1、15.2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题知识点一 直线与平面平行的性质思考 1 如图，直线 l平面 ，直线 a平面 ，直线 l 与直线 a 一定平行吗？为什么？答案 不一定，因为还可能是异面直线思考 2 如图，直线 a平面 ，直线 a平面 ，平面 平面 直线 b，满足以上条件的平面 有多少个？直线 a， b 有什么位置关系？答案 无数个， a b.梳理 性质定理文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行符号语言 a
2、 ， a ， ba b2图形语言知识点二 平面与平面平行的性质观察长方体 ABCD A1B1C1D1的两个面：平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1.思考 1 平面 A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面 ABCD 吗？答案 是的思考 2 若 m平面 ABCD， n平面 A1B1C1D1，则 m n 吗？答案 不一定，也可能异面思考 3 过 BC 的平面交平面 A1B1C1D1于 B1C1， B1C1与 BC 是什么关系？答案 平行梳理 性质定理文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言 ， a， ba b图形语言知识点三 平行关系的相互转化1若直线 l 不
3、平行于平面 ，则直线 l 就不平行于平面 内的任意一条直线( )2若平面 平面 ， l平面 ， m平面 ，则 l m.( )3夹在两平行平面的平行线段相等( )类型一 线面平行的性质定理的应用3例 1 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 交于点 O， M 是PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证： AP GH.考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题证明 连接 MO.四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点又 M 是 PC 的中点， AP OM.又 AP平面 BDM
4、， OM平面 BDM， AP平面 BDM.又 AP平面 APGH，平面 APGH平面 BDM GH， AP GH.引申探究如图，在三棱锥 P ABQ 中， E， F， C， D 分别是 PA， PB， QB， QA 的中点，平面 PCD平面QEF GH.求证： AB GH.证明 因为 D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP 的中点，所以 EF AB， DC AB.所以 EF DC.4又 EF平面 PCD， DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCD GH，所以 EF GH.又 EF AB，所以 AB GH.反思与感悟 线面 线线
5、在空间平行关系中，交替使用线线平行、线 面 平 行 的 性 质 线 面 平 行 的 判 定线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键跟踪训练 1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则线段 FE 的长度为_考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质求线段长度答案 2解析 EF平面 AB1C，又平面 ADC平面 AB1C AC， EF平面 ADC， EF AC， E 是 AD 的中点， EF AC 2 .12 12 2 2类型二 面面平行的性质定理的应用例 2 如图，平面 ， A， C ， B， D
6、，直线 AB 与 CD 交于点 S，且AS8， BS9， CD34，求 CS 的长5考点 平面与平面平行的性质题点 利用性质求线段长解 设 AB， CD 都在平面 上，因为 AC， BD，且 ，所以 AC BD，所以 SAC SBD，所以 ，SCSC CD SASB即 ，SCSC 34 89所以 SC272.引申探究若将本例改为：点 S 在平面 ， 之间(如图)，其他条件不变，求 CS 的长解 设 AB，CD 共面 ， AC， BD.因为 ，所以 AC 与 BD 无公共点，所以 AC BD，所以 ACS BDS，所以 .ASBS CSDS设 CS x，则 ，所以 x16，x34 x 89即 C
7、S16.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练 2 已知：平面 平面 平面 ，两条直线 l， m 分别与平面 ， ， 相6交于点 A， B， C 和点 D， E， F，如图所示，求证： .ABBC DEEF考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算证明 如图，连接 DC，设 DC 与平面 相交于点 G，则平面 ACD 与平面 ， 分别相交于直线 AD， BG，平面 DCF 与平面 ， 分别相交于直线 GE， CF.因为 ， ，所以 BG AD， GE CF.于是，得 ， ，所以 .ABBC DGGC DGGC DEEF ABBC DEEF类型三 平行关系的综合应
