1、1第 1 课时 平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质 4 及等角公理知识点一 基本性质 41文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性2符号表达：Error! a c.知识点二 等角定理思考 观察图，在长方体 ABCDA B C D中， ADC 与 A D C， ADC 与 D A B的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出， ADC A D C， ADC D A B180.梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等知识点三 空间
2、四边形顺次连接不共面的四点 A， B， C， D 所构成的图形，叫做空间四边形这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线空间四边形用表示顶点的四个字母表示1若 AB A B， AC A C，则 BAC B A C.( )2没有公共点的两条直线是异面直线( )3若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且 a ， b ，则 a， b 是异面直线( )2类型一 基本性质 4 的应用例 1 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， E， F， G， H 分别为PA， PB， PC， PD
3、的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形解 在 PAB 中，因为 E， F 分别是 PA， PB 的中点，所以 EF AB， EF AB，同理 GH DC， GH DC.12 12因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB CD， AB CD.所以 EF GH， EF GH.所以四边形 EFGH 是平行四边形反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点(2)利用基本性质 4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质 4，显然这两条直线平行若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行跟踪训
4、练 1 如图所示， E， F 分别是长方体 A1B1C1D1 ABCD 的棱 A1A， C1C 的中点求证：四边形 B1EDF 是平行四边形证明 设 Q 是 DD1的中点，连接 EQ， QC1. E 是 AA1的中点， EQ 綊 A1D1.又在矩形 A1B1C1D1中，A1D1綊 B1C1，3 EQ 綊 B1C1(基本性质 4)四边形 EQC1B1为平行四边形， B1E 綊 C1Q.又 Q， F 是 DD1， C1C 的中点， QD 綊 C1F.四边形 QDFC1为平行四边形 C1Q 綊 DF， B1E 綊 DF.四边形 B1EDF 为平行四边形类型二 等角定理的应用例 2 如图，在正方体 A
5、BCD A1B1C1D1中， M， M1分别是棱 AD 和 A1D1的中点求证：(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形；(2) BMC B1M1C1.证明 (1)在正方形 ADD1A1中， M， M1分别为 AD， A1D1的中点， A1M1綊 AM，四边形 AMM1A1是平行四边形， A1A 綊 M1M.又 A1A 綊 B1B， M1M 綊 B1B，四边形 BB1M1M 为平行四边形(2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， B1M1 BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， C1M1 CM.由平面几何知识可知， BMC 和 B1M1C1都是锐角 BMC B1M1C1.
6、反思与感悟 有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论(2)利用三角形相似(3)利用三角形全等本例是通过第一种途径来实现的跟踪训练 2 已知棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 CD， AD 的中点求4证：(1)四边形 MNA1C1是梯形；(2) DNM D1A1C1.证明 (1)如图，连接 AC，在 ACD 中， M， N 分别是 CD， AD 的中点， MN 是 ACD 的中位线， MN AC， MN AC.12由正方体的性质，得 AC A1C1， AC A1C1. MN A1C1，且 MN A1C1，即 MN A1C1，12四边
7、形 MNA1C1是梯形(2)由(1)可知 MN A1C1，又 ND A1D1， DNM 与 D1A1C1相等或互补而 DNM 与 D1A1C1均是直角三角形的一个锐角， DNM D1A1C1.5类型三 空间四边形的认识例 3 如图，设 E， F， G， H 分别是四面体 A BCD 的棱 AB， BC， CD， DA 上的点，且 ， ，求证：AEAB AHAD CFCB CGCD(1)当 时，四边形 EFGH 是平行四边形；(2)当 时，四边形 EFGH 是梯形证明 (1) ， EH BD， .AEAB AHAD EHBD同理， GF BD， .GFBD又 ， EH GF， EH 綊 GF.四
8、边形 EFGH 是平行四边形(2)由(1)知 EH GF，又 ， EH GF.四边形 EFGH 是梯形反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形 ABCD”，不包含平面四边形，说明“ A， B， C， D 四点必不共面” ，不能因直观图中 AD 与 BC 看似平行的关系认为它们是平行的跟踪训练 3 已知空间四边形 ABCD 中， AB AC， BD BC， AE 是 ABC 的边 BC 上的高， DF 是 BCD 的边 BC 上的中线，判定 AE 与 DF 的位置关系解 由已知，得 E， F
9、不重合设 BCD 所在平面为 ，则 DF ， A ， E ， EDF，所以 AE 与 DF 异面1直线 a b，直线 b 与 c 相交，则直线 a， c 一定不存在的位置关系是( )A相交 B平行 C异面 D无法判断答案 B6解析 如图， a 与 c 相交或异面2下列四个结论中假命题的个数是( )垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线 a， b， c 满足 a b， b c，则 a c；若直线 l1， l2是异面直线，则与 l1， l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4答案 B解析 均为假命题可举反例，如 a、 b、 c 三线两两垂直如图甲时， c、
10、 d 与异面直线 l1、 l2交于四个点，此时 c、 d 异面；当点 A 在直线 l1上运动(其余三点不动)时，会出现点 A 与 B 重合的情形，如图乙所示，此时 c、 d 共面相交3下列结论正确的是( )A若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C空间四边形的两条对角线可以相交D空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选 D.4下面三个命题，其中正确的个数是( )三条相互平行的直线必共面；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四
