1、数学文化专项练(二)(对应学生用书第 121 页)1我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数是 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )A134 石 B169 石C338 石 D1 365 石B 抽样比是 ，那么 1 534 石米夹谷 1 534 169(石)，28254 28254故选 B.2(2017福建 4 月教学质量检测)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九
2、斗二升，问筑堤几日 ”其大意为：“官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40 392 升，问修筑堤坝多少天 ”在这个问题中，第 5 天应发大米( )A894 升 B1 170 升C1 275 升 D1 467 升B 由题意，知每天派出的人数构成首项为 64，公差为 7 的等差数列，则第 5 天的总人数为 564 7390，所以第 5 天应发大米 39031 170 升，542故选 B.3 算数书竹简于 20 世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典
3、籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一” 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V l2h.它136实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3.那么，近似公式 V l2h 相当于将圆锥体275积公式中的 近似取为( )【导学号：07804142】A. B227 258C. D15750 355113B 设圆锥的底面圆半径为 r，则圆锥的底面圆周长 L2 r，所以圆锥底面圆的半径r ，则圆锥的体积为 V Sh r2h h L2h.又 V L2h，所以L2 13 13 13 L24 2 112 275L2h L2h，解得 .
4、112 275 2584(2017福建三明 5 月质检)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)如图 1，正方形 ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为 r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为( )图 1A. r3 B r383 83C. r3 D r3163 163C 由题意，根据祖暅原理，求得该几何体的体积与中截面面积为(2 r)2 R2的球的体积相等，所以几何体的体积为 R3 4r2r r3.43
5、43 1635(2017四川泸州四诊)孙子算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图 2 的算法来实现，若输入的 S， T 的值分别为 40,126，则输出 a， b 的值分别为( )图 2A17,23 B21,21C19,23 D20,20A 依据流程图运行程序： S40， T126，此时 T2 S 成立，( T2 S)246223，余数为 0，则 b 23， a S b402317，输出 a， b 结束T 2S2程序运行综上可得输出 a， b 的值分别为 17,23.6(2017广州一模)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都
6、为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑， PA平面ABC， PA AB2， AC4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A8 B12C20 D24C 法一：(还原几何法)将三棱锥 PABC 放入长方体中，如图，三棱锥 PABC 的外接球就是长方体的外接球因为PA AB2， AC4， ABC 为直角三角形，所以 BC 242 22.设外接球的半径为 R，依题意可得(2 R)22 22 2(2 )3 3220，故 R25，则球 O 的表面积为 4 R220，选 C.法二：(直接法)利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以 P
7、C 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O，易得 2R PC ，所以球 O 的表面积为204 R220，选 C.7 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图 3 所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦AB1 尺，弓形高 CD1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1 丈10
8、 尺，1 尺10寸，3.14，sin 22.5 )( )513图 3A600 立方寸 B610 立方寸C620 立方寸 D633 立方寸D 连接 OA， OB， OD，设 O 的半径为 R，则( R1)25 2 R2， R13.sin AOD .ADAO 513 AOD22.5，即 AOB45.故 AOB . S 弓形 ACB S 扇形 4OACB S OAB 169 10126.33(平方寸)，则 V633(立方寸)，故选 D.12 4 128(2017石家庄一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两个平行平面之间的两
9、个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图 4是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图 4、图 4、图 4分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )图 4A BC DD 设截面与底面的距离为 h，则中截面内圆的半径为 h，则截面圆环的面积为( R2 h2)；中截面圆的半径为 R h，则截面圆的面积为 ( R h)2；中截面圆的半径为 R ，则截面圆的面积为 2；中截面圆的半径为 ，则截面圆的面h2 (R h2) R2 h2积为 ( R2 h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选 D.9(2017湖北
10、七市联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图 5 所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n， x 的值分别为 3,4，则输出的 v 的值为( )【导学号：07804143】图 5A6 B25C100 D400C 输入 n3， x4，第一步： v1， i312；第二步：v1426， i211；第三步： v64125， i110；第四步：v254100， i0110.程序结束，输出的 v100，故选 C.10假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入月球球心 F 为
11、一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：图 6 a1 c1 a2 c2； a1 c1 a2 c2； ； c1a2 a1c2.c1a1 c2a2其中正确的式子的序号是( )A BC DD 由题图知 2a12 a2,2c12 c2；即 a1 a2， c1 c2， a1 c1 a2 c2，不正确 a1 c1| PF|， a2 c2| PF|， a1 c1 a2 c2，正确 c1a2 a1c2， a10， a20， .即 ，不正确c1a
12、2a1a2 a1c2a1a2 c1a1 c2a2 a1 a20， c1 c20. a a ， c c ，21 2 21 2又 a1 c1 a2 c2.即 a1 c2 a2 c1，即 a c 2 a1c2 a c 2 a2c1.21 2 2 21 a c c a 2 a1c22 a2c1，即( a1 c1)(a1 c1)( a2 c2)(a2 c2)21 21 2 22 a1c22 a2c1，整理得( a1 c1)(a1 a2 c1 c2)2 a1c22 a2c1， a1 c1， a1 a2， c1 c2，2 a1c22 a2c1.即 c1a2 a1c2，正确故选 D.11(2017湖北黄冈 3
13、 月模拟)关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对( x， y)，再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x， y)的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值，假如统计结果是m56，那么可以估计 _.(用分数表示)由题意得Error!，所以 ， ， .7825 m200 14 12 121211 56200 14 12 782512(2017江西 4 月新课程教学质量检测)我国古代，9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑
14、中包含许多与 9 相关的设计例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图 7)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈，则前 9 圈的石板总数是_图 7405 前 9 圈的石板数依次组成一个首项为 9，公差为 9 的等差数列，S999 9405.98213(2017衡水三模)公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积( V)与它的直径( D)的立方成正比” ，此即 V kD3，欧几里得未给出 k 的值.17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 V kD3中的常数 k 称为“立圆率”或
15、“玉积率” 类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式 V kD3求体积(在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长)假设运用次体积公式求得球(直径为 a)、等边圆柱(底面积的直径为 a)、正方体(棱长为 a)的“玉积率”分别为k1， k2， k3，那么 k1 k2 k3_. 1 由题意得，球的体积为 V1 R3 a3k1 ； 6 4 43 43 (a2)3 6 6等边圆柱的体积为 V2 R2a a a3k2 ；(a2)2 4 4正方体的体积 V3 a3k31，所以 k1 k2 k3 1. 6 414在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261
16、年)一书中，用如图 8(1)所示的三角形，解释二项和的乘方规律在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 8(1).17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 8(2)在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C C C ，其中 nrn r 1n r 1n是行数， rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_. 【导学号：07804144】1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C C C C C0n 1n rn n 1n n图 8(1)12 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 16 1C1n 1C0n 1C1n 1C1n 1C1n 1Crn 1C1n 1Cn 1n 1C1n 1Cn图 8(2) 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提1Cnn 1Crn 1C1n 2Crn 1 1C1n 2Cr 1n出倍数 ，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子 C C C1C1n 1 rn r 1n，有 .r 1n1Cnn 1Crn 1C1n 2Crn 1 1C1n 2Cr 1n
