1、14.2 空间图形的公理(二)学习目标 1.掌握公理 4 及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角知识点一 平行公理(公理 4)思考 在平面内，直线 a， b， c，若 a b， b c，则 a c.该结论在空间中是否成立？答案 成立梳理 平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行(2)符号表示：Error! a c.知识点二 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案 平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线
2、 AB 与 CD.梳理 异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线2(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：Error!从是否共面的角度来分：Error!知识点三 等角定理思考 观察图，在平行六面体 ABCDA B C D中， ADC 与 A D C， ADC 与 D A B的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出， ADC A D C， ADC D A B1
3、80. 梳理 等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补知识点四 异面直线所成的角思考 在平行六面体 A1B1C1D1ABCD 中， BC1 AD1，则“直线 BC1与直线 BC 所成的角”与“直线 AD1与直线 BC 所成的角”是否相等？答案 相等梳理 异面直线所成角的定义前提 两条异面直线 a， b作法 经过空间任一点 O 作直线 a a， b b定义结论 我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)3范围 记异面直线 a 与 b 所成的角为 ，则 0 90.特殊情况当 90时， a 与 b 互相垂直，记作： a b.1分别在两
4、个平面内的两条直线一定是异面直线( )2两直线若不是异面直线，则必相交或平行( )3若 AB A B， AC A C，则 BAC B A C.( )类型一 公理 4 及等角定理的应用例 1 在正方体 ABCD A B C D中， E， F， E， F分别是 AB， BC， A B， B C的中点，求证： EE FF.考点 平行公理题点 判断、证明线线平行证明 因为 E， E分别是 AB， A B的中点，所以 BE B E，且 BE B E.所以四边形 EBB E是平行四边形，所以 EE BB，同理可证 FF BB.所以 EE FF.反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直
5、线在同一平面内且两直线没有公共点利用公理 4 找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能跟踪训练 1 如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 CD， AD 的中点求证：(1)四边形 MNA1C1是梯形；(2) DNM D1A1C1.4考点 空间等角定理题点 判断、证明角的关系证明 (1)如图 ，连接 AC，在 ACD 中， M， N 分别是 CD， AD 的中点， MN 是 ACD 的中位线， MN AC， MN AC.12由正方体的性质得
6、AC A1C1， AC A1C1. MN A1C1，且 MN A1C1，12即 MN A1C1，四边形 MNA1C1是梯形(2)由(1)可知 MN A1C1.又 ND A1D1， DNM 与 D1A1C1相等或互补而 DNM 与 D1A1C1均为锐角， DNM D1A1C1.类型二 异面直线命题角度 1 异面直线的判定例 2 (1)若 a， b 是异面直线， b， c 是异面直线，则 a， c 的位置关系是( )A异面 B相交或平行C平行或异面 D相交、平行或异面考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 D解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明 a， b 异面，直线 c 的
7、位置可如图所示5(2)如图，已知正方体 ABCDA B C D.哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定解 由异面直线的定义可知，棱 AD， DC， CC， DD， D C， B C所在直线分别与直线 BA是异面直线反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线跟踪训练 2 (1)在四棱锥 P ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有_对考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 8解析 与 AB 异面的有侧棱 PD 和 PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线 428(对)(2)
8、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么 AB， CD， EF， GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定解 还原的正方体如图所示异面直线有三对，分别为 AB 与 CD，AB 与 GH， EF 与 GH.6命题角度 2 求异面直线所成的角例 3 在空间四边形 ABCD 中， AB CD，且 AB 与 CD 所成锐角为 30， E， F 分别为 BC， AD的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 如图所示，取 AC 的中点 G，连接 EG， FG，则 EG AB 且 EG AB
9、，12GF CD 且 GF CD，12由 AB CD 知 EG FG，从而可知 GEF 为 EF 与 AB 所成角， EGF 或其补角为 AB 与 CD 所成角 AB 与 CD 所成角为 30， EGF30或 150，由 EG FG 知 EFG 为等腰三角形，当 EGF30时， GEF75，当 EGF150时， GEF15，故 EF 与 AB 所成角的大小为 15或 75.反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点 O 常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点(2)求异面直线所成的角的一般步骤：作
