1、171 简单几何体的侧面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考 1 圆柱 OO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S 侧 2 rl， S 表 2 r(r l)思考 2 圆锥 SO 及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 底面周长是 2 r，利用扇形面积公式得S 侧 2 rl rl，12S 表 r2 rl r(r l)思考 3 圆台 OO及其侧
2、面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， ，解得 x l.xx l rR rR rS 扇环 S 大扇形 S 小扇形2 (x l)2 R x2 r12 12( R r)x Rl ( r R)l，所以， S 圆台侧 ( r R)l， S 圆台表 ( r2 rl Rl R2)梳理 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式图形 表面积公式圆柱底面积： S 底 2 r2侧面积： S 侧 2 rl表面积： S2 r(r l)圆锥底面积： S 底 r2侧面积： S 侧 rl表面积： S r(r l)旋转体圆台上底面面积： S 上底 r
3、2下底面面积： S 下底 r2侧面积： S 侧 ( r l rl)表面积：S( r 2 r2 r l rl)知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考 1 类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为 h，那么直棱柱的侧面积是什么？答案 利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积展开图如图，不难求得 S 直棱柱侧 ch.思考 2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为 c，斜高为 h，如何求正棱锥的侧面积？3答案 正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到 S 正棱锥侧 ch.12思考 3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为 c，上底面周长
4、为 c，你能根据展开图，归纳出正 n 棱台的侧面面积公式吗？答案 S 正棱台侧 n(a a) h (c c) h.12 12梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体 侧面展开图 侧面积公式直棱柱S 直棱柱侧 chc底面周长h高正棱锥S 正棱锥侧 ch12c底面周长h斜高正棱台S 正棱台侧 (c c) h12c、 c上、下底面周长h斜高1斜三棱柱的侧面积也可以用 cl 来求解，其中 l 为侧棱长， c 为底面周长( )2多面体的表面积等于各个面的面积之和( )3圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2 S.( )4类型一 旋转体的侧面积(表面积)例 1 圆台的上、
5、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为 180，则圆台的表面积为多少考点 题点 解 如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角是 180，故 c SA210，所以 SA20，同理可得 SB40，所以 AB SB SA20，所以 SS上上侧积 2121()rABr上(1020)2010 220 21 100(cm 2)故圆台的表面积为 1 100 cm 2.反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟踪训练 1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为 6 和 4 的矩形，则圆
6、柱的表面积为( )A6(43)B8(31)C6(43)或 8(31)D6(41)或 8(32)考点 题点 答案 C5解析 由题意，圆柱的侧面积 S侧 6424 2.当以边长为 6 的边为母线时，4 为圆柱底面周长，则 2 r4，即 r2，所以 S上4，所以 上 侧 2 上24 288(31)当以边长为 4 的边为母线时，6 为圆柱底面周长，则 2 r6，即 r3，所以S上9，所以 2S上侧 24 2 186(43)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A11 B12C13 D14考点 题点 答案 C解析 如图所示， PB 为圆锥的母线， O1， O2分别为截面与底
7、面的圆心因为 O1为 PO2的中点，所以 ，PAPB 12所以 PA AB， 1O上.又因为 S圆 锥 侧 PA，上圆 侧( 12A上)AB，则 .S圆 锥 侧S圆 台 侧 O1APAO1A O2BAB 13类型二 多面体的侧面积(表面积)及应用例 2 如图所示，已知六棱锥 PABCDEF，其中底面 ABCDEF 是正六边形，点 P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为 2 cm，侧棱长为 3 cm.求六棱锥 PABCDEF 的表面积6解 6OBCABCDEFSSA上边上6 22sin 606 .12 3又 S上侧 6PCDA6 2 12 PC2 (CD2)26 12 .32 12 2 2
