1、2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应
2、用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一 几何性质及几何与向量的关系设 a( x1， y1)， b( x2， y2)， a， b 的夹角为 .思考 1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量共线的相关知识：a ba bx1y2 x2y10( b0).思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识：a bab0 x1x2 y1y20.梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的
3、几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何关系.类型一 用平面向量求解直线方程例 1 已知 ABC 的三个顶点 A(0，4)， B(4，0)， C(6，2)，点 D， E， F 分别为边BC， CA， AB 的中点.(1)求直线 DE， EF， FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程.解 (1)由已知得点 D(1，1)， E(3，1)， F(2，2)，设 M(x， y)是直线 DE 上任意一点，则 .DM DE ( x1， y1)， (2，2).DM DE (2)( x1)(2)(
4、y1)0，即 x y20 为直线 DE 的方程.同理可求，直线 EF， FD 的方程分别为x5 y80， x y0.(2)设点 N(x， y)是 CH 所在直线上任意一点，则 .CN AB 0.CN AB 又 ( x6， y2)， (4，4).CN AB 4( x6)4( y2)0，即 x y40 为所求直线 CH 的方程.反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练 1 在 ABC 中， A(4，1)， B(7，5)， C(4，7)，求 A 的平分线所在的直线方程.解 (3，4)， (8，6)，AB AC A 的平分线的一个方向向量为a
5、AB |AB |AC |AC | (35， 45) ( 45， 35) .(15， 75)设 P(x， y)是角平分线上的任意一点， A 的平分线过点 A， a，AP 所求直线方程为 (x4) (y1)0.75 15整理得 7x y290.类型二 用平面向量求解平面几何问题例 2 已知在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 CD、 AD 的中点， BE、 CF 交于点 P.求证：(1)BE CF；(2) AP AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0，0)， B(2，0)， C(2，2)，E(1，2)， F(0，1). (1) (1，2)， (2，1).BE CF
6、(1)(2)2(1)0，BE CF ，即 BE CF.BE CF (2)设点 P 坐标为( x， y)，则 ( x， y1)，FP (2，1)， ，FC FP FC x2( y1)，即 x2 y2，同理，由 ，得 y2 x4，BP BE 由Error! 得Error!点 P 的坐标为( ， ).65 85| | 2| |，AP 652 852 AB 即 AP AB.反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；
7、把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化.跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任一点， PE AB， PF BC，垂足分别为 E， F，连接 DP， EF，求证： DP EF. 证明 方法一 设正方形 ABCD 的边长为 1， AE a(0a1)，则 EP AE a， PF EB1 a， AP a，2 ( )( )DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF 1 acos 1801(1 a)cos 90 aacos 45 a(1 a)cos 452 2 a a2 a(1 a)0. ，即 DP EF.D
8、P EF 方法二 如图，以 A 为原点， AB， AD 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形 ABCD 的边长为 1，AP (0 )，2则 D(0，1)， P( ， )， E( ，0)， F(1， ).22 22 22 22 ( ， 1)， (1 ， ).DP 22 22 EF 22 22 2 2 0，DP EF 22 12 12 22 ，即 DP EF.DP EF 1.已知在 ABC 中，若 a， b，且 ab0，则 ABC 的形状为( )AB AC A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定答案 A2.过点 A(2，3)，且垂直于向量 a(2，1)
9、的直线方程为( )A.2x y70 B.2x y70C.x2 y40 D.x2 y40答案 A解析 设 P(x， y)为直线上一点，则 a，即( x2)2( y3)10，即 2x y70.AP 3.在四边形 ABCD 中，若 0， 0，则四边形 ABCD 为( )AD CB AC BD A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形答案 D解析 0，AD CB ，四边形 ABCD 为平行四边形.AD BC 又 0， ，AC BD AC BD 即平行四边形 ABCD 的对角线垂直，平行四边形 ABCD 为菱形.4.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8， AD5， 3 ， 2，则 的值C
10、P PD AP BP AB AD 是_.答案 22解析 由 3 ，得 ， ， CP PD DP 14DC 14AB AP AD DP AD 14AB BP AP AB AD 14AB AB .因为 2，所以( )( )2，即 2 22.又AD 34AB AP BP AD 14AB AD 34AB AD 12AD AB 316AB 因为 225， 264，所以 22.AD AB AB AD 5.如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 m ， n ，则 m n 的值为_.AB AM AC AN 答案 2解析 O 是
11、BC 的中点， ( ).AO 12AB AC 又 m ， n ，AB AM AC AN .AO m2AM n2AN 又 M， O， N 三点共线， 1，则 m n2.m2 n2利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.课时作业一、选择题1.在 ABC 中，已知 A(4，1)， B(7，5)， C(4，7)，则 BC 边的中线 AD 的长是( )A.2 B.5552C.3 D.5752答案 B解析 BC 的中点为 D ， ，(32， 6
12、) AD ( 52， 5)| | .AD 5522.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 ，则点 O 是 ABC 的OA OB OB OC OC OA ( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 D解析 ，OA OB OB OC ( ) 0，OA OC OB 0，OB CA OB AC.同理 OA BC， OC AB， O 为三条高的交点.3.已知非零向量 与 满足 0 且 ，则 ABC 的形状是AB AC (AB |AB |AC |AC |) BC AB， |AB， |AC |AC | 12( )A.三边均不相等的三角形B
13、.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形答案 D解析 由 0，得角 A 的平分线垂直于 BC， AB AC.(AB |AB |AC |AC |) BC 而 cos ， ，AB |AB |AC |AC | AB AC 12又 ， 0，180， BAC60.AB AC 故 ABC 为等边三角形，故选 D.4.在四边形 ABCD 中，若 (1，2)， (4，2)，则该四边形的面积为( )AC BD A. B.2 C.5 D.105 5答案 C解析 0， AC BD.AC BD 四边形 ABCD 的面积S | | | 2 5.12AC BD 12 5 55.已知点 A(2，3)， B(19，
14、4)， C(1，6)，则 ABC 是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 (19，4)(2，3)(21，7)，AB (1，6)(2，3)(1，3)，AC 21210， ，AB AC AB AC 又| | |， ABC 为直角三角形.AB AC 6.已知点 P 是 ABC 所在平面内一点，若 ，其中 R，则点 P 一定在( )CB PA PB A. ABC 的内部 B.AC 边所在的直线上C.AB 边所在的直线上 D.BC 边所在的直线上答案 B解析 ， ，CB PA PB CB PB PA ， P， A， C 三点共线，CP PA 点 P 一定在
15、AC 边所在的直线上.7.在 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点，若 1，则 AB 的长为( )AC BE A.1 B. C. D.12 13 32答案 B解析 设 AB 的长为 a(a0)，因为 ， ，AC AB AD BE BC CE AD 12AB 所以 ( )( )AC BE AB AD AD 12AB 2 2 a2 a1.12AB AD 12AB AD 12 14由已知，得 a2 a11，12 14又因为 a0，所以 a ，即 AB 的长为 .12 12二、填空题8.已知在矩形 ABCD 中， AB2， AD1， E， F 分别为 BC， CD 的中点，则(
16、 ) _.AE AF BD 答案 92解析 如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)， B(2，0)， D(0，1)， C(2，1). E， F 分别为 BC， CD 的中点， E ， F(1，1)，(2，12) ， (2，1)，AE AF (3， 32) BD ( ