专题限时集训2　解三角形问题 Word版含答案.doc

1、专题限时集训(二) 解三角形问题(对应学生用书第 83 页)(限时：40 分钟)题型 1 利用正、余弦定理解三角形 1,2,3,4,5,6,9,10,11,13题型 2 与三角形有关的最值、范围问题 7,8,12,14一、选择题1(2017湖南长郡中学六模)若 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2bsin 2A asin B，且 c2 b，则 等于( )abA2 B3C. D2 3A 由 2bsin 2A asin B，得 4bsin Acos A asin B，由正弦定理得 4sin Bsin Acos Asin Asin B，sin A0，且 sin B

2、0，cos A ，由余弦定理得 a2 b24 b2 b2， a24 b2，14 2.故选 A.ab2(2017合肥一模)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos C ， bcos 223A acos B2，则 ABC 的外接圆面积为( ) 【导学号：07804015】A4 B8C9 D36C c bcos A acos B2，由 cos C 得 sin C ，再由正弦定理可得223 132R 6，即 R3，所以 ABC 的外接圆面积为 R29，故选 C.csin C3(2017长沙一模) ABC 中， C ， AB3，则 ABC 的周长为( )23A6si

3、n 3 B6sin 3(A 3) (A 6)C2 sin 3 D2 sin 33 (A 3) 3 (A 6)C 设 ABC 的外接圆半径为 R，则 2R 2 ，于是 BC2 Rsin A2 sin 3sin 23 3 3A， AC2 Rsin B2 sin ，于是 ABC 的周长为3 ( 3 A)2 32 sin 3.选 C.3sin A sin( 3 A) 3 (A 3)4(2016河北武邑中学期中)在 ABC 中， c ， b1， B ，则 ABC 的形状为( )3 6A等腰直角三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形D 根据余弦定理有 1 a233 a，解得 a1 或 a2

4、，当 a1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a2 时，三角形 ABC 为直角三角形，故选 D.5(2016海口调研)如图 23，在 ABC 中， C ， BC4，点 D 在边 AC 上， 3AD DB， DE AB， E 为垂足若 DE2 ，则 cos A( )2图 23A. B223 24C. D64 63C DE2 ， BD AD . BDC2 A，在 BCD 中，由正弦定理得2DEsin A 22sin A ， ，cos A ，故选 C.BCsin BDC BDsin C 4sin 2A 22sin A 23 423sin A 646(2016湖南十三校 3 月联考)在 ABC 中

5、，若 B60， a10， b7，则该三角形有且仅有两解；若三角形的三边的比是 357，则此三角形的最大角为 120；若 ABC 为锐角三角形，且三边长分别为 2,3， x，则 x 的取值范围是 x .其中正确命题的个数是( )5 13A3 B2C1 D0B 对于，由正弦定理得 sin A 1，所以该三角形无解，错；对于asin Bb 537，设三边分别为 3k,5k,7k(k0)，最大角为 ，由余弦定理知 cos ，所以 120，对；对于，当 x3 时，设最 3k 2 5k 2 7k 223k5k 12大边所对的内角为 ，由题意及余弦定理知 cos 0，解得22 32 x22233 x ；当

6、0 x3 时，设最大边所对的内角为 ，则 cos 0，解1322 x2 324x得 x3，所以 x ，对故选 B.5 5 137(2017合肥二模)在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足( a b)(sin Asin B)( c b)sin C若 a ，则 b2 c2的取值范围是( )3A(3,6 B(3,5)C(5,6 D5,6C 由正弦定理可得，( a b)(a b)( c b)c，即 b2 c2 a2 bc，cos A ，又b2 c2 a22bc 12A ， A . 2， b2 c24(sin 2Bsin 2C)(0， 2) 3 bsin B cs

7、in C 3sin 34sin 2Bsin 2(A B)4 sin 2Bcos 1 cos 2B2 1 cos2 A B 2 32B42sin 4.(2B 6) ABC 是锐角三角形， B ，即 2B ，( 6， 2) 6 ( 6， 56) sin 1，12 (2B 6)5 b2 c26.故选 C.8(2017南昌十校二模)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 sin Asin B ， b ，则 ABC 的面积的最大值为( )c sin A sin Ca b 3A B334 34C D332 32A 根据正弦定理由 sin Asin B 可得 a b ，得c

