1、11.1.4 投影与直观图学习目标 理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图知识点 直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的平面图形(2)斜二测画法的规则在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的 Ox， Oy 轴，再作 Oz 轴，使 xOz90，且 yOz90.画直观图时，把 Ox， Oy， Oz 画成对应的轴 O x， O y， O z，使 x O y45(或 135)， x O z90， x O y所确定的平面表示水平平面已知图形中，平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴、 y轴或 z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知
2、图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图1用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90，则在直观图中， A45.( )22用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )3在斜二测画法中平行于 y 轴的线段在直观图中长度保持不变( )类型一 直观图的画法例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为
3、x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画出相应的 x轴和 y轴，使 x O y45，如图(1)(2)所示(2)在 x轴上截取 O B OB，在 y轴上截取 O D OD，过点 D作 x轴的平行线12l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 D C DC.连接 B C，如图(2)(3)所得四边形 O B C D就是直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3)引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系(2)画对应的坐标系 x O y，使 x O y45.以 O为
4、中点在 x轴上取A B AB，在 y轴上取 O E OE，以 E为中点画出 C D x轴，并使12C D CD.(3)连接 B C， D A，所得的四边形 A B C D就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直3观图反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练 1 (1)用斜二
5、测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图解 如图 a 所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系画出对应的 x轴、 y轴，使 x O y45.在 x轴上截取 O B O C2 cm，在 y轴上截取 O A OA cm，连接12 3A B， A C，则三角形 A B C即为正三角形 ABC 的直观图，如图 b 所示(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)解 画轴如图 c，画 x 轴、 y 轴、 z 轴，使 xOy45(或 135)， xOz90.画底面以 O 为中心，在 xOy 平面内，画出正方形的直观图 AB
6、CD.画顶点在 Oz 轴上截取 OS，使 OS 等于已知正四棱锥的高画棱连接 SA， SB， SC， SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥 S ABCD 的直观图，如图 d 所示类型二 直观图的还原与计算命题角度 1 由直观图还原平面图形例 2 如图所示， A B C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形4解 画出直角坐标系 xOy，在 x 轴的正方向上取 OA O A，即 CA C A；过 B作 B D y轴，交 x轴于点 D，在 OA 上取 OD O D，过 D 作 DB y 轴，且使 DB2 D B；连接 AB， BC，得 ABC.则 ABC 即为 A B C对应的平
7、面图形，如图所示反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键(1)平行于 x轴的线段长度不变，平行于 y轴的线段扩大为原来的 2 倍(2)对于相邻两边不与 x、 y轴平行的顶点可通过作 x轴， y轴平行线变换确定其在xOy 中的位置跟踪训练 2 如图所示，矩形 O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O A6 cm， C D2 cm，则原图形是_形答案 菱解析 如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OD2 O D22 4 (cm)，2 2CD C D2(cm)， OC 6(cm)， OA OC，故四边形 OABCOD2 CD2 422 22是菱形命题角度 2 原图形与直观图的面积的计算
8、5例 3 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若A1D1 O y， A1B1 C1D1， A1B1 C1D12， A1D1 O D11.试画出原四边形的形状，并求23出原图形的面积解 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD O D11， OC O C12.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA2 D1A12.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB A1B12.连接 BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB2， CD3，直角腰的长度 AD2，所以面积为 S 25.2 32反思与感悟 (1)由原图形求
9、直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成 45(或 135)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高(2)若一个平面多边形的面积为 S，它的直观图面积为 S，则 S S.24跟踪训练 3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O，若 O B1，那么原三角形 ABO 的面积是( )A. B.12 22C. D22 2答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为 ，又直观图与原平面图形面积126比为 4，所以原图形的面积为 ，故选 C.2 21已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边
10、长为 4，则此正方形的面积为( )A16 B64C16 或 64 D无法确定答案 C解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8，所以正方形的面积为 16 或 64.2利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 21.3有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为 545 .24 24.画出水平放置的四边形 OBCD(如图所示)的直观图解 (1)过点