8、用命题角度 1 由面面平行证明线面平行例 3 设 AB， CD 为夹在两个平行平面 ， 之间的线段，且直线 AB， CD 为异面直线，M， P 分别为 AB， CD 的中点求证： MP平面 .考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化证明 如图，过点 A 作 AE CD 交平面 于点 E，连接 DE， BE. AE CD， AE， CD 确定一个平面，设为 ，则 AC， DE.又 ， AC DE，取 AE 的中点 N，连接 NP， MN，7 M， P 分别为 AB， CD 的中点， NP DE， MN BE.又 NP ， DE ， MN ， BE ， NP ， MN ， NP
9、 MN N，平面 MNP . MP平面 MNP， MP ， MP .反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且CM DN. 求证： MN平面 AA1B1B.考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化证明 如图，作 MP BB1交 BC 于点 P，连接 NP， MP BB1， .CMMB1 CPPB BD B1C， DN CM，8 B1M BN. ， NP CD AB.CPPB DN
10、NB NP平面 AA1B1B， AB平面 AA1B1B， NP平面 AA1B1B. MP BB1， MP平面 AA1B1B， BB1平面 AA1B1B， MP平面 AA1B1B，又 MP平面 MNP， NP平面 MNP， MP NP P，平面 MNP平面 AA1B1B. MN平面 MNP， MN平面 AA1B1B.命题角度 2 探索性问题例 4 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， A1B1的中点是 P，过点 A1作与截面 PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积考点 题点 解 能，如图，取 AB， C1D1的中点 M， N，连接 A1M， MC， CN
11、， NA1.平面 A1C1平面 AC，平面 A1C平面 A1C1 A1N，平面 AC平面 A1C MC， A1N MC.同理， A1M NC.四边形 A1MCN 是平行四边形 C1N C1D1 A1B1 A1P， C1N A1P，12 12四边形 A1PC1N 是平行四边形， A1N PC1且 A1N PC1.同理， A1M BP 且 A1M BP.又 A1N A1M A1， C1P PB P，平面 A1MCN平面 PBC1.9故过点 A1与截面 PBC1平行的截面是 A1MCN.连接 MN，作 A1H MN 于点 H.由题意，易得 A1M A1N ， MN2 .5 2 MH NH ， A1H
12、 .2 3故 1ACNS 12 2 2 .12 2 3 6反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面跟踪训练 4 如图所示，已知 P 是 ABCD 所在平面外一点， M， N 分别是 AB， PC 的中点，平面 PBC平面 PAD l.(1)求证： l BC；(2)MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题(1)证明 因为 BC AD， BC平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BC平面 PAD.又因为平面 PBC平面 PAD l，所以 BC l.(2)解 平行证明如下：如图，取 PD 的中点
13、E，连接 AE， NE，可以证得 NE AM 且 NE AM，所以四边形 MNEA 是平行四边形，所以 MN AE.又 AE平面 PAD， MN平面 PAD，所以 MN平面 PAD.101如图所示，在三棱锥 S ABC 中， E， F 分别是 SB， SC 上的点，且 EF平面 ABC，则( )A EF 与 BC 相交 B EF BCC EF 与 BC 异面 D以上均有可能考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质判定位置关系答案 B解析 EF平面 ABC，而平面 SBC平面 ABC BC，EF平面 SBC， EF BC.2直线 a平面 ， 内有 n 条直线交于一点，则这 n 条直线中与直线 a
14、 平行的直线有( )A0 条 B1 条C0 条或 1 条 D无数条考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质判定位置关系答案 C解析 过直线 a 与交点作平面 ，设平面 与 交于直线 b，则 a b，若所给 n 条直线中有 1 条是与 b 重合的，则此直线与直线 a 平行，若没有与 b 重合的，则与直线 a 平行的直线有 0 条3给出四种说法：若平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 ；若平面 平面 ，直线 a 与 相交，则 a 与 相交；若平面 平面 ， P ， PQ ，则 PQ ；若直线 a平面 ，直线 b平面 ，且 ，则 a b.其中正确说法的序号是_考点 平行问题的综合应用题点 线线、
15、线面、面面平行的相互转化答案 解析 正确，因为平面 与 没有公共点；正确，若直线 a 与平面 平行或直线 a ，则由平面 平面 ，11知 a 或 a 与 无公共点，这与直线 a 与 相交矛盾，所以 a 与 相交正确，如图所示，过直线 PQ 作平面 ， a， b，由 得 a b，因为 PQ ， PQ .所以 PQ b，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线 a 与直线 PQ 重合，因为a ，所以 PQ ；错误，若直线 a平面 ，直线 b平面 ，且 ，则 a 与 b 平行、相交和异面都有可能4.如图所示，直线 a平面 ， A ，并且 a 和 A 位于平面 两侧，点 B， C a，
