1、第 15 讲 函数与方程题型 1 函数零点个数的判断(对应学生用书第 50 页)核心知识储备1零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0)，x2n所以 nln x x0.令 g(x) nln x x，则函数 fn(x)的零点与函数 g(x) nln x x 的零点相同因为 g( x) 1 ，令 g( x)0，得 x n，nx n xx所以当 xn 时， g( x)0，所以函数 g(x)在区间(0， n上单调递增，在区间 n，)上单调递减所以函数 g(x)在 x n 处有最大值，且 g(n) nln n n.当 n1 时， g(1)
2、ln 111 n(ln e1)0，因为 g(e2n) nln e2ne 2n0，所以 g(x)在区间3,3上是增函数，又 g(1)0，所以 g(x)在区间3,3上有且只有 1 个零点 x0(1,0)，且 x0 .h(x)cos 2x 在区间3,3上有 4 个零点： ， ， ， ，所以函 4 34 4 434数 f(x) g(x)h(x)在区间3,3上有 5 个零点题型强化集训(见专题限时集训 T2、T 5、T 6、T 13、T 14)题型 2 已知函数的零点个数求参数的取值范围(对应学生用书第 51 页)核心知识储备已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：直接法：
3、直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解典题试解寻法【典题 1】 (考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017太原二模)已知 f(x) x2ex，若函数g(x) f2(x) kf(x)1 恰有四个零点，则实数 k 的取值范围是( )A(，2)(2，) B.(2，4e2 e24)C. D(8e2， 2) (4e2 e24， )思路分析 f(x) x2ex 画 f(x)的图象 g(x)有四个零点 求 f x 令 f x t 数 形
4、结 合方程 t2 kt10 在 和 各有 1 解 实数 等 价 转 化 (0， 4e2) (4e2， ) 二 次 函 数 根 的 分 布 k 的取值范围解析 (数形结合思想) f( x) xex(x2)，令 f( x)0，得 f(x)的单调递增区间为(，2)，(0，)，令 f( x)0 为函数 f(x)的极大值， f(0)0 为函数 f(x)的极小值，故 f(x)0，作出其函数图象如图所示因为函数 g(x) f2(x) kf(x)1 恰有四个零点，令 f(x) t，则关于t 的方程 t2 kt10 有两个不相同的根，记为 t1， t2，且 0 ，故选 D.4e2 e24答案 D【典题 2】 (
5、考查已知方程根的个数求参数范围)已知函数 f(x)Error!，其中 m0.若存在实数b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_. 【导学号：07804106】思路分析 方程 f(x) b 有三个不同的根 函数 f(x)与函数 y b 有三个不同 等 价 转 化 的交点 依据 m 的取值画函数 f(x)的图象 求 m 的取值范围 分 类 讨 论 数 形 结 合 解析 f(x)Error!当 xm 时， f(x) x22 mx4 m( x m)24 m m2，其顶点为(m,4m m2)；当 x m 时，函数 f(x)的图象与直线 x m 的交点为 Q(m， m
6、)当Error!即 03 时，函数 f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数 b 满足 4m m20， a0，则 a的取值范围是( ) 【导学号：07804108】A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)B f( x)3 ax26 x，当 a3 时， f( x)9 x26 x3 x(3x2)，则当 x(，0)时， f( x)0；x 时， f( x)0，注意 f(0)1， f 0，则 f(x)的大致图象如图(1)所(23， ) (23) 59示图(1)不符合题意，排除 A、C.当 a 时， f( x)4 x26 x2 x(2x3)，则当 x 时， f( x)43 ( ， 32)0， x(0，
7、)时， f( x)0，则由 f( x)0 得 xln a.当 x(，ln a)时， f( x)0.所以 f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)()若 a0，由(1)知， f(x)至多有一个零点()若 a0，由(1)知，当 xln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)1 ln a.1a当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点；当 a(1，)时，由于 1 ln a0，1a即 f(ln a)0，故 f(x)没有零点；当 a(0,1)时，1 ln a0，即 f(ln a)0.1a又 f(2) ae4 ( a2)e 2 22e 2 20，故 f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数 n0满足 n0ln ，(3a 1)则 f(n0)e (ae a2) n0e n02 n00.n0 n0 n0 n0 由于 ln ln a，(3a 1)因此 f(x)在(ln a，)有一个零点综上， a 的取值范围为(0,1)
