1、专题限时集训(四) 数列求和(对应学生用书第 86页)(限时：40 分钟)题型 1 数列中 an与 Sn的关系 1,2,3,4,5,7,8,10,11,12题型 2 裂项相消法求和 6,9,13题型 3 错位相减法求和 14一、选择题1(2017武汉 4月模拟)已知数列 an满足 a11， a2 ，若 an(an1 2 an1 )133 an1 an1 (n2， nN *)，则数列 an的通项 an( ) 【导学号：07804030】A. B12n 1 12n 1C. D13n 1 12n 1 1B 法一：(构造法) an(an1 2 an1 )3 an1 an1 21an 1 2an 1 3
2、an 1an 1 1an，又 2， 是首项为 2、公比为 2的等比数列，则(1an 1an 1) 1a2 1a1 1an 1 1an 2 n，即 2 n2， 2 n1，1an 1 1an 1an 1a1 (1a2 1a1) (1a3 1a2) (1an 1an 1) 1an an .故选 B.12n 1法二：(特值排除法)由 a2(a12 a3)3 a1a3，得 a3 ，即可排除选项 A，C，D.故选 B.172(2017山西重点中学 5月联考)设 Tn为等比数列 an的前 n项之积，且 a16， a4 ，34则当 Tn最大时， n的值为( )A4 B6C8 D10A 设等比数列 an的公比为
3、 q， a16， a4 ， 6 q3，解得34 34q ， an6 .12 (12)n 1 Tn(6) n (6) n ，当 n为奇数时，(12)0 1 2 (n 1) (12)n n 12 Tn0，当 n为偶数时， Tn0，故当 n为偶数时， Tn才有可能取得最大值 T2k36 k k(2k1) . 36 ，当(12) T2k 2T2k36k 1(12) k 1 2k 1 36k(12)k 2k 1 (12)4k 1 k1 时， 1；当 k2 时， 1.T4T2 98 T2k 2T2k T2 T4， T4 T6 T8，则当 Tn最大时， n的值为 4.3(2017郑州第二次质量预测)已知数列
4、 an满足 an1 an an1 (n2)， a1 m， a2 n， Sn为数列 an的前 n项和，则 S2 017的值为( )A2 017 n m B n2 017 mC m D nC 由题意可知，a1 m， a2 n， a3 a2 a1 n m， a4 a3 a2 m， a5 a4 a3 n， a6 a5 a4 m n， a7 a6 a5 m， a8 a7 a6 n，综上，数列 an是以 6为周期的数列，因为 2 01733661，且同一个周期内所有项的和为 0，所以 S2 017 a1 m.4(2017河南洛阳 3月模拟，7)某数学家在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3
5、,5,8,13，.该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则( a1a3 a )(a2a4 a )(a3a5 a )(a2 015a2 017 a )( )2 23 24 22 016A1 B1C2 017 D2 017B a1a3 a 121 21， a2a4 a 132 21， a3a5 a 253 21，2 23 24a2 015a2 017 a 1，22 016( a1a3 a )(a2a4 a )(a3a5 a )(a2 015a2 017 a )1 1 008(1) 1 0071.故2 23 24 22 016选 B.5(2016祁阳二模)已
6、知函数 f(n) n2cos(n)，且 an f(n) f(n1)，则a1 a2 a3 a100等于( )A0 B100C100 D10 200B f(n) n2cos(n)Error!(1) nn2，由 an f(n) f(n1)(1) nn2(1) n1 (n1) 2(1) nn2( n1) 2(1)n1 (2n1)，得 a1 a2 a3 a1003(5)7(9)199(201)50(2)100.故选 B.6(2017福州毕业班质量检测)已知数列 an中， a11，且对任意的 m， nN *，都有am n am an mn，则 ( ) 2 017 i 1 1ai【导学号：07804031】
7、A. B2 0172 018 2 0162 017C. D2 0181 009 2 0171 009D 令 m1，则 an1 a1 an n，又 a11，所以 an1 an n1，即an1 an n1，所以 a2 a12， a3 a23， an an1 n(n2)，把以上 n1 个式子相加，得 an a123 n，所以 an123 n ，当 n1 时，n n 12上式也成立，所以 an ，所以 2 ，所以 2n n 12 1an 2n n 1 (1n 1n 1) 2 017 i 1 1ai2(112) (12 13) ( 12 017 12 018) (1 12 018) ，故选 D.2 01
8、71 0097(2017福州五校联考)已知数列 an的首项 a1 a，其前 n项和为 Sn，且满足Sn Sn1 3 n22 n4( n2)，若对任意的 nN *， an an1 恒成立，则正整数 a的值是( )A5 B6C7 D8B 由 Sn Sn1 3 n22 n4( n2)，可以得到 Sn1 Sn3( n1) 22( n1)4，两式相减得 an1 an6 n5，故 an2 an1 6 n11，两式再相减得 an2 an6.对于Sn Sn1 3 n22 n4( n2)，由 n2 得 a1 a2 a120，即 a2202 a，故偶数项为以202 a为首项，6 为公差的等差数列，从而 a2n6
9、n142 a.对于Sn Sn1 3 n22 n4( n2)，由 n3 得 a1 a2 a3 a1 a237，即 a32 a3，从而a2n1 6 n92 a.由题意得Error!，解得 a ，故正整数 a的值为 6.234 2038(2017长沙二模)已知 Sn为数列 an的前 n项和，且 2am am1 am1 (mN *， m2)，若(a22) 52 016(a22) 32 017(a22)2 017，( a2 0162) 52 016(a2 0162) 32 017(a2 0162)2 017，则下列四个命题中真命题的序号为( ) S2 0164 032； S2 0174 034； S2