16、 AB， AC分别交平面 于点 E， F，若 BC4， CF5， AF3，则 EF_.考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质求线段长度答案 32解析 由于点 A 不在直线 a 上，则直线 a 和点 A 确定一个平面 ，所以 EF.因为 a平面 ， a平面 ，所以 EF a.所以 .EFBC AFAC所以 EF .AFBCAC 345 3 325.如图， AB 是圆 O 的直径 ，点 C 是圆 O 上异于 A， B 的点， P 为平面 ABC 外一点， E， F 分别是 PA， PC 的中点记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明12
17、考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题解 直线 l平面 PAC.证明如下：因为 E， F 分别是 PA， PC 的中点，所以 EF AC.又 EF平面 ABC，且 AC平面 ABC，所以 EF平面 ABC.而 EF平面 BEF，且平面 BEF平面 ABC l，所以 EF l.因为 l平面 PAC， EF平面 PAC，所以 l平面 PAC.1空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定” ，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题1.如图所示的三棱柱 ABCA1B1
18、C1中，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于直线 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( )13A异面B平行C相交D以上均有可能考点 平面与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题答案 B解析 由面面平行的性质定理，可得 DE A1B1，又 A1B1 AB，所以 DE AB.2如图所示， P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC， 分别交线段PA， PB， PC 于点 A， B， C.若 PA AA23，则 S A B C S ABC等于( )A225 B425C25 D45考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算答案 B解析 平面 平面 ABC，平面 PA
19、B 与它们的交线分别为 A B， AB， A B AB.同理 B C BC， A C AC，从而易得 A B C ABC，且 ，A BAB PAPA 25 S A B C S ABC 2 .(A BAB ) 4253如图，在四面体 A BCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的是( )14A AC BDB AC截面 PQMNC AC BDD异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45考点 题点 答案 C解析 截面 PQMN 为正方形， PQ MN，从而易得 PQ平面 DAC.又平面 ABC平面ADC AC， PQ平面 ABC， PQ AC.从而易得 AC平面 PNMQ.同理可
20、得 QM BD.又 PQ QM， PMQ45， AC BD，且异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45.故选项A，B，D 正确4 a， b， c 为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为( )Error! a b；Error! a b；Error! ；Error! .A1 B2 C3 D4考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 B解析 只有正确5设 ， A ， B ， C 是 AB 的中点，当 A， B 分别在平面 ， 内运动时，得到无数个 AB 的中点 C，那么所有的动点 C( )A不共面B当且仅当 A， B 分别在两条直线上移
21、动时才共面C当且仅当 A， B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论 A， B 如何移动，都共面考点 平面与平面平行的性质题点 利用性质判定位置关系答案 D解析 如图所示， A， B分别是 A， B 两点在 ， 上运动后的两点，此时 AB 中点 C 变成 A B的中点 C，连接 A B，取 A B 的中点 E.连接 CE， C E， AA， BB， CC，则 CE AA，15又 CE平面 ， AA 平面 ， CE平面 .又 C E BB， C E平面 ， BB 平面 ， C E平面 .又平面 平面 ， C E平面 ， C E平面 . C E CE E， C E， CE平面 CC E，平
22、面 CC E平面 ， CC平面 .不论 A， B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与平面 ， 平行的平面上6设 m， n 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ， m n，则 n D若 ， m ， n m， n ，则 n 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 D解析 A 选项不正确， n 可能在平面 内，B 选项不正确，平面 可能与平面 相交；C选项不正确， n 可能在平面 内；选项 D 正确7如图，四棱锥 S ABCD 的所有的棱长都等于 2， E
