1、11 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质知识点一 旋转体与多面体旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体 把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体知识点二 常见的旋转体及概念思考 1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转 180所得的旋转体是圆锥吗？答案 不是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转 180所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥思考 2 能否由圆锥得到圆台？答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到梳
2、理 名称 图形及表示 定义 相关概念球记作：球 O球面：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的圆心球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段圆柱记作：圆柱 OO以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在旋转轴上这条边的长度底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于旋转轴的2圆锥记作：圆锥 OO以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台记作：圆台
3、 OO以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点知识点三 常见的多面体及相关概念思考 观察下列多面体，试指明其类别答案 (1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台梳理 (1)棱柱定义要点：()两个面互相平行；()其余各面都是四边形；()每相邻两个四边形的公共边都互相平行相关概念：底面：两个互相平行的面侧面：除底面外的其余各面侧棱：相邻两个侧面的公共边顶点：底面多边形与侧面的公共顶点
4、记法：如三棱柱 ABC A1B1C1.分类及特殊棱柱：()按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、.3()直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱()正棱柱：底面是正多边形的直棱柱(2)棱锥定义要点：()有一个面是多边形；()其余各面是三角形；()这些三角形有一个公共顶点相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形侧面：除底面外的其余三角形面侧棱：相邻两个侧面的公共边顶点：侧面的公共顶点记法：如三棱锥 S ABC.分类及特殊棱锥：()按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥、，()正棱锥：底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥(3)棱台定义要点：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之
5、间的部分相关概念：上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧棱：相邻的侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点记法：如三棱台 ABC A1B1C1.4分类及特殊棱台：()按底面多边形的边数分，有三棱台、四棱台、五棱台、，()正棱台：由正棱锥截得的棱台1棱柱的侧面都是平行四边形( )2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )3直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )4半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )类型一 旋转体的概念例 1 下列说法正确的是_(填序号)以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上
6、的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面考点 简单几何体的结构特征题点 简单旋转体的结构特征答案 解析 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面；正确反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线(2)简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想跟踪训练 1 下列说法：圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截
7、面一定是一个圆；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；5球的半径是球心与球面上任意一点的连线段其中正确的个数为( )A0 B1 C2 D3考点 简单几何体的结构特征题点 简单旋转体的结构特征答案 C解析 错误，截面可能是一个三角形；错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；正确故选 C.类型二 多面体及其简单应用例 2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为_所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；棱台的侧面一定不会是平行四边形；底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；棱柱的每一个面都不会是三角形考点 简单几何体的结构特征题点 多面体的结
8、构特征答案 3解析 中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱故错；中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，正确；根据棱锥的概念知，正确；根据棱台的概念知，正确；棱柱的底面可以是三角形，故错正确的个数为 3.(2)如图所示，长方体 ABCD A1B1C1D1.这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几6棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断解 长方体是棱柱，是四棱柱因为它有两个平行的平面 ABCD 与 A1B1C1D1，其余各面都是
9、四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面 BB1M 与 CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱 BB1M CC1N；另一部分有两个平行的平面 ABMA1与 DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱 ABMA1 DCND1.引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？解 如图，几何体 B A1B1C1就是三棱锥反思与感悟 (1)棱柱的识别
10、方法两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行(2)棱锥的识别方法有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点对几类特殊棱锥的认识()三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体它的每一个面都可以作为底面()各棱都相等的三棱锥称为正四面体()正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直(3)棱台的识别方法上、下底面互相平行各侧棱延长交于一点跟踪训练 2 下列说法正确的是( )A有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台7B两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C棱锥的侧面可以是四