11、边形A1 B2 C3 D0答案 D解析 空间中三条平行线不一定共面，故错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故、都错，故选 D.75两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A全等 B不相似C仅有一个角相等 D相似答案 D解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选 D.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，
12、它是我们培养空间想象能力的好工具3注意：等角定理的逆命题不成立一、选择题1已知 AB PQ， BC QR，若 ABC30，则 PQR 等于( )A30 B30或 150C150 D以上结论都不对答案 B解析 由等角定理可知 PQR 与 ABC 相等或互补，故答案为 B.2分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面答案 D3若 AOB A1O1B1，且 OA O1A1， OA 与 O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A OB O1B1且方向相同B OB O1B1C OB 与 O1B1不平行D OB 与 O1B1不一定平行8答案 D解
13、析 等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立， OB 与 O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定4在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是平面 AA1D1D、平面 CC1D1D 的中心， G， H 分别是线段 AB， BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D垂直答案 C解析 如图，连接 AD1， CD1， AC，则 E， F 分别为 AD1， CD1的中点由三角形的中位线定理知， EF AC， GH AC，所以 EF GH，故选 C.5正方体 ABCD A1B1C1D1中， P， Q 分别为 AA1， CC1的
14、中点，则四边形 D1PBQ 是( )A正方形 B菱形C矩形 D空间四边形答案 B解析 设正方体棱长为 2，直接计算可知四边形 D1PBQ 各边均为 ，又 D1PBQ 是平行四边形，5所以四边形 D1PBQ 是菱形6.已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中(如图)， l平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A l 与 AD 平行B l 与 AD 不平行C l 与 AC 平行D l 与 BD 垂直答案 A解析 假设 l AD，则由 AD BC B1C1知， l B1C1，这与 l 与 B1C1不平行矛盾，所以 l 与AD 不平行7长方体 ABCD A1B
15、1C1D1的 12 条棱中，所在直线与棱 AA1所在直线垂直的共有( )9A6 条 B8 条 C10 条 D12 条答案 B解析 所在直线与棱 AA1所在直线垂直的有 AB， BC， CD， DA， A1B1， B1C1， C1D1， D1A1，共 8条8异面直线 a， b，有 a ， b 且 c，则直线 c 与 a， b 的关系是( )A c 与 a， b 都相交B c 与 a， b 都不相交C c 至多与 a， b 中的一条相交D c 至少与 a， b 中的一条相交答案 D解析 若 c 与 a， b 都不相交， c 与 a 在 内， a c.又 c 与 b 都在 内， b c.由基本性质
16、4，可知 a b，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况二、填空题9空间两个角 、 ，且 与 的两边对应平行且 60，则 _.答案 60或 12010在正方体 ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_；(3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面11 a， b， c 是空间中三条直线，下面给出几个说法：若 a b， b c，则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，
17、则 a 与 c 也相交；若 a， b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行则上述说法中正确的为_(仅填序号)答案 解析 由基本性质 4 知正确若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 可能平行，也可能相交或异面，错误；若平面 l， a ， b ， a l， b l，则 a b，错误10三、解答题12.如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中的面 A1C1内有一点 P，经过点 P 作棱 BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由解 如图所示，在面 A1C1内过点 P 作直线 EF B1C1，交 A1B1于点 E，交 C1D1于点 F，则直线EF 即为所求理由：因为 E
18、F B1C1， BC B1C1，所以 EF BC.13.如图所示，两个三角形 ABC 和 A B C的对应顶点的连线 AA， BB， CC交于同一点 O，且 .AOA O BOB O COC O 23(1)证明： AB A B， AC A C， BC B C；(2)求 的值S ABCS A B C(1)证明 AA与 BB相交于 O 点，且 ， AB A B.AOOA BOOB同理 AC A C， BC B C.(2)解 AB A B， AC A C且 AB 和 A B， AC 和 A C的方向相反， BAC B A C.同理 ABC A B C，因此 ABC A B C，11又 .ABA B
19、AOA O 23 2 .S ABCS A B C (23) 49四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥 A BCD 中， M， N 分别为 AB， CD 的中点，则下列结论正确的是( )A MN (AC BD)12B MN (AC BD)12C MN (AC BD)12D MNMN，所以 MN (AC BD)1215.如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB90， BC 綊 AD， BE 綊12FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点1212(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)判断 C， D， F， E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知 FG GA， FH HD，可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD， GH 綊 BC，12 12四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 由 BE 綊 AF， G 为 FA 的中点知， BE 綊 FG，12四边形 BEFG 为平行四边形， EF BG.由(1)知 BG 綊 CH， EF CH， EF 与 CH 共面又 D FH， C， D， F， E 四点共面