23、是 SA 的中点，过 C， D， E 三点的平面与 SB 交于点 F，则四边形 DEFC 的周长为( )A2 B33 3C32 D223 3考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质求线段长度答案 C16解析 CD AB， CD平面 SAB， AB平面 SAB， CD平面 SAB.又平面 CDEF平面 SAB EF， CD EF，又 CD AB， AB EF. SE EA， EF 为 ABS 的中位线， EF AB1，又 DE CF ，12 3四边形 DEFC 的周长为 32 .38过平面 外的直线 l，作一组平面与 相交，如果所得的交线为 a， b， c，则这些交线的位置关系为( )A都平行B
24、都相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点考点 题点 答案 D解析 l ， l 或 l 与 相交若 l ，则由线面平行的性质定理可知 l a， l b， l c， a， b， c，这些交线都平行若 l 与 相交，不妨设 l A，则 A l，又由题意可知 A a， A b， A c，这些交线交于同一点 A.综上可知 D 正确二、填空题9 ， ， 是三个两两平行的平面，且 与 之间的距离是 3， 与 之间的距离是 4，则 与 之间的距离是_考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算答案 1 或 7解析 与 位于 的两侧时， 与 间的距离是 7；当 与 位于
25、同侧时， 与 间的距离是 1.10如图所示， ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M， N 分别是下底面的棱 A1B1， B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP ，过 P， M， N 的平面交上底面于 PQ， Q 在 CD 上，a317则 PQ_.考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质求线段长度答案 a223解析 MN平面 AC，平面 PMN平面 AC PQ， MN PQ，易知 DP DQ ，2a3故 PQ DP .PD2 DQ2 222a311.如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC平面 EFGH
26、， BD平面 EFGH， AC m， BD n，当四边形 EFGH 是菱形时，AE EB_.考点 直线与平面平行的性质题点 与性质有关的其他问题答案 m n解析 AC平面 EFGH， EF AC， GH AC， EF HG m ，BEBA同理 EH FG n .AEAB四边形 EFGH 是菱形， m n ，BEBA AEAB AE EB m n.12已知平面 ， P 且 P ，过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于点 A， C，过点 P的直线 n 与 ， 分别交于点 B， D，且 PA6， AC9， PD8，则 BD 的长为_18考点 平面与平面平行的性质题点 利用性质求线段长答案 或 242
27、45解析 如图所示， AC BD P，经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. ， 平面 PCD AB， 平面 PCD CD， AB CD. ，即 ， BD .PAAC PBBD 69 8 BDBD 245如图所示，同理可证 AB CD， ，PAPC PBPD即 ， BD24.63 BD 88综上所述， BD 的长为 或 24.245三、解答题13如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， P平面 ABCD，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于点E，交 DP 于点 F.求证：四边形 BCFE 是梯形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行证明 因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以
28、BC AD，因为 AD平面 PAD， BC平面 PAD，所以 BC平面 PAD.因为平面 BCFE平面 PAD EF， BC平面 BCFE，所以 BC EF.因为 AD BC， AD EF，19所以 BC EF，所以四边形 BCFE 是梯形四、探究与拓展14在空间四边形 ABCD 中， E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA 上的点，当 BD平面 EFGH时，下面结论正确的是( )A E， F， G， H 一定是各边的中点B G， H 一定是 CD， DA 的中点C BE EA BF FC，且 DH HA DG GCD AE EB AH HD，且 BF FC DG GC考点
29、 直线与平面平行的性质题点 与性质有关的其他问题答案 D解析 由于 BD平面 EFGH，所以有 BD EH， BD FG，则 AE EB AH HD，且BF FC DG GC.15如图所示，四边形 EFGH 为四面体 A BCD 的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证： AB平面 EFGH；(2)若 AB CD，求证：四边形 EFGH 为矩形考点 直线与平面平行的性质题点 与性质有关的其他问题证明 (1) EFGH 为平行四边形， EF HG. HG平面 ABD， EF平面 ABD， EF平面 ABD. EF平面 ABC，平面 ABD平面 ABC AB， EF AB.又 EF平面 EFGH， AB平面 EFGH， AB平面 EFGH.(2)由(1)同理可证 CD EH， FEH 即是 AB 与 CD 所成的角 AB CD， FEH90，20平行四边形 EFGH 为矩形
