1、第 25 讲 几何作图尺规作图考试内容考试要求尺规作图 作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺基本作图(尺规作图)作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.利用基本作图作三角形 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形利用基本作图作圆过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形作图题的一般步骤(1)分析、画草图；(2) 写已知、求作； (3)作图；(4)结论； (5)证明(常不作要求) 注意点在尺规作图中，了解作图的道理，
2、保留作图的痕迹，不要求写出作法b考试内容考试要求基本思想分类讨论：作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形，要分清问题有一个解、多个解或者没有解基本方法根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案c1(2017衢州)下列四种基本尺规作图分别表示： 作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( )A B C D2(2015衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画 RtABC，使其斜边 ABc，一条直角边 BCa.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB 是直角的依
3、据是( )A勾股定理B直径所对的圆周角是直角C勾股定理的逆定理D90的圆周角所对的弦是直径3(2016丽水)用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误的是( )【问题】如图，已知线段 a. (1)只用直尺(没有刻度的尺 )和圆规，求作一个直角三角形 ABC，以 AB 和 BC 分别为两条直角边，使 ABa，BC a(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；12(2)若在(1)作出的 RtABC 中，AB4cm，求 AC 边上的高；(3)通过(1)(2)的解答，请你联想几何作图有哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理基本作图，其中求作三角形包括：已知三角形的
4、两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形作图题的一般步骤：分析、画草图；写已知、求作；作图；结论；证明(常不作要求)注意：作图中一般要保留作图痕迹类型一 利用尺规作直线、角和三角形(2016孝感)如图，在 RtABC 中，ACB 90.例 1(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：作ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D；过点 D 作 AC 的垂线，垂足为点 E；(2)在(1)作出的图形中，若 CB4，CA6，则 DE . 【解后感悟
5、】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作要注意几点：(1)熟练掌握几种基本图形的作法(2)分析尺规基本作图问题的解决过程，写好作图的主要画法，并完成作图(3)尺规作图的关键在于：先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么 读清题意后，再运用几种基本作图方法，可以组合应用解决问题1(1)(2017上海模拟)如图，用尺规作图：“过点 C 作 CNOA ”，其作图依据是( )A同位角相等，两直线平行B内错角相等，两直线平行C同旁内角相等，两直线平行D同旁内角互补，两直线平行(2) (2015嘉兴 )数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图
6、，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQl 于点 Q.”分别作出了下列四个图形其中作法错误的是( )2(2016台湾)如图，ABC 中，A60，B58 .甲、乙两人想在ABC 外部取一点 D，使得ABC 与 DCB 全等，其作法如下：(甲)1.作A 的角平分线 L.2以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 L 于 D 点，则 D 即为所求(乙)1.过 B 作平行 AC 的直线 L.2过 C 作平行 AB 的直线 M，交 L 于 D 点，则 D 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A两人皆正确 B两人皆错误C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确类型二
7、利用尺规作点如图，已知弧 AB.求作：例 2(1)确定弧 AB 所在圆的圆心 O；(2)过点 A 且与 O 相切的直线( 要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)【解后感悟】本题是基本作图，以及线段垂直平分线的作法和性质等知识运用，认真分析揣摩所给的信息，结合题目要求思考是解题的关键3(2015深圳)如图，已知 ABC，ABBC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PAPCBC ，则下列选项正确的是( )4A，B 是平面上的两个定点，在平面上找一点 C，使ABC 构成等腰直角三角形，且 C 为直角顶点请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写
8、作法)5作图题(只保留作图痕迹，不写作法 )(1)如图 1，作已知三角形的外接圆；(2)如图 2，作已知三角形的内切圆；(3)如图 3，作已知圆的内接六边形类型三 利用几何作图设计图形(2016宁波)下列 33 网格图都是由 9 个相同的小正方形组成，每个网格图中有例 33 个小正方形已涂上阴影，请在余下的 6 个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)选取 1 个涂上阴影，使 4 个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)选取 1 个涂上阴影，使 4 个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)选取 2 个涂上阴影，使 5 个阴影小正方形组成一个轴对称图形
9、(请将三个小题依次作答在图 1、图 2、图 3 中，均只需画出符合条件的一种情形)【解后感悟】掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键(2016江西)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中一例 4个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹(1)在图 1 中画出一个 45角，使点 A 或点 B 是这个角的顶点，且 AB 为这个角的一边；(2)在图 2 中画出线段 AB 的垂直平分线【解后感悟】本题是作图应用设计，解题的关键是灵活应用正方形、长方形、等腰直角三角形的性质解决问题6如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是 1，