11、C 作 CE x 轴，垂足为 E，如图所示，画出对应的 x轴、 y轴，使 x O y45，如图所示(2)如图所示，在 x轴上取点 B， E，使得 O B OB， O E OE；在 y轴上取一点 D，7使得 O D OD；12过 E作 E C y轴，使 E C EC.12连接 D C， B C.(3)擦去坐标轴及 B E， E C，则所求四边形 OBCD 的直观图如图所示1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：
12、“一斜” 、 “二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox、 Oy 轴，在直观图中画成 O x、 O y轴，使 x O y45或 135.(2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半” 3中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似一、选择题1给出以下说法，其中不正确的是_水平放置的矩形的直观图可能是梯形；水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；水平放置的菱形的直
13、观图可能是平行四边形A BC D答案 A解析 由斜二测画法规则可知不正确，故选 A.2根据斜二测画法的规则画直观图时，把 Ox， Oy， Oz 轴画成对应的O x， O y， O z，则 x O y与 x O z的度数分别为( )A90，90 B45，908C135，90 D45或 135，90考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 D解析 根据斜二测画法的规则， x O y的度数应为 45或 135， x O z指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为 90.3下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析 可分别画出各组图
14、形的直观图，观察可得结论4如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )答案 C解析 设直观图中与 x轴和 y轴的交点分别为 A和 B，根据斜二测画法在直角坐标系中先做出对应的 A 点和 B 点，再由平行于 x轴的线段在原图中平行于 x 轴，且长度不变，作出原图可得 C.5已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为 20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为 8 m如果按 1500 的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,
15、0.5 cm,2 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm9答案 B解析 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B解析 由直观图的性质知 B 正确7如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，
16、则原来图形的形状是( )考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 A解析 直观图中正方形的对角线长为 ，故在平面图形中平行四边形的高为 2 ，只有 A 项2 2满足条件，故 A 正确8.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边 AB 平行于 y 轴，边 BC， AD 平行于x 轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形 A B C D的面积为( )2A4 cm 2 B4 cm2 C8 cm 2 D8 cm22 2答案 C解析 依题意可知， BAD45，则原平面图形 A B C D为直角梯形，上，下底边分别为 B C， A D，且长度分别与 BC， AD 相等
17、，高为 A B，且长度为梯形 ABCD 高的2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.210二、填空题9在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点是 M，则点M的坐标为_答案 (4,2)解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点 M的坐标为(4,2)10如图所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图 O A B C，则直观图梯形的高为_ cm.答案 22解析 作 CD， BE OA 于点 D， E，则 OD EA 2，OA BC2 OD CD2，直观图中梯形的高为 2 (cm)12 22 2211.
18、如图所示，四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0)， A(2,4)， B(4,0)， C(4，2)，则该图形直观图的面积为_答案 3 2解析 由 S 原 4(42)12，12则 S 直 S 原 123 .24 24 2三、解答题12如图所示，在梯形 ABCD 中， AB CD， AB4 cm， CD2 cm， DAB30， AD3 cm，11试画出它的直观图解 画法：(1)如图 a 所示，在梯形 ABCD 中，以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示，画出对应的 x轴， y轴，使 x O y45.(2)在图 a 中，过 D 点作
19、DE x 轴，垂足为 E.在图 b 中，在 x轴上取 A B AB4 cm，A E AE 2.598 cm；过点 E作 E D y轴，323使 E D ED 0.75 cm，12 12 32再过点 D作 D C x轴，且使 D C DC2 cm.(3)连接 A D、 B C，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图 c 所示，则四边形 A B C D就是所求作的直观图13画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm)解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图 ABC，其中 O 为 ABC 的重心， BC2 cm，线段 AO 与 x 轴的夹角为
20、45， AO2 OD.(2)过 O 作 z 轴，使 xOz90，在 z 轴上截取 OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图 A B C，其中 B C1 cm，线段 A O与 x 轴的夹角为 45，A O2 O D，连接 AA， BB， CC，得正三棱台的直观图四、探究与拓展14.如图所示为水平放置的 ABO 的直观图 A B O，由图判断在原三角形中，12AB， BO， BD， OD 由小到大的顺序是_答案 ODBDABBO15.如图为一边长为 1 的正方形 A B C D，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形原来的图形，并求出其面积解 (1)在正方形 A B C D中建系如图 a，建立直角坐标系 xOy 如图 b.(2)在 x 轴上截取 AO A O， OC O C.(3)过点 A 作 AD y 轴，并截取 AD2 A D.过点 C 作 CB y 轴，并截取 CB2 C B.(4)连接 DC， AB.四边形 ABCD 为原图形因为 A C在水平方向， A B C D为正方形，所以在四边形 ABCD 中， DA AC.所以 DA2 D A2， AC A C ，2所以 S 四边形 ABCD ACAD2 .2