8、sin A sin Ca b c a ca ba2 b2 c(a c)，即 a2 c2 b2 ac，故 cos B， B(0，)， Ba2 c2 b22ac 12.又由 b ，可得 a2 c2 ac3，故 a2 c2 ac32 ac，即 ac3，当且仅当 3 3a c 时取等号，故 ac 的最大值为 3，这时 ABC 的面积取得最大值，为 3sin 312 . 3 334二、填空题9(2016云南第一次统一检测)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，如果ABC 的面积等于 8， a5，tan B ，那么 _. 43 a b csin A sin B sin C【

9、导学号：07804016】在 ABC 中，5654tan B ，43sin B ，cos B .45 35又 S ABC acsin B2 c8，12 c4， b ，a2 c2 2accos B 65 .a b csin A sin B sin C bsin B 565410(2017山西五校联考)如图 24 所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC45，根据以上数据可得 cos _.图 24 1 由 DAC15， DBC45可得 BDA

10、30， DBA135， BDC903(15 )3045 ，由内角和定理可得 DCB180(45 )4590 ，根据正弦定理可得 ，即 DB100sin 1550sin 30 DBsin 15100sin(4530)25 ( 1)，又 ，即2 325sin 45 252 3 1sin 90 ，得到 cos 1.25sin 45252 3 1cos 311(2017福建八校最后一卷)如图 25 所示，在圆内接四边形 ABCD 中，AB6， BC3， CD4， AD5，则四边形 ABCD 的面积为_图 256 如图所示，连接 BD，因为 ABCD 为圆内接四边形，所以10A C180，则 cos A

11、cos C，利用余弦定理得 cos A，cos C ，解得 BD2 ，所以 cos 62 52 BD2265 32 42 BD2234 2477C .由 sin2Ccos 2C1，得 sin C ，因为37 2107A C180，所以 sin Asin C ， S 四边形 ABCD S ABD S2107BCD 56 34 6 .12 2107 12 2107 1012(2017唐山石家庄联考)已知在三角形 ABC 中，角 A， B 都是锐角，且 sin(B C)3sin( A C)cos C0，则 tan A 的最大值为_. 【导学号：07804017】因为 sin(B C)3sin( A

12、C)cos C0，所以 sin(B C)3sin Bcos C，即 sin 34Bcos Ccos Bsin C3sin Bcos C，sin Ccos B4sin Bcos C易知 C90，所以 tan C4tan B，所以 tan(A B)4tan B，所以 tan Atan( A B) B (B 是锐角，tan B0)，当tan A B tan B1 tan A B tan B 3tan B1 4tan2B 113tan B 43tan B 1249 34且仅当 4tan B，即 tan B 时取等号，所以 tan A 的最大值为 .1tan B 12 34三、解答题13(2017湖南五

13、市十校联考)如图 26 所示，已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 acos C asin C b c0.3图 26(1)求 A；(2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B ， AD ，求 ABC 的面积17 1292解 (1) acos C asin C b c0，3由正弦定理得 sin Acos C sin Asin Csin Bsin C，3即 sin Acos C sin Asin Csin( A C)sin C，3又 sin C0，所以化简得 sin Acos A1，3所以 sin(A30) .12在 ABC 中，0 A180，所以 A30

14、30，得 A60.(2)在 ABC 中，因为 cos B ，所以 sin B .17 437所以 sin Csin( A B) .32 17 12 437 5314由正弦定理得， .ac sin Asin C 75设 a7 x， c5 x(x0)，则在 ABD 中， AD2 AB2 BD22 ABBDcos B，即25 x2 49x225 x 7x ，解得 x1，1294 14 12 17所以 a7， c5，故 S ABC acsin B10 .12 314(2017洛阳一模)如图 27，平面四边形 ABDC 中， CAD BAD30.图 27(1)若 ABC75， AB10，且 AC BD，

15、求 CD 的长；(2)若 BC10，求 AC AB 的取值范围. 【导学号：07804018】解 (1)由已知，易得 ACB45，在 ABC 中， BC5 .10sin 45 CBsin 60 6因为 AC BD，所以 ADB CAD30， CBD ACB45，在 ABD 中， ADB30 BAD，所以 DB AB10.在 BCD 中， CD 5 .CB2 DB2 2CBDBcos 45 10 43(2)AC AB BC10，cos 60 (AB AC)21003 ABAC，而 ABACAB2 AC2 1002ABAC ，(AB AC2 )2 所以 ， AB AC 2 1003 (AB AC2 )2 解得 AB AC20，故 AB AC 的取值范围为(10,20