10、标号为，的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处 )请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为，的三个三角形分别对应全等(1)图甲中的格点正方形 ABCD；(2)图乙中的平行四边形 ABCD.注：分割线画成实线类型四 利用几何作图的计算和判断如图，点 D 在ABC 的 AB 边上，且ACD A.例 5(1)作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系(不要求证明) 【解后感悟】这类问题往往是根据几种基本作图法作出图形，再利用作好的图形解决问题，需要同学们能准确
11、地作出图形，并能明确作图过程中所用的知识，这样才有利于我们解决以下的证明或计算问题7(2015邗江模拟)如图，是一张平行四边形纸片 ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：乙：分别作A甲 ：连 结 AC， 作 AC的 中 垂 线 交 AD、BC于 E、F， 则 四 边 形 AFCE是 菱 形 .与B 的平分线 AE、BF，分别交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，则四边形 ABEF 是菱形对于甲、乙两人的作法，可判断( )A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确C甲、乙均正确 D甲、乙均错误8(2016南宁模拟)如图，在 ABC 中，ABAC，D 为 BC 边的中
12、点，AE BC.(1)作ADC 的平分线 DF，与 AE 交于点 F；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若 AD2 ，求 DF 的长类型五 利用几何作图解决实际问题两个城镇 A、B 与两条公路 l1、l 2 位置如图所示，电信部门需在 C 处修建一座信例 6号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l 2 的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)【解后感悟】本题借助实际场景，利用几何基本作图、线段垂直平分线和角平分线的性质运用题中符合条件的点 C
13、有 2 个，注意避免漏解9(2017温州)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形如图，已知整点 A(2，3)，B(4，4)，请在所给网格区域(含边界) 上按要求画整点三角形(1)在图 1 中画一个PAB，使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标；(2)在图 2 中画一个PAB，使点 P，B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的 4 倍【探索研究题】如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图(1)在图 1 中，画出ABC 的三条高的交点；(2)在图 2 中，画出ABC 中
14、AB 边上的高【方法与对策】本题属创新作图题，是中考热点题型之一，也是中考命题的方向考查同学们对圆的性质的理解、读图能力，题(1) 是要作点，题 (2)是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角” 【忽视求作要求】已知三角形的两边和其中一边上的中线长，利用尺规，求作这个三角形已知：线段 a，b 为两边，m 为边 b 的中线，求作：ABC，使 BCa，ACb，且AMMC ，BMm.参考答案第 25 讲 几何作图【考题体验】1C 2.B 3.D【知识引擎】【解析】(1) 画法略如图 1，ABC 是所求的三角形 (2)如图2，AB a4，BC a2，AC 2 ，AC 边上的
15、高 BD 12 42 22 5 4225 45.5(3)几何基本作图，作图的一般步骤，尺规作图和一般作图的区别【例题精析】例 1 (1)如图所示； (2) DC 是ACB 的平分线，BCDACD，DE AC，BCAC，DE BC ，EDCBCD，ECDEDC，DECE，DE BC，ADEABC ， ，设 DECEx，则DEBC AEACAE6 x， ，解得： x ，即 DE ，故答案为： . x4 6 x6 125 125 125例 2 (1)在 上取点 C，连结 AC、BC，画 AC、BC 的中垂线，交于点 O； (2) 连AB 结 OA，过点 A 画 ATOA.例 3 (1)如图 1 所示
16、； (2)如图 2 所示； (3)如图 3 所示例 4 (1)如图所示，ABC 45.(AB、AC 是小长方形的对角线) (2)线段 AB 的垂直平分线如图所示，点 M 是长方形 AFBE 的对角线的交点，点 N 是正方形 ABDC 的对角线的交点，直线 MN 就是所求的线段 AB 的垂直平分线例 5 (1)如图所示： (2)DEAC.DE 平分BDC，BDE BDC，ACDA，ACDA BDC，A BD12 12C， ABDE，DE AC.例 6 (1)作出线段 AB 的垂直平分线； (2)作出角的平分线 (2 条)；它们的交点即为所求作的点 C(2 个)【变式拓展】1(1)B (2)A 2
17、.D 3.D 4.因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等，且C90，故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图如图，故符合题意的点有 2 个5略 6.(1)如图 1 所示 (2) 如图 2 所示7C 8.(1)如图所示： (2)ABAC，D 为 BC 边的中点，ADBC 即ADC90，又DF 平分 ADC，ADF 45，又AE BC，DAFADC 90，ADF 为等腰直角三角形，又 AD2，DF2 . 29.(1)设 P(x，y)，由题意 xy 2，P(2，0)或(1 ，1)或(0，2)，其中(0，2) 不合题意，舍去，PAB 如图所示 (2)设 P(x，y)，由题意 x2
18、4 24(4 y)，整数解为(2，1) 或(0，0)等，PAB 如图所示【热点题型】【分析与解】图 1 点 C 在圆外，要画三角形的高，就是要过点 B 作 AC 的垂线，过点A 作 BC 的垂线，但题目限制了作图的工具( 无刻度的直尺，只能作直线或连结线段)，说明必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在) ，作高就是要构造 90 度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为 90 度” 设 AC 与圆的交点为 E，连结BE，就得到 AC 边上的高 BE；同理设 BC 与圆的交点为 D，连结 AD，就得到 BC 边上的高 AD，则 BE 与 AD 的交点就是ABC 的三条高的交点；题(2)是题(1)的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题(1)的启发，我们能够作出 ABC 的三条高的交点 P，再作射线 PC 与 AB 交于点 D，则 CD 就是所求作的 AB 边上的高在图 1 中，点 P 即为所求；在图 2 中，CD 即为所求【错误警示】作线段 BCa，MC b，BMm.延长线段 CM 至 A，使12MACM. 连结 BA，则ABC 为所求作的三角形