8、(61)cm.ABEFS上边锥 上上 侧反思与感悟 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形跟踪训练 2 已知正四棱台上底面边长为 4 cm，侧棱和下底面边长都是 8 cm，求它的侧面积考点 题点 解 方法一 如图，作 B1F BC，垂足为 F，设棱台的斜高为 h.在 Rt B1FB 中，B1F h，BF (84)2(cm)，12B1B8 cm， B1F 2 (cm)，82 22 15 h B1F2 cm.15
9、S 正棱台侧 4(48)2 48 (cm2)12 15 15方法二 延长正四棱台的侧棱交于点 P，如图，设 PB1 x cm，7则 ，xx 8 48得 x8 cm. PB1 B1B8 cm， E1为 PE 的中点 PE1 2 (cm)82 22 15PE2 PE14 cm.15 S 正棱台侧 S 大正棱锥侧 S 小正棱锥侧4 8PE4 4PE112 124 84 4 4212 15 12 1548 (cm2)15类型三 组合体的侧面积(表面积)例 3 已知在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90， AD a， BC2 a， DCB60，在平面ABCD 内，过 C 作 l CB，以 l
10、为轴将梯形 ABCD 旋转一周，求此旋转体的表面积考点 题点 解 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的在直角梯形 ABCD 中，AD a， BC2 a，AB(2 a a)tan 60 a，3DC 2 a，2a acos 60又 DD DC2 a，则 S 表 S 圆柱表 S 圆锥侧 S 圆锥底22 a a2(2 a)2 a2a a23(94 ) a2.38反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化跟踪训练 3 已知 ABC 的三边长分别是 AC3，
11、BC4， AB5，以 AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积考点 题点 解 如图，在 ABC 中，过 C 作 CD AB，垂足为点 D.由 AC3， BC4， AB5，知 AC2 BC2 AB2，则 AC BC.所以 BCAC ABCD，所以 CD ，记为 r ，125 125那么 ABC 以 AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径 r ，母线长分别是125AC3， BC4，所以 S 表面积 r(AC BC) (34) .125 8451一个圆锥的表面积为 a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )A. m B. m2a2 3a3C. m
12、 D. ma2 5a5考点 题点 答案 B9解析 设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则Error!解得 r .3a32一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm，高是 cm.则三棱台的侧面积为( )32A27 cm2 B. cm232732C. cm2 D. cm232 3考点 题点 答案 B解析 如图， O1， O 分别是上、下底面中心，则 O1O cm，32连接 A1O1并延长交 B1C1于点 D1，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，连接 DD1，过 D1作 D1E AD 于点 E.在 Rt D1ED 中， D1E O1O cm，32DE DO OE DO D1O1
13、 (63) (cm)，13 32 32DD1 (cm)，D1E2 DE2 (32)2 (32)2 3所以 S 正三棱台侧 (c c) DD1 (cm2)12 27323如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为 144，母线长为 10，则圆台的侧面积为_答案 100解析 设圆台的上底半径为 r，则下底半径为 4r，高为 4r.10由母线长为 10 可知 10 5 r，3r2 4r2 r2.故圆台的上、下底半径和高分别为 2,8,8.所以圆台的侧面积为 (28)10100.4若圆台的高是 12，母线长为 13，两底面半径之比为 83，则该圆台的表面积为_考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面
14、积答案 216解析 设圆台上底面与下底面的半径分别为 r， R，由勾股定理可得 R r 5.132 122 r R38， r3， R8.S 侧 ( R r)l(38)13143，则表面积为 1433 28 2216.5正三棱锥 S ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，它的高 SO3，求此正三棱锥的侧面积考点 题点 解 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h，如图所示，过 O 作 OE AB，垂足为 E，连接 SE，则 SE AB，且 SE h.因为 S 侧 2 S 底 ，所以 3ah a22.12 34所以 a h.3因为 SO OE，所以 SO2 OE2 SE2.所以 32 2 h 2.(36
15、 3h )所以 h2 ，所以 a h6.3 3所以 S 底 a2 629 .34 34 311所以 S 侧 2 S 底 18 .31多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3 S 圆柱表 2 r(r l)； S 圆锥表 r(r l)； S 圆台表 ( r2 rl Rl R2)一、选择题1已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.1 22 1 44 1 2 1 42考点 题点 答案 A解析 设圆柱
