1、专题二 函数命题观察高考定位(对应学生用书第 4页)1(2017江苏高考)设 f (x)是定义在 R上且周期为 1的函数，在区间0,1)上， f (x)Error!其中集合 DError! ，则方程 f (x)lg x0 的解的个数是_8 由于 f (x)0,1)，则只需考虑 1 x10的情况在此范围内，当 xQ 且 xZ 时，设 x ， p， qN *， p2 且 p， q互质，若 lg xQ，则qp由 lg x(0,1)，可设 lg x ， m， nN *， m2 且 m， n互质，因此 10 ，则 10nnm qpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg xQ，(qp)因此 l
2、g x不可能与每个周期内 x D对应的部分相等，只需考虑 lg x与每个周期 xD部分的交点画出函数草图图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 xD部分，且 x1 处(lg x) 1，则在 x1 附近仅有一个交点，1xln 10 1ln 10因此方程解的个数为 8.2(2016江苏高考)函数 y 的定义域是_. 3 2x x2【导学号：56394007】3,1 要使函数有意义，需 32 x x20，即 x22 x30，得( x1)( x3)0，即3 x1，故所求函数的定义域为3,13(2016江苏高考)设 f (x)是定义在 R上且周期为 2的函数，在区间1,1)上， f
3、 (x)Error!其中 a R.若 f f ，则 f (5a)的值是_(52) (92) 因为函数 f (x)的周期为 2，结合在1,1)上 f (x)的解析式，得 f 25 ( 52)f f a，( 212) ( 12) 12f f f .(92) (4 12) (12) |25 12| 110由 f f ，得 a ，解得 a .(52) (92) 12 110 35所以 f (5a) f (3) f (41) f (1)1 .35 254(2013江苏高考)已知 f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， f (x) x24 x，则不等式 f (x) x的解集用区间表示为 _(5,
4、0)(5，) 设 x0，则 x0，于是 f ( x)( x)24( x) x24 x，由于 f (x)是 R上的奇函数，所以 f (x) x24 x，即 f (x) x24 x，且 f (0)0，于是 f (x)Error!当 x0 时，由 x24 x x得 x5；当 x0 时，由 x24 x x得5 x0，故不等式的解集为(5,0)(5，)5(2015江苏高考)已知函数 f (x)|ln x|， g(x)Error!则方程| f (x) g(x)|1 实根的个数为_4 当 0 x1 时，方程为ln x1，解得 x .1e当 1 x2 时， f (x) g(x)ln x2 x2单调递减，值域为
5、(ln 22,1)，方程 f (x) g(x)1 无解，方程 f (x) g(x)1 恰有一解当 x2 时， f (x) g(x)ln x x26 单调递增，值域为ln 22，)，方程 f (x) g(x)1 恰有一解，方程 f (x) g(x)1 恰有一解综上所述，原方程有 4个实根命题规律(1)以填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；函数的图象与性质；函数的奇偶性 、周期性与分段函数结合，考查函数的求值与计算；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力；考查数形结合解决问题的能力等(2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题
6、函数是高考数学考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，填空题、解答题中每年都有函数试题，而且常考常新以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势主干整合归纳拓展(对应学生用书第 4页)第 1步 核心知识再整合1函数的性质(1)函数的奇偶性：定义：一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( x) f (x)，那么函数 f (x)叫做偶函数；如果都有 f ( x) f (x), 那么函数 f (x)叫做奇函数，函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称图象特征：函数 f (x)是偶函数图象关于 y轴对称；函数
7、 f (x)是奇函数图象关于原点对称奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在 x0 处有定义，有 f (0)0，即其图象过原点(0,0)，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且 f ( x) f (x) f (|x|)，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的途径，切记！(2)函数的单调性：定义法：对于定义域内某一个区间 D内任意的 x1， x2，且 x1 x2，若 f (x1) f (x2)f (x)在 D上单调递增；若 f (x1) f (x2)f (x)在 D上单调递减导数法：若函数在某个区间 D可导，
8、如果 f (x)0，那么函数 f (x)在区间 D内单调递增；如果 f (x)0，那么函数 f (x)在区间 D内单调递减图象法：先作出函数的图象，再根据图象的上升或下降，从而确定单调区间 F(x) f (x) g(x)，若 f (x)， g(x)都是增函数，则 F(x)在其公共定义域内是增函数；若 f (x)， g(x)都是减函数，则 F(x)在其公共定义域内是减函数 F(x) f (x) g(x)，若 f (x)是增函数， g(x)是减函数，则 F(x)在其公共定义域内是增函数；若 f (x)是减函数， g(x)是增函数，则 F(x)在其公共定义域内是减函数同时要充分利用函数的奇偶性、函数
