1、A 级1(2016全国卷甲)若 cos ，则 sin 2( )(4 ) 35A. B725 15C D15 725解析： 因为 cos ，(4 ) 35所以 sin 2cos cos 2 2cos 2 12 1 .(2 2) (4 ) (4 ) 925 725答案： D2已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A ，b2acos 3B，c 1，则 ABC 的面积等于( )A. B32 34C. D36 38解析： 由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin ，又 B(0，)，所以 B ，3 3 3又 A B，则 ABC 是正三角
2、形，3所以 SABC bcsin A 11 .12 12 32 34答案： B3已知 sin cos ，则 cos 2( )(6 ) (6 )A1 B1C. D012解析： 因为 sin cos ，所以 cos sin cos sin ，即(6 ) (6 ) 12 32 32 12sin cos ，所以 tan 1，所以 cos 2cos 2sin 2(12 32) (12 32) sin cos 0.cos2 sin2sin2 cos2 1 tan2tan2 1答案： D4设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为
3、( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析： 因为 bcos Cccos Bb cb2 a2 c22ab c2 a2 b22acb2 a2 c2 c2 a2 b22a aasin A，所以 sin A1.2a22a因为 A(0，)，所以 A ，即 ABC 是直角三角形2答案： B5在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 SABC 2 ，ab6， 2cos C，则 c( )3acos B bcos AcA2 B27 3C4 D3 3解析： 因为 1，所以 2cos C1，acos B bcos Ac sin Acos B sin Bcos Asin C
4、 sinA BsinA B所以 C .又 SABC2 ，则 absin C2 ，所以 ab8.因为 ab6，所以3 3 12 3c2a 2b 22ab cos C( ab) 22abab(ab) 23ab 623812，所以 c2 .3答案： B6(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A ，则 B_.解析： 法一：由 2bcos B acos Cccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又 ABC ，AC B.2sin Bcos Bs
5、in(B )sin B又 sin B0，cos B .B .12 3法二：在ABC 中，acos C ccos Ab，条件等式变为 2bcos Bb，cos B .12又 0B，B .3答案： 37如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20的方向上，仰角为 60；在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40的方向上，仰角为 30.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD_m.解析： 分析题意可知，设 CDh， 则 AD ，BD h，在ADB 中，ADB180h3 320 40120，由余弦定理得 AB2BD 2AD 22BD
6、 ADcos 120，可得13023h 2 2 h ，解得 h10 ，故塔的高度为 10 m.h23 3 h3( 12) 39 39答案： 10 398在ABC 中，三内角 A，B，C 对应的三边分别为 a，b，c，若( ac) c2 BA BC 0，则 cos B 的值为_CB AC 解析： 已知可化为( ac)cacos Bc abcos(C)0，即( ac)cos Bbcos 2 2C0， acos Bc cos Bbcos C，由正弦定理得， sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，即2 2sin Acos Bsin(BC)sin A， sin A0，cos B
7、.222答案： 229已知 ， (0，)，且 tan 2，cos .7210(1)求 cos 2 的值；(2)求 2 的值解析： (1)因为 tan 2，所以 2，即 sin 2cos .sin cos 又 sin2cos 21，解得 sin2 ，cos2 .45 15所以 cos 2cos 2sin 2 .35(2)因为 (0，)，且 tan 2，所以 .(0，2)又 cos 2 0，故 2 ，sin 2 .35 (2，) 45由 cos ，(0，)，得 sin ， .7210 210 (2，)所以 sin(2 )sin 2cos cos 2sin .45 ( 7210) ( 35) 210
8、 22又 2 ，所以 2 .( 2，2) 410(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求 ABC 的周长解析： (1)由题设得 acsin B ，12 a23sin A即 csin B .12 a3sin A由正弦定理得 sin Csin B .12 sin A3sin A故 sin Bsin C .23(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C ，12即 cos(BC) .所以 BC ，故 A .12 23 3由题设得 bc
9、sin A ，a3，所以 bc8.12 a23sin A由余弦定理得 b2c 2bc 9，即(bc )23bc 9.由 bc8，得 bc .33故ABC 的周长为 3 .33B 级1已知ABC 中，三内角 A，B，C 对应的三边分别为 a，b，c，若 a2，sin C2sin B 且 sin Acos B sin Asin Bsin Csin B，则 c 的值为( )3A. B33 233C. D3433解析： sin Acos B sin Asin Bsin Csin B 可化为 sin Acos B sin Asin Bsin 3 3Acos Bcos Asin Bsin B，即 sin
10、，A ，又 sin Acos Bcos Asin B2sin B，则(A 6) 12 3tan B ，B ，则 C ，c ，故选 D.33 6 2 asin A 433答案： D2(2017咸阳模拟)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c 2，sin A(1 cos C)sin Bsin C，b6， AB 边上的点 M 满足 2 ，a2sin2A b2sin2B AM MB 过点 M 的直线与射线 CA，CB 分别交于 P，Q 两点，则 MP2MQ 2 的最小值是( )A36 B37C38 D39解析： 由正弦定理，知 2c 2，即 22sin 2C，sin C
11、1，C ，a2sin2A b2sin2B 2sin A(1cos C)sin Bsin C，即 sin Asin B，AB .以 C 为坐标原点建立如图所示4的平面直角坐标系，则 M(2,4)，设MPC， ，则(0，2)MP2MQ 2 (sin 2cos 2) 204tan 2 36，当且仅16sin2 4cos2 ( 16sin2 4cos2) 16tan2当 tan 时等号成立，即 MP2MQ 2的最小值为 36.2答案： A3已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c， A 为锐角，向量 m(2sin A， )，n ，且 mn.3 (cos 2A，2cos2A2 1)(1
12、)求 A 的大小；(2)如果 a2，求ABC 面积的最大值解析： (1)由 mn，可得 2sin A cos 2A0，即 2sin Acos A cos (2cos2A2 1) 3 32A0，所以 sin 2A cos 2A，即 tan 2A .3 3因为 A 为锐角，故 02A180，所以 2A120，A60.(2)如果 a2，在ABC 中，由余弦定理 a2b 2c 22bccos A，可得4b 2c 2bc2bc bcbc，即 bc4，所以 S bcsin A 4 ，12 12 32 3故ABC 面积的最大值为 .34如图，在一条海防警戒线上的点 A、B、C 处各有一个水声检测点，B、C
13、两点到 A的距离分别为 20 千米和 50 千米，某时刻 B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 秒后A、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米，用 x 表示 B、C 到 P 的距离，并求出 x 的值；(2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离解析： (1)依题意，有 PAPCx， PBx1.58x12.在PAB 中，AB20，cos PAB ，PA2 AB2 PB22PAAB x2 202 x 1222x20 3x 325x同理，在PAC 中，AC50，cos PAC .PA2 AC2 PC22PAAC x2 502 x22x50 25xcos PABcos PAC， ，3x 325x 25x解得 x31.(2)作 PDAC 于点 D，在ADP 中，由 cos PAD ，2531得 sinPAD ，1 cos2PAD42131PDPAsinPAD31 4 .42131 21故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 千米21
