1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图.思考 1 如何计算这个力所做的功？答案 W| F|s|cos .思考 2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理 条件 非零向量 a 与 b， a 与 b 的夹角为 结论数量| a|b|cos 叫做向量 a
2、与 b 的数量积(或内积)记法向量 a 与 b 的数量积记作 ab，即ab| a|b|cos 规定 零向量与任一向量的数量积为 0知识点二 平面向量数量积的几何意义思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 上的投影？什么叫做向量 a 在向量 b 上的投影？答案 如图所示， a， b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1| b|cos OA OB .|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，| a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.思考 2 向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同.梳理 (
3、1)条件：向量 a 与 b 的夹角为 .(2)投影：向量 b 在 a 方向上的投影 |b|cos 向量 a 在 b 方向上的投影 |a|cos (3)ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积.知识点三 平面向量数量积的性质思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.当 0 90时，非零向量的数量积为正数.当 90时，非零向量的数量积为零.当 90
4、 180时，非零向量的数量积为负数.梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 ，(1)a bab0.(2)当 a b 时， abError!(3)aa| a|2或| a| .aa(4)cos .ab|a|b|(5)|ab| a|b|.类型一 求两向量的数量积例 1 已知| a|4，| b|5，当(1) a b；(2) a b；(3) a 与 b 的夹角为 30时，分别求 a与 b 的数量积.解 (1) a b，若 a 与 b 同向，则 0，ab| a|b|cos 04520；若 a 与 b 反向，则 180， ab| a|b|cos 18045(1)20.(2)当 a b 时， 9
5、0， ab| a|b|cos 900.(3)当 a 与 b 的夹角为 30时， ab| a|b|cos 3045 10 .32 3反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 ， 0，180；(2)分别求| a|和 |b|；(3)求数量积，即 ab| a|b|cos ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a， ABC60 ，则 等于( )BD CD A. a2 B. a232 34C. a2 D. a234 32答案 D解析 如图所示，由题意，得 BC a， CD a， BCD12
6、0. ( )BD CD BC CD CD 2BC CD CD aacos 60 a2 a2.32类型二 求向量的模例 2 已知| a| b|5，向量 a 与 b 的夹角为 ，求| a b|，| a b|. 3解 ab| a|b|cos 55 .12 252|a b| a b2 |a|2 2ab |b|2 5 .25 2252 25 3|a b| a b2 |a|2 2ab |b|2 5.25 2252 25引申探究若本例中条件不变，求|2 a b|，| a2 b|.解 ab| a|b|cos 55 ，12 252|2a b| 2a b2 4|a|2 4ab |b|2 5 .425 4252 2
7、5 7|a2 b| a 2b2 |a|2 4ab 4|b|2 5 .25 4252 425 3反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用 a2| a|2，即| a| ，勿忘记开方.a2跟踪训练 2 已知| a| b|5，且|3 a2 b|5，求|3 a b|的值.解 |3 a2 b|29| a|212 ab4| b|292512 ab42532512 ab，|3 a2 b|5，32512 ab25， ab25.|3 a b|2(3 a b)29 a26 ab b292562525400，故|3 a b|20.类型三 求向量的夹角例 3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60，求向量
8、 a2 m n 与 b2 n3 m 的夹角.解 | n| m|1 且 m 与 n 夹角是 60， mn| m|n|cos 6011 .12 12|a|2 m n| 2m n2 41 1 4mn ，41 1 412 7|b|2 n3 m| 2n 3m2 41 91 12mn ，41 91 1212 7ab(2 m n)(2n3 m) mn6 m22 n2 6121 .12 72设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 7277 12又 0， ，故 a 与 b 的夹角为 .23 23反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，
9、.跟踪训练 3 已知 ab9， a 在 b 方向上的投影为3， b 在 a 方向上的投影为 ，求 a32与 b 的夹角 .解 Error! Error!即Error! Error!cos .ab|a|b| 963 12又0 180， 120.1.已知| a|8，| b|4， a， b120，则向量 b 在 a 方向上的投影为( )A.4 B.4 C.2 D.2答案 D解析 向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos a， b4cos 1202.2.设向量 a， b 满足| a b| ，| a b| ，则 ab 等于( )10 6A.1 B.2 C.3 D.5答案 A解析 | a b|2( a
10、 b)2 a22 ab b210， |a b|2( a b)2 a22 ab b26， 由得 4ab4， ab1.3.若 a b， c 与 a 及与 b 的夹角均为 60，| a|1，| b|2，| c|3，则( a2 b c)2_.答案 11解析 ( a2 b c)2 a24 b2 c24 ab2 ac4 bc1 242 23 240213cos 60423cos 6011.4.在 ABC 中，| |13，| |5，| |12，则 的值是_.AB BC CA AB BC 答案 25解析 易知| |2| |2| |2， C90.AB BC CA cos B ，513又 cos ， cos(18