9、的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用(3)周期性：若 f (x a) f (x)(a0)，则函数 f (x)是周期函数，且 T2 a；若 f (x a)，则函数 f (x)是周期函数，且 T2 a；若 f (x a) ，则函数 f (x)是1f x 1f x周期函数，且 T2 a.函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一例： f (x)是奇函数，且最小正周期是 2，则 f (x2) f (x) f ( x)，所以 f (x)关于(1,0)对称 f (x)是偶函数，且图象关于 x1 对称，则 f (2 x) f ( x) f
10、 (x)，所以 f (x)周期是 2.2函数图象(1)函数图象的画法：描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换f (x) f (x a)， a 0 向 左 平 移 a个 单 位 a 0 向 右 平 移 |a|个 单 位 f (x) f (x) k， k 0 向 上 平 移 k个 单 位 k 0 向 下 平 移 |k|个 单 位 f (x) f (x )( 0， 1)，f (x) A 1 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 A倍 0 A 1 图 象 上 所 有
11、 点 的 横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的 A倍 Af (x)(A0， A1)，f (|x|)的图象的画法：先画 x0 时 y f (x)，再将其关于 y轴对称，得 y轴左侧的图象 .|f (x)|的图象画法：先画 y f (x)的图象，然后位于 x轴上方的图象不变，位于 x轴下方的图象关于 x轴翻折上去f (a x) f (a x)y f (x)的图象关于 x a对称； f (a x) f (a x)y f (x)的图象关于( a,0)点对称y f (x)的图象关于 x轴对称的函数图象解析式为 y f (x)；关于 y轴对称的函数解析式为 y f ( x)；关于原点
12、对称的函数解析式为 y f ( x)(2)熟记基本初等函数的图象，以及形如 y x 的图象：1x图 213指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质幂函数 y x 图象永远过(1,1)，且当 0 时，在 x(0，)上单调递增；当 0时，在 x(0，)上单调递减4函数与方程(1)方程 f (x)0 有实根函数 y f (x)的图象与 x轴有交点 函数 y f (x)有零点(2)如果函数 y f (x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)f (b)0，那么，函数 y f (x)在区间( a， b)内有零点，即存在 c( a， b)，使得 f (c)0，这个 c也就是方程 f
13、 (x)0 的根(3)若函数 y f (x)在区间( a， b)上有 f (a)f (b)0，若能找到一个自变量 c( a， b)，且 f (a)f (c)0 或 f (c)f (b)0，则函数 y f (x)在区间( a， b)上有零点(4)函数 y f (x)的零点就是 f (x)0 的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标(5)函数的零点就是函数 y f (x)的图象与 x轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图象，并结合零点存在性定理判断零点所在的区间第 2步 高频考点细突破函数定义域及其表示【例 1】 (江苏省南通市如东县、
14、徐州市丰县 2017届高三 10月联考)函数 f (x) lg( x1)的定义域是 _. 11 x【导学号：56394008】解析 由题意得Error! x1 且 x1，所以定义域是(1,1)(1，)答案 (1,1)(1，)【例 2】 (江苏省如东高级中学 2017届高三上学期第二次学情调研)设函数 f (x)Error!则 f (2) f (log212)_.解析 因为 f (2)1log 243， f (log212) 6，所以 f (2) f (log212)9，故应填答案 9.答案 9规律方法 (1)若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式(组)即可(2)对于复合函数求
15、定义域问题，若已知 f (x)的定义域 a， b，则复合函数 f (g(x)的定义域由不等式 a g(x) b得到(3)对于分段函数，知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解举一反三1(泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测)函数 f (x) 的定义域为1 2log6x_(0， 由题意得 12log 6x0log 6x 0 x6 ，即定义域为(0， 612 12 62(江苏省南通市如东高中 2017届高三上学期第二次调研)已知函数 f (x)Error!当x(， m时， f (x)的取值范围为 16，)，则实数 m的取值范围是_2,8
16、 x0 时， f (x)12 x x3， f ( x)3( x2)( x2)， x2 时，函数单调递减，2 x0 时，函数单调递增，当 x2 时，图象在 y轴左侧的函数取到极小值16，当 x8 时， y2 x16，当 x(， m时， f (x)的取值范围为16，)，则实数 m的取值范围是2,8故答案为：2,8函数的性质【例 3】 (江苏省如东高级中学 2017届高三上学期第二次学情调研)已知函数 f (x)在定义域2 a,3上为偶函数，在0,3 上单调递减，并且 f f ( m22 m2)，则 m的取( m2a5)值范围是_解析 由偶函数的定义可得 2 a30，则 a5，因为 m210， m2