10、角：平移成相交直线证明：用定义证明前一步的角为所求计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCD A B C D中， E， F 分别为平面 A B C D与 AA D D 的中心，则 EF 与 CD 所成角的大小是_7考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 45解析 连接 B D，则 E 为 B D的中点，连接 AB，则 EF AB，又 CD AB，所以 B AB 为异面直线 EF 与 CD 所成的角，即 B AB45.1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交考
11、点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 B解析 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1与 BC 是异面直线，又 AA1 BB1， AA1 DD1，显然 BB1 BC B， DD1与 BC 是异面直线，故选 B.2若 OA O A， OB O B，且 AOB130，则 A O B为( )A130 B50C130或 50 D不能确定考点 空间等角定理题点 利用等角定理求角答案 C解析 根据定理， A O B与 AOB 相等或互补，即 A O B130或 A O B50.3下列四个结论中错误的个数是( )垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；8若直线 a，
12、 b， c 满足 a b， b c，则 a c；若直线 l1， l2是异面直线，则与 l1， l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4考点 题点 答案 B解析 均为错误结论可举反例，如 a， b， c 三线两两垂直如图甲所示， c， d 与异面直线 l1， l2交于四个点，此时 c， d 异面；当点 A 在直线 l1上运动(其余三点不动)时，会出现点 A 与 B 重合的情形，如图乙所示，此时 c， d 共面相交4如图所示， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有_(填序号)考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案
13、解析 中， G， M 是中点， AG BM， AG BM， GM AB， GM AB， HN AB， HN AB，四边形 GHNM 是平行四边形 GH MN，即 G， H， M， N 四点共面；中， H， G， N 三点共面，且都在平面 HGN 内，而点 M 显然不在平面 HGN 内， H， G， M， N 四点不共面，即 GH 与 MN 异面；中， G， M 是中点， GM CD， GM CD，12 GM HN， GM HN，即 GMNH 是梯形，则 GH， MN 必相交， H， G， M， N 四点共面；129中，同， G， H， M， N 四点不共面，即 GH 与 MN 异面5如图所示，
14、在正方体 ABCDA1B1C1D1中(1)求 A1C1与 B1C 所成角的大小；(2)若 E， F 分别为 AB， AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 (1)如图所示，连接 AC， AB1.由六面体 ABCD A1B1C1D1是正方体知，四边形 AA1C1C 为平行四边形， AC A1C1，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 A1C1与 B1C 所成的角在 AB1C 中，由 AB1 AC B1C，可知 B1CA60，即 A1C1与 B1C 所成的角为 60.(2)如图所示，连接 BD.由(1)知 AC A1C1， AC 与 EF
15、所成的角就是 A1C1与 EF 所成的角 EF 是 ABD 的中位线， EF BD.又 AC BD， AC EF， EF A1C1，即 A1C1与 EF 所成的角为 90.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已
16、有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)10一、选择题1如图所示，点 P， Q， R， S 分别在正方体的四条棱上，并且是其所在棱的中点，则直线PQ 与 RS 是异面直线的是( )考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 C解析 选项 A，B 中 RS 与 PQ 平行；选项 D 中 RS 与 PQ 相交，故选 C.2两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A全等 B不相似C仅有一个角相等 D相似考点 空间等角定理题点 判断、证明角的关系答案 D解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选 D.3
17、已知异面直线 a， b 分别在平面 ， 内，且 c，那么直线 c 一定( )A与 a， b 都相交B只能与 a， b 中的一条相交C至少与 a， b 中的一条相交D与 a， b 都平行考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系的判定答案 C解析 若 c 与 a， b 都不相交，则 c 与 a， b 都平行，根据公理 4，知 a b，与 a， b 异面矛盾，故选 C.114空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行答案 B解析 如图，易证四边形 EFGH 为平行四边形又 E，
18、 F 分别为 AB， BC 的中点， EF AC.又 FG BD， EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角而 AC 与 BD 所成的角为 90， EFG90，故四边形 EFGH 为矩形5.如图所示，已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中， l平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1不平行，则下列一定不正确的是( )A l 与 AD 平行B l 与 AB 异面C l 与 CD 所成角为 30D l 与 BD 垂直考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定12答案 A6.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面三角形 A1B1C1是正三角形， E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是