11、0 B)，AB BC | | |cos(180 B)AB BC AB BC 135 25.(513)5.已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：(1) ；(2) ；(3) .AB AC AB BC BC AC 解 (1) 与 的夹角为 60.AB AC | | |cos 6011 .AB AC AB AC 12 12(2) 与 的夹角为 120，AB BC | | |cos 120AB BC AB BC 11 .(12) 12(3) 与 的夹角为 60，BC AC | | |cos 6011 .BC AC BC AC 12 121.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以
12、为正(当 a0， b0，0 90时)，也可以为负(当 a0， b0，90 180时)，还可以为 0(当 a0 或b0 或 90时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.ab| a|b|cos 中，| b|cos 和| a|cos 分别叫做 b 在 a 方向上的投影和 a 在 b方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在 a 方向上的投影为| b|cos ( 为 a， b 的夹角)， a 在 b 方向上的投影为| a|cos .(2)b 在 a 方向上的投影为 ， a
13、 在 b 方向上的投影为 .ab|a| ab|b|5.两非零向量 a， b， a bab0，求向量模时要灵活运用公式 |a| .a2课时作业一、选择题1.已知| a|2，| b|3，| a b| ，则| a b|等于( )19A. B.7 13C. D.15 17答案 A解析 因为| a b|219，所以 a22 ab b219，所以 2ab19496，于是| a b| .|a b|2 4 6 9 72.已知| a|3，| b|4，且 a 与 b 的夹角 150，则 ab 等于( )A.6 B.6 C.6 D.63 3答案 C3.已知| a|9，| b|6 ， ab54，则 a 与 b 的夹角
14、 为( )2A.45 B.135 C.120 D.150答案 B解析 cos ，ab|a|b| 54962 220 180， 135.4.若| a|2，| b|4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( )A.3 B.2 C.2 D.1答案 D解析 向量 a 在向量 b 方向上的投影是| a|cos 2cos 1201.5.已知向量 a， b 和实数 ，下列选项中错误的是( )A.|a| aaB.|ab| a|b|C. (ab) abD.|ab| a|b|答案 B解析 因为| ab| a|b|cos |( 为向量 a 与 b 的夹角)| a|b|co
15、s |，当且仅当 0 或 时，使| ab| a|b|，故 B 错.6.已知| a|2| b|0，且关于 x 的方程 x2| a|x ab0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( )A.0， B. ， 6 3C. ， D. ， 3 23 6答案 B解析 a24| a|b|cos ( 为向量 a 与 b 的夹角)，若方程有实根，则有 0，即 a24| a|b|cos 0，又| a|2| b|， 4| b|28| b|2cos 0，cos ，12又0 ， . 37.已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2
16、 EF，则 的值为( )AF BC A. B. C. D.58 18 14 118答案 B解析 如图所示， AF AD DF ，12AB 34AC ，BC AC AB ( )( )AF BC 12AB 34AC AC AB | |2 | |212AB 14AB AC 34AC 1 11 .12 14 12 34 18故选 B.8.在四边形 ABCD 中， ，且 0，则四边形 ABCD 是( )AB DC AC BD A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B二、填空题9.设 e1， e2是两个单位向量，它们的夹角为 60，则(2 e1 e2)(3 e12 e2)_.答案 9210.若
17、| a|1，| b|2， c a b，且 c a，则向量 a 与 b 的夹角为_.答案 12011.已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos ，若向量 a3 e12 e2与 b3 e1 e2的13夹角为 ，则 cos _.答案 223解析 | a| 3，3e1 2e229 4 121113|b| 2 ，3e1 e229 1 61113 2 ab(3 e12 e2)(3e1 e2)9 e 9 e1e22 e21 29911 28，13cos .8322 22312.已知向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ，| b|3，则 ab 的值为_.23答案 2解析 ab| a|b|cos a，
18、b| b|a|cos a， b3 2.2313.已知点 A， B， C 满足| |3，| |4，| |5，则 的值是AB BC CA AB BC BC CA CA AB _.答案 25解析 | |2| |2| |2，CA AB BC B90， 0.AB BC cos C ，cos A ，45 35 | | |cos (180 C)BC CA BC CA 45( )16.45 | | |cos(180 A)CA AB CA AB 53( )9.35 25.AB BC BC CA CA AB 三、解答题14.已知| a|4，| b|8， a 与 b 的夹角是 60，计算：(1)(2a b)(2a
19、b)；(2)|4 a2 b|.解 (1)(2 a b)(2a b)(2 a)2 b24| a|2| b|244 28 20.(2)|4 a2 b|2(4 a2 b)216 a216 ab4 b2164 21648cos 6048 2256.|4 a2 b|16.四、探究与拓展15.在 ABC 中，已知| |5，| |4，| |3，求：AB BC AC (1) ；(2) 在 方向上的投影；(3) 在 方向上的投影.AB BC AC AB AB BC 解 | |5，| |4，| |3.AB BC AC ABC 为直角三角形，且 C90.cos A ，cos B .ACAB 35 BCAB 45(1) 54 16.AB BC BA BC 45(2)| |cos ， .AC AC AB AC， AB |AB | 53355 95(3)| |cos ， AB AB BC BC， AB |BC | BA， BC |BC | 4. 54454
