S等边ABC ah a2，h a，其中 a 为边长，h 为高12 34 32c考试内容考试要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部c1(2017台州)如图，已知等腰三角形 ABC，ABAC，若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是( )AAEEC BAEBE CEBCBAC DEBC ABE2
3、(2017丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶角的度数是_3(2015义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆OAOB 18cm ，若衣架收拢时，AOB60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是_cm.【问题】如图，在ABC 中，ABAC，BAC 120，AEBE，D 为 EC 中点(1)你能从图中得到哪些信息？(2)求CAE 的度数；(3)求证：ADE 是等边三角形【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识类型一 等腰三角形的性质与判定如图，在ABC 中，BC ，
4、点 D 在 BC 上例 1(1)若顶角 40，则一个底角的度数为_；(2)若一个内角 50，则顶角的度数为_；(3)若一个外角为 100，则顶角的度数为_；(4)若 ADBC，AB6，CD4，则ABC 的周长是_ (5)若 BDDC，B50，则DAC_(6)若ABC 的两条边长为 7cm 和 14cm，则它的底边为_cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答1(1)(2016泰安)如图，在PAB 中，PAPB，M，N ， K 分别是 PA，PB ，A
5、B 上的点，且 AMBK，BN AK，若MKN44，则P 的度数为( )A44 B66 C88 D92(2) (2017绍兴模拟 )如图，长方形 ABCD 中，M 为 CD 中点，今以 B、M 为圆心，分别以 BC 长、MC 长为半径画弧，两弧相交于 P 点若 PBC70，则MPC 的度数为( )A20 B35 C40 D55(3) (2016滨州 )如图，ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且ACCDBDBE，A50 ，则CDE 的度数为( )A50 B51 C51.5 D52.5(4) (2017温州模拟 )如图，等腰ABC 中，ABAC ，AD 平分BAC，点 E 是
6、线段BC 延长线上一点，连结 AE，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 DE10cm ，则 ABBDcm.类型二 等边三角形的性质与判定(1)等边ABC 中，AB4，则它的高为_，ABC 的面积为_；例 2(2) 如图 1，等边ABC 中，CD 是ACB 的平分线，过 D 作 DEBC 交 AC 于E，ABC 的边长为 a，则ADE 的周长是_；(3) 如图 2，等边 ABC 中，D 是 AC 边上的中点，延长 BC 到点 E，使 CECD，则E 的度数为_；(4) 如图 3，等边ABC 中，点 D 为 BC 边上的点，DEBC 交 AB 于 E，DFAC于 F，则EDF 的度数为_【解后感
7、悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题2(1)(2016本溪模拟)如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边ADE，则BED 的度数是 .(2) (2017上海模拟 )如图，以ABC 的三边为边分别作等边 ACD 、ABE、BCF，则下列结论：EBFDFC ；四边形 AEFD 为平行四边形；当ABAC，BAC120时，四边形 AEFD 是正方形其中正确的结论是 .(请写出正确结论的序号)3(2017河北模拟)如图，在等边 ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且BDAE，AD 与 CE 交于点 F.(1)求证：ADCE
8、；(2)求DFC 的度数类型三 等腰三角形构造的分类讨论(2016黄冈模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2，2)，点 Q 在坐标轴上，例 3PQO 是等腰三角形，则满足条件的点 Q 共有_个【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点 Q(即分类讨论 )，以及利用勾股定理求出 OP 的长4(1)(2017西宁模拟)如图，等腰直角三角形 BDC 的顶点 D 在等边三角形 ABC 的内部，BDC90 ，连结 AD，过点 D 作一条直线将ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是_度(2) (2016丹东模拟 )如图，
9、边长为 6 的正方形 ABCD 内部有一点P，BP 4，PBC60，点 Q 为正方形边上一动点，且PBQ 是等腰三角形，则符合条件的 Q 点有 个类型四 等腰三角形的探究问题(1)问题发现例 4如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D 、E 在同一直线上，连结 BE.填空：AEB 的度数为_；线段 AD、BE 之间的数量关系是 _(2)拓展探究如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连结 BE.请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图 3，在
10、正方形 ABCD 中，CD .若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直接2写出点 A 到 BP 的距离【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键它是中考的热点题型5(2016江西模拟)有一三角形纸片 ABC，A80，点 D 是 AC 边上一点，沿 BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则C 的度数可以是 .类型五 等腰三角形的综合运用(2016石家庄模拟)如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，例 5BOC，将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC，连结 O
11、D.(1)求证：COD 是等边三角形；(2)当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由；(3)探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法( 如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)6(2016河南)(1) 发现如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb.填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 .(用含 a，b 的式子表示)(2)应用点 A