11、边形D棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面考点 简单几何体题点 简单几何体结构应用答案 B解析 A 中所有侧棱不一定交于一点，故 A 不正确；B 正确；C 中棱锥的侧面一定是三角形，故 C 不正确；D 中棱柱的侧面也可能平行，故 D 不正确1下列几何体中棱柱有( )A5 个 B4 个C3 个 D2 个考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断答案 D解析 由棱柱的定义知，为棱柱2关于下列几何体，说法正确的是( )A图是圆柱 B图和图是圆锥C图和图是圆台 D图是圆台考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断答案 D解析 由旋转体的结构特征知，D 正确3下面有关棱台说法中，正确的是( )A上下两个
12、底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台8B棱台的所有侧面都是梯形C棱台的侧棱长必相等D棱台的上下底面可能不是相似图形考点 棱台的结构特征题点 棱台的结构特征的应用答案 B解析 由棱台的结构特征知，B 正确4等腰三角形 ABC 绕底边上的中线 AD 所在的直线旋转一周所得的几何体是( )A圆台 B圆锥C圆柱 D球考点 简单旋转体的结构特征题点 旋转体的结构特征答案 B解析 中线 AD BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥5若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为_3考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 2解析 如图所示，设等边三角形 ABC 为圆锥的轴截面，由题意知
13、，圆锥的母线长即为 ABC 的边长，且 SABC AB2， AB2， AB2.34 3 34故圆锥的母线长为 2.1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：9有两个平面(底面)互相平行；其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台一、选择题1有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )A四棱柱 B四棱锥C三棱柱 D三棱锥考点 简单几何体题点 简单几何体结构判
14、断答案 D解析 四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥2如图所示，在三棱台 A B C ABC 中，截去三棱锥 A ABC，则剩余部分是( )A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D三棱台考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的概念答案 B解析 由题图知，剩余的部分是四棱锥 A BCC B.3过球面上任意两点 A， B 作大圆，可能的个数是( )A有且只有一个 B一个或无穷多个C无数个 D以上均不正确考点 简单几何体的结构特征题点 简单转体的结构特征答案 B解析 当过 A， B 的直线经过球心时，经过 A， B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A， B 作球的大圆有无数个；当直线 AB 不经过球心 O 时，经
15、过 A， B， O 的截面就是一个大圆，10这时只能作出一个大圆4下列说法正确的是( )A圆锥的母线长等于底面圆直径B圆柱的母线与轴垂直C圆台的母线与轴平行D球的直径必过球心考点 简单几何体的结构特征题点 简单转体的结构特征答案 D解析 圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等，故 A 错；圆柱的母线与轴平行，故 B 错；圆台的母线与轴不平行，故 C 错；球的直径必过球心，故选 D.5若棱台上、下底面的对应边之比为 12，则上、下底面的面积之比是( )A12 B14 C21 D41考点 棱台的结构特征题点 与棱台有关的运算答案 B解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边
16、之比的平方，故选 B.6五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A20 B15 C12 D10考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 D解析 如图，在五棱柱 ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点 A 出发的对角线有两条： AC1， AD1，同理从 B， C， D， E 点出发的对角线均有两条，共 2510(条)7如图所示，正四棱锥 S ABCD 的所有棱长都为 a，过不相邻的两条棱 SA， SC 作截面SAC，则截面的面积为( )11A. a2 B a2 C. a2 D. a232 12 13考点 棱锥的结构特
17、征题点 与棱锥有关的运算答案 C解析 根据正棱锥的性质知，底面 ABCD 是正方形，故 AC a.在等腰三角形 SAC 中，2SA SC a，又 AC a， ASC90，即 S SAC a2.2128如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转 180所形成的几何体为( )A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体考点 题点 答案 B解析 外面圆旋转形成球体，中间矩形旋转形成一个圆柱故选 B.二、填空题9下列说法正确的是_(填序号)底面是正多边形的棱锥为正棱锥；各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；底面是
18、正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥考点 棱锥的结构特征题点 棱锥概念的应用答案 解析 由正棱锥的定义可知，均不正确；而不能保证这些全等的等腰三角形的腰长12都作为侧棱长，故不正确；只有符合正棱锥的定义，故正确10以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成_个三棱锥考点 棱台的结构特征题点 棱台概念的应用答案 3解析 如图，分割为 A1 ABC， B A1CC1， C1 A1B1B，3 个棱锥11在半径为 13 的球面上有 A， B， C 三点，其中 AC6， BC8， AB10，则球心到经过这三个点的截面的距离为_考点 球的结构特征题点 与球有关的运算答案 12解析 由线段的长度知
19、 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r 5，所以 d 12.AB2 R2 r2三、解答题12已知一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，正方体的一个面在圆锥的底面上，与这个面相对的面的四个顶点在圆锥的侧面上，求此正方体的棱长考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算解 作出圆锥的一个纵截面如图所示，其中 AB， AC 为母线， BC 为底面圆直径， DG， EF 是正方体的棱， DE， GF 是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为 x，则 DG EF x， DE GF x，依题意，得2 ABC ADE，13 ， x .hh x 2r2x
20、2rhh 2r13试从正方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干连接后构成以下简单几何体，并用适当的符号表示出来(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用解 (1)如图所示，三棱锥 A1 AB1D1(答案不唯一)(2)如图所示，三棱锥 B1 ACD1(答案不唯一)(3)如图所示，三棱柱 A1B1D1 ABD(答案不唯一)四、探究与拓展14给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的
21、两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是_(填序号)考点 简单几何体14题点 简单几何体结构应用答案 (1)(2)解析 (1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的任意两条母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体15如图所示，正三棱锥 S ABC 的侧棱长为 1， ASB40，点 M 和点 N 分别是棱 SB 和SC 上的点，求 AMN 的周长的最小值考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算解 沿侧棱 SA 将正三棱锥 S ABC 的侧面展开，得到三棱锥 S ABC 的侧面展开图，如图所示连接 AA，当 M， N 分别为 AA与 SB， SC 的交点时， AMN 的周长最小，即 AA的长度 SA SA， ASB BSC CSA40， ASA120. SAA SA A30.作 SF AA于点 F， SA1， AF A F SA ，32 32 AA ，3即 AMN 的周长的最小值为 .3