19、( )A CC1与 B1E 是异面直线B C1C 与 AE 共面C AE 与 B1C1是异面直线D AE 与 B1C1所成的角为 60考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 C解析 由于 CC1与 B1E 都在平面 C1B1BC 内，故 C1C 与 B1E 是共面的，所以 A 错误；由于 C1C在平面 C1B1BC 内，而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点，点 E 不在 C1C 上，故 C1C 与 AE 是异面直线，B 错误；同理 AE 与 B1C1是异面直线，C 正确；而 AE 与 B1C1所成的角就是 AE 与 BC 所成的角， E 为 BC 中点， ABC 为正三角形，所
20、以 AE BC，D 错误综上所述，故选 C.7如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 AD1所成的角为( )A30 B45C60 D90考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 C解析 如图，连接 BC1， A1C1. BC1 AD1，异面直线 A1B 与 AD1所成的角即为直线 A1B 与 BC1所成的角13在 A1BC1中， A1B BC1 A1C1， A1BC160.故异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 60.8若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( )A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D平行、相交或异面
21、都有可能考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 D解析 当 a， b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交二、填空题9.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线其中正确的结论为_(填序号)考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 解析 直线 AM 与 CC1是异面直线，
22、直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误；正确10在空间四边形 ABCD 中，如图所示， ， ，则 EH 与 FG 的位置关系是AEAB AHAD CFCB CGCD_考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 平行14解析 如图，连接 BD，在 ABD 中， ，AEAB AHAD则 EH BD，同理可得 FG BD. EH FG.11如果两条异面直线看成“一对” ，那么六棱锥所在的 12 条直线中，异面直线共有_对考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 24解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有 4
23、624(对)12如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，(1)AC 与 DD1所成的角为_；(2)AC 与 D1C1所成的角为_考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 (1)90 (2)45解析 (1) DD1和 AC 是异面直线，因为 AA1 DD1，所以 A1AC 为 DD1和 AC 所成的角因为AA1 AC，所以 A1AC90，所以 DD1和 AC 所成的角是 90.(2)因为 DC D1C1，所以 ACD 是 AC 和 D1C1所成的角又 ACD45，所以 AC 和 D1C1所成的角是 45.三、解答题13.如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，
24、 BAD FAB90，BC AD， BC AD， BE AF， BE AF， G， H 分别为 FA， FD 的中点12 1215(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)判断 C， D， F， E 四点是否共面？为什么？考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用(1)证明 由已知 FG GA， FH HD，可得 GH AD， GH AD.12又 BC AD， BC AD，12 GH BC， GH BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 C， D， F， E 四点共面，理由如下：由 BE AF， BE AF， G 为 FA 的中点知， BE GF，
25、 BE GF，12四边形 BEFG 为平行四边形， EF BG.由(1)知 BG CH， BG CH， EF CH， EF 与 CH 共面又 D FH， C， D， F， E 四点共面四、探究与拓展14.如图，在三棱锥 DABC 中， AC BD，且 AC BD， E， F 分别是棱 DC， AB 的中点，则 EF和 AC 所成的角等于( )A30 B45C60 D90考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 B16解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG， EG. E， F 分别为 CD， AB 的中点， FG AC， EG BD，且 FG AC， EG BD.12 12又
26、 AC BD， FG EG， EFG 为 EF 与 AC 所成的角或其补角 AC BD， FG EG， FGE90， EFG 为等腰直角三角形， EFG45，即 EF 与 AC 所成的角为 45.15.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1与 AC， AB 所成的角均为 60， BAC90，且AB AC AA1，求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 如图所示，把三棱柱补为四棱柱 ABDC A1B1D1C1，连接 BD1， A1D1， AD，由四棱柱的性质知 BD1 AC1，则 A1BD1就是异面直线 A1B 与 AC1所成的角设 AB a， AA1与 AC， AB 所成的角均为 60，17且 AB AC AA1， A1B a， BD1 AC12 AA1cos 30 a.3又 BAC90，在矩形 ABDC 中， AD a，2 A1D1 a，2 A1D A1B2 BD ，21 21 BA1D190，在 Rt BA1D1中，cos A1BD1 .A1BBD1 a3a 33