12、 为线段 BC 外一动点，且 BC3，AB1.如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连结 CD，BE.请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；直接写出线段 BE 长的最大值图 1 图 2(3)拓展如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2 ，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2， PMPB ，BPM90.请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标【探索研究题】(2016菏泽)如图， ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连结 BE.(1)如图 1，若CAB C
13、BACDECED50.求证：ADBE；求AEB 的度数(2)如图 2，若ACB DCE 120，CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE中 AE 边上的高，试证明：AE2 CM BN.3233【方法与对策】(1)通过角的计算找出ACDBCE ，再结合ACB 和DCE 均为等腰三角形可得出“ACBC，DCEC ”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出ACD BCE，由此即可得出结论 ADBE；结合中的ACDBCE 可得出ADC BEC，再通过角的计算即可算出AEB 的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1) 的结论，通过解直角三角形即可求出线段A
14、D、DE 的长度，二者相加即可证出结论这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题这类问题是中考的热点题型【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(2015西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 20，则顶角的度数是 .参考答案第 19 讲 特殊三角形第 1 课时 等腰三角形【考点概要】1相等 一 相等 等角 中线 高 等边 2.三 60 三 相等 60【考题体验】1C 2.100 3.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性 (2)根据等腰三角形两底角相等求出B30，BAE B30，CAE1203090； (3)
15、根据直角三角形斜边上的中线性质得出 AD ECED DC，得出12DAC C 30，EAD 60，ADE 是等边三角形【例题精析】例 1 (1)70 (2)80 或 50 (3)80或 20 (4)20 (5)40 (6)7 例 2 (1)2 ；4 ；(2) a；(3)30；(4)60 3 332例 3 P(2，2)，OP 2 ，当点 Q 在 y 轴上时，Q 点的坐标分别为(0，2 )，22 22 2 2(0，2 )，(0，4)，(0，2)；当点 Q 在 x 轴上时，Q 点的坐标分别为(2 ，0)，( 2 ，0)，2 2 2(4，0)，(2 ，0)所以共有 8 个故答案为：8. 例 4 (1)
16、 60 ADBE； (2)AEB90；AE 2CM BE. 理由：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，AC BC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，ACD BCE， ADBE， BEC ADC135.AEBBECCED1354590.在等腰 RtDCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，CMDM ME，DE 2CM.AE DEAD2CM BE. (3) 或 .3 12 3 12PD 1，BPD90， BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的D 的切线，点 P 为切点第一种情况：如图 1，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 P，可证APDAPB，PD
17、PB 1，CD ，BD 2，BP ，AM PP (PBBP) .2 312 12 3 12第二种情况如图 2，可得 AM PP (PBBP) . 12 12 3 12例 5 (1)将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， CO CD，OCD 60，COD 是等边三角形 (2)当 150时，AOD 是直角三角形理由是：将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，BOCADC，ADC BOC 150，又COD 是等边三角形，ODC 60，ADO ADCODC90，150，AOB110，COD60，AOD 360AOBCOD3601501106040，AOD 不是等腰直角三角形，
18、即AOD 是直角三角形 (3) 要使 AOAD ，需AOD ADO，AOD36011060 190，ADO60，19060，125；要使 OAOD，需OADADO.OAD180(AODADO)180(190 60)50，6050，110；要使 OD AD，需OADAOD.AOD36011060 190，OAD120 ，190 120 ，解得 140.综上所述：当180 （ 60）2 2 2的度数为 125或 110或 140时，AOD 是等腰三角形【变式拓展】1(1)D (2)B (3)D (4)10 2.(1)45 (2) 3.(1) 略 (2)60 . 4.(1)120 和150 (2)5
19、 5.25 或 40或 106.(1)CB 的延长线上 ab (2)DCBE，理由如下：ABD 和ACE 为等边三角形，ADAB，ACAE ，BAD CAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB.DCBE.BE 的最大值是 4. (3)AM 长的最大值是 32 ，点 P 的坐标为2(2 ， )2 2【热点题型】【分析与解】(1)CABCBA CDECED50，ACBDCE 180 25080.ACBACDDCB，DCEDCBBCE， ACDBCE. ACB 和DCE 均为等腰三角形，ACBC，DCEC. 在ACD 和BCE 中，AC BC， ACDBCE，DCEC，ACD
20、 BCE(SAS)，AD BE. ACD BCE， ADC BEC. 点 A，D ，E 在同一直线上，且CDE50，ADC 180CDE 130，BEC 130.BECCEDAEB，且CED50，AEBBECCED13050 80. (2)ACB 和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE120，CDMCEM (180120)1230.CM DE，CMD90，DM EM.在 RtCMD 中，CMD90，CDM30，DE2DM2 2 CM.BECADC18030CMtan CDM 3150，BECCEM AEB，AEBBECCEM15030120，BEN18012060.在 RtBNE 中，BNE90，BEN60，BE BN.ADBE，AE ADDE，AEBEDE2 CM BN.BNsin BEN 233 3 233【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部即可求得顶角是 9020110；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是 902070.故答案为：110或 70.