17、2 m2( m1)210，且 f ( m21) f (m21)， f ( m22 m2) f (m22 m2)，所以m21 m22 m23，解之得 1 m .故应填 1 m .212 2 12答案 1 2，12)【例 4】 (江苏省泰州中学 2017届高三上学期第二次月考)已知奇函数 f (x)的图象关于直线x2 对称，当 x0,2 时， f (x)2 x，则 f (9)_.解析 图象关于直线 x2 对称， f (4 x) f (x)， f (x)是奇函数， f ( x) f (x)， f (4 x) f ( x)，即 f (4 x) f (x)，故 f (x8) f (x4)4 f (x4)
18、 f (x)，进而 f (x8) f (x)， f (x)是以 8为周期的周期函数f (9) f (1)2.答案 2规律方法 (1)判断函数的单调性的一般思路：对于填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式较复杂的，用导数法或定义法(2)对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，其次再看 f ( x)与 f (x)的关系(3)重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域(最值)、对应法则、对称性(包括奇偶性)、单调性、周期性、图象变换、基本初等函数(载体)，研究函数的性质要
19、注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象(形)的作用，善于从形的角度研究函数的性质举一反三(泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测文科)已知函数 f (x)是奇函数，当x0 时， f (x) x23 asin ，且 f (3)6，则 a_. x25 f (3)6 f (3)6，所以 f (3)93 asin 6 a5.(32)指数函数、对数函数、幂函数【例 5】 (泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测文科)已知幂函数 y f (x)的图象经过点 ，则 f 的值为_. (4，12) (14)【导学号：56394009】解析 设 y f (x) x ，则 4 ，因
20、此 f 2.12 12 (14) (14) 12答案 2【例 6】 (泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测)函数 f (x)log a(x1)1( a1 且 a1)恒过定点_解析 因为 loga10，所以恒过定点(2,1)答案 (2,1)规律方法 (1)对数函数的定义域为 x|x0，指数函数的值域 y|y0(2)熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论(3)注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图象，灵活运用数形结合思想解题举一反三(泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测)函数 f (x)
21、x22( a1) x2 在区间1,4上为单调函数，则 a的取值范围是_(，05，) 由题意得函数 f (x) x22( a1) x2 的对称轴为 x a1，函数 f (x) x22( a1) x2 在区间1,4上为单调函数，所以 a14 或a11 a5 或 a0，实数 a的取值范围为(，05，)函数的零点【例 7】 (泰州中学 20162017 年度第一学期第一次质量检测文科)定义在 R上的奇函数 f (x)，当 x0 时， f (x)Error!则函数 F(x) f (x) 的所有零点之和为_1解析 由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次设为 x1， x2， x3， x4， x5，满足x
22、1 x26， x3 ， x4 x56，因此所有零点之和为 .11 2 11 2答案 11 2规律方法 (1)求 f (x)的零点值时，直接令 f (x)0 解方程，当 f (x)为分段函数时，要分段列方程组求解；(2)已知 f (x)在区间 a， b上单调且有零点时，利用 f (a)f (b)0 讨论；(3)求 f (x)的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数 y f (x)与 y g(x)的图象交点个数，即方程 f (x) g(x)的解的个数，一般用数形结合法(4)已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解举一反三(2017江苏省盐城
23、市高考数学二模)若函数 f (x) x2 mcos x m23 m8 有唯一零点，则满足条件的实数 m组成的集合为_2 由题意，函数为偶函数，在 x0 处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为 0，则02 mcos 0 m23 m80， m4 或 2，m4 代回原式，令函数等于 0分离得两个函数画图存在有多个零点，不符题意，仅m2 存在唯一零点故答案为2函数模型及其应用【例 8】 (江苏省泰州中学 2017届高三摸底考试)某企业投入 81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 x个月的利润函数 f (x)Error!(单位：万元)为了获得更多的利润，企业将每