10、016 S2； a2 016 a20.A BC DC 构造函数 f(x) x52 016x32 017x， f(x)为奇函数且单调递增，依题意有f(a22)2 017， f(a2 0162)2 017，( a22) (a2 0162)0， a2 a2 0164.又 2am am1 am1 (mN *， m2)，数列 an为等差数列，且公差 d0， a1 a2 017 a2 a2 0164，则 S2 017 4 034，正确，公差 d0，故2 017 a1 a2 0172a2 016 a2 017， S2 016 4 032，错误；由题意知 a22， a2 2 016 a1 a2 0162016
11、2， d0， S2 016 S2 017 a2 0174 034(4 a1)4 030 a1， S2 a1 a2，若 S2 016 S2，则 a24 030，而此时( a22) 52 016(a22) 32 017(a22)2 017不成立，因此错误； a22， a2 0162， a2 016 a20，正确故选 C.二、填空题9(2017广东潮州二模)已知 Sn为数列 an的前 n项和， an23 n1 (nN *)，若bn ，则 b1 b2 bn_.an 1SnSn 1 由 an23 n1 可知数列 an是以 2为首项，3 为公比的等比数列，12 13n 1 1所以 Sn 3 n1，2 1
12、3n1 3则 bn ，则 b1 b2 bn an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1 (1S1 1S2) .(1S2 1S3) (1Sn 1Sn 1) 1S1 1Sn 1 12 13n 1 110(2017湖北四校联考)已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 a11， Sn1 Sn (nN *)，3nan则 S2 017_. 【导学号：07804032】31 0092 依题意得 an1 (nN *)，所以 a2 3，由 an1 (nN *)得 an2 3nan 3a1 3nan(nN *)，两式相除得 3，所以数列 a2n1 是首项为 1，公比为 3的等比数列，
13、3n 1an 1 an 2an数列 a2n是首项为 3，公比为 3的等比数列，所以 S2 017 a1 a2 a2 017( a1 a3 a2 017)( a2 a4 a2 016) 1 1 31 0091 33 1 0092.3 1 31 0081 311(2017广州一模)设 Sn为数列 an的前 n项和，已知 a12，对任意 p， qN *，都有ap q ap aq，则 f(n) (nN *)的最小值为_Sn 60n 1 a12，对任意 p， qN *，都有 ap q ap aq，令 p1， q n，则有292an1 an a1 an2，故 an是等差数列，所以 an2 n， Sn2 n
14、2 n， f(n) 1 n n2 n1 1.当 n18 时， f(7)Sn 60n 1 n2 n 60n 1 n 1 2 n 1 60n 1 60n 18 1 ；当 n17 时， f(6)7 1 ，因为 ，则 f(n)608 292 607 1027 292 1027(nN *)的最小值为 .Sn 60n 1 29212(2017福建毕业班质量检测)数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1 ， an1 Sn .用 x表示23 23不超过 x的最大整数，如：0.41，1.61.设 bn an，则数列 bn的前 2n项和为_ n 当 n2 时，由题意，得 Sn an1 ， Sn1 an ，两式相减
15、得，22n 13 23 23 23an an1 an，即 2( n2)，又当 n1 时， a1 ， a2 a1 ，所以 a2 ，即an 1an 23 23 432，所以数列 an是首项为 ，公比为 2的等比数列，所以 an 2n1 2n.所以a2a1 23 23 13b10， b212 b11， b322 b2， b452 b31， b5102 b4， b6212 b51， b7422 b6， b8852 b71， b2n1 2 b2n2 ， b2n2 b2n1 1，所以b1 b22 11， b3 b42 31， b5 b62 51， b7 b82 71， b2n1 b2n2 2n1 1，设数
16、列 bn的前 2n项和为 T2n，则 T2n n n .2 1 4n1 4 22n 13 23三、解答题13(2017南昌十校二模联考)已知等比数列 an满足 an0， a1a2a364， Sn为其前 n项和，且 2S1， S3,4S2成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 2a1log 2a2log 2an，求数列 的前 n项和 Tn.1bn解 (1)设数列 an的公比为 q，2 S1， S3,4S2成等差数列，2 S32 S14 S2，即 2(a1 a1q a1q2)2 a14( a1 a1q)，化简得 q2 q20，解得 q2 或 q1. an0， q1 不合题意，
17、舍去，由 a1a2a364 可得 a 64，解得 a24，故 2a14，得到 a12，32 an a1qn1 22 n1 2 n.(2) bnlog 2a1log 2a2log 2anlog 2(a1a2an)log 2212 n12 n ， n 1 n2 2 .1bn 2n n 1 (1n 1n 1) Tn 2 2 .1b1 1b2 1bn (11 12) (12 13) (1n 1n 1) (1 1n 1) 2nn 114(2017安徽百校联盟二模)已知在数列 an中， a12， a24，且an1 3 an2 an1 (n2)(1)证明：数列 an1 an为等比数列，并求数列 an的通项公
18、式；(2)令 bn ，求数列 bn的前 n项和 Tn. 2n 1an【导学号：07804033】解 (1)由 an1 3 an2 an1 (n2)，得 an1 an2( an an1 )，因此数列 an1 an是公比为 2，首项为 a2 a12 的等比数列所以当 n2 时， an an1 22 n2 2 n1 ，an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1(2 n1 2 n2 2)22 n，当 n1 时，也符合，故 an2 n.(2)由(1)知 bn ，2n 12n所以 Tn ，12 322 523 2n 12nTn ，12 122 323 524 2n 12n 1，得 Tn 12 12 222 223 224 22n 2n 12n 1 2 12 (122 123 124 12n) 2n 12n 1 2 1214(1 12n 1)1 12 2n 12n 1 1 ，12 12n 1 2n 12n 1 32 2n 32n 1所以 Tn3 .2n 32n