16、底面半径、母线长分别为 r， l，由题意知 l2 r， S 侧 l24 2r2.S 表 S 侧 2 r24 2r22 r22 r2(21)， .S表S侧 2 r22 14 2r2 1 222将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A4 B3 C2 D考点 题点 答案 C解析 底面圆半径为 1，高为 1，侧面积 S2 rh2112.故选 C.3如图所示，侧棱长为 1 的正四棱锥，若底面周长为 4，则这个棱锥的侧面积为( )12A5 B. 3C. D. 13 12 3考点 题点 答案 B解析 设底面边长为 a，则由底面周长为 4，得a1， SE ， S 侧
17、 4 1 .1 14 32 12 32 34圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为( )A7 B6 C5 D3考点 题点 答案 A解析 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r，S 侧 ( r3 r)384， r7.5底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对角线长为 ，则这个棱柱的侧面2 6积是( )A2 B4C6 D8答案 D解析 由已知得底面边长为 1，侧棱长为 2.6 2 S 侧 1248.6在正方体 ABCD A1B1C1D1中，三棱锥 D1 AB1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A11 B1 2
18、C1 D123考点 13题点 答案 C解析 设正方体棱长为 a，由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，其表面积为 4 1ABDS4 a22 a2.32 3正方体的表面积为 6a2，三棱锥 D1 AB1C 的表面积与正方体的表面积的比为 2 a26 a21 .3 37已知正三棱锥的底面边长为 a，高为 a，则其侧面积为( )66A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 32 334 332答案 A解析 正三棱锥如图，OD a a，13 32 36 PD a，PO2 OD212 S 侧 aa3 a2，故选 A.12 12 34二、填空题8圆台的母线长扩大为原来的 n 倍，两底面半径都缩小为
19、原来的 倍，那么它的侧面积变为1n原来的_倍答案 1解析 由 S 侧 ( r r)l.当 r， r缩小 倍， l 扩大 n 倍时， S 侧 不变1n9棱长都是 3 的三棱锥的表面积 S 为_考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 锥体的表面积答案 9 3解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，14所以 S4 329 .34 310正四棱台的上、下两底面边长分别是方程 x29 x180 的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为_考点 题点 答案 52解析 方程 x29 x180 的两个根为 x13， x26，设侧面梯形的高为 h，则由题意得(36) h43 26 2，解得 h .12
20、 5211如图所示，在棱长为 4 的正方体上底面中心位置打一个直径为 2、深为 4 的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案 966解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S64 24221 2966.12已知一个正四棱柱的对角线的长是 9 cm，表面积等于 144 cm2，则这个棱柱的侧面积为_ cm2.答案 112 或 72解析 设底面边长、侧棱长分别为 a cm， l cm，则Error!Error! 或Error
21、! S 侧 447112(cm 2)或 S 侧 46372 (cm 2)三、解答题13圆柱有一个内接长方体 AC1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开平面图2为矩形，此矩形的面积是 100 cm 2，求圆柱的底面半径和高解 设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，15则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则Error!Error!即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.四、探究与拓展14直平行六面体底面是菱形，两个对角面的面积分别为 Q1和 Q2，则此平行六面体的侧面积为_答案 2解析 设侧棱为 b，底面边长为 a，则 2 2 a2，
22、21Q上4 a2b2，(Q12b) (Q22b) S 侧 4 ab2 .15如图，一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在圆锥中有一个半径为 x 的内接圆柱(1)试用 x 表示圆柱的高；(2)当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积解 (1)轴截面如图，设圆柱的高为 h，BO1， PO3，16由图，得 ，即 h33 x.(0x1)x1 3 h3(2) S 圆柱侧 2 hx2(33 x)x6( x x2)6 2 ，(x12) 32当 x 时，圆柱的侧面积取得最大值 .12 32当圆柱的底面半径为 时，它的侧面积最大，最大为 .12 32