24、月获得的利润再投入到次月的经营中记第 x个月的利润率为 g(x) ，例如 g(3) .第 x个 月 的 利 润第 x个 月 的 资 金 总 和 f 381 f 1 f 2(1)求 g(10)；(2)求第 x个月的当月利润率；(3)求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率解 (1)依题意得 f (1) f (2) f (3) f (9)1， g(10) .f 1081 f 1 f 2 f 9 190(2)当 x1 时， g(1) .181当 1 x20 时， f (1) f (2) f (x1) f (x)1，则 g(x) ，f x81 f 1 f 2 f x 1
25、 180 x而 x1 也符合上式，故当 1 x20 时， g(x) .180 x当 21 x60 时， g(x)f x81 f 1 f 2 f 20 f 21 f x 1 ，110x81 20 2110 x 110110x101 x 21 x 2020 2xx2 x 1 600所以第 x个月的当月利润率为 g(x)Error!(3)当 1 x20 时， g(x) 是减函数，此时 g(x)的最大值为 g(1) .180 x 181当 21 x60 时， g(x) .2xx2 x 1 600 2x 1 600x 1 279 ，当 x40 时， g(x)有最大值为 .279 181 279即该企业经
26、销此产品期间，第 40个月的当月利润率最大，其当月利润率为 .279规律方法 (1)给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等(2)实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决举一反三(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 (单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系： 4 ，且投入3x 1的肥料费用不超过 5百元此外，还需要投入其他成本 2x(如投入的人工费用等)百元已知这种水蜜桃的市
27、场价格为 16元/千克(即 16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)(1)求利润函数 L(x)的关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解 (1) L(x)16 x2 x64 3 x(0 x5)(单位百元)(43x 1) 48x 1(2)法一： L(x)67 6723 43，当且仅当(48x 1 3 x 1 ) 16x 1 x 1x3 时取等号当投入的肥料费用为 300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元法二： L (x) 3 ，令： L (x)0，解得 x3.48
28、x 1 2 3 x 5 x 3 x 1 2可得 x(0,3)时， L (x)0，函数 L(x)单调递增； x(3,5时， L (x)0，函数 L(x)单调递减当 x3 时，函数 L(x)取得极大值即最大值当投入的肥料费用为 300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元第 3步 高考易错明辨析1混淆对称性与周期性出错若函数 f (x)对一切实数 x都有 f f ，且 f (1)4，求 f (3)(x32) (12 x)错解 函数 f (x)对一切实数 x都有 f f ，(x32) (12 x)函数是周期函数，且周期 T2， f (3) f (1)4.错解分析 (1)条件“ f
29、f ”不是周期性，而是对称性，应是函数关于(x32) (12 x)x1 对称(2)若函数 f (x)对一切实数 x都有 f (x a) f (b x)，则其图象关于 x 对称，若a b2函数 f (x)对一切实数 x都有 f (x a) f (x b)(a b)，则 y f (x)是周期函数，且其中一个周期为 T a b.正解 函数 f (x)对一切实数 x都有 f f ，即 f (t) f (2 t)，(x32) (12 x)tR，恒成立，函数 y f (x)的图象关于 x1 对称， f (3) f (1)4.2不能正确理解定义域与在某区间上有意义若函数 f (x) 在区间3，)上有意义，求
30、实数 a的取值范围ax 2错解 由题意，不等式 ax20 的解集是3，)，于是 x3 是方程 ax20 的根，代入求得 a .23错解分析 分不清“函数 f (x)的定义域是3，)”与“函数 f (x)在区间3，)上有意义”而致误若 f (x)在 M上有意义，则 M是函数 f (x)定义域的子集正解 因为函数 f (x) 在区间3，)上有意义，ax 2所以，不等式 ax20 对 x3，)恒成立，即 a 对 x3，)恒成立，而 2x 2x，即 a .(0，23 23专家预测巩固提升(对应学生用书第 8页)1设 x， yR，且满足Error!则 x y_. 【导学号：56394010】4 Erro
31、r!Error!设 f (x) x32 xsin x， xR，所以 f ( x) x32 xsin x f (x)，则 f (x)为奇函数，又 f ( x)3 x22cos x0，即函数 f (x)在 R上单调递增，由题意可知， f (x2)2， f (y2)2，所以 f (x2) f (y2)220，即 f (x2) f (y2) f (2 y)，因为函数 f (t)单调递增，所以 x22 y，即 x y4，故答案为 4.2(改编题)设函数 f (x) (aR，e 为自然对数的底数)若曲线 ysin x上存在ex x a一点( x0， y0)，使得 f (f (y0) y0，则 a的取值范围是_1，e 由题设可知 y0sin x01,1且 f (y0) .因为 ysin x存在点 P(x0， y0)使得 f (f (y0) y0，所以存在 y00,1使得 f (y0) y0，即 f (x) x在0,1上有解，也即 ex x x2 a在0,1上有解令 h(x)e x x x2， x0,1，则当x0,1时， h( x)e x12 x0，故 h(0) h(x) h(1)，即 1 ae，故应填答案1，e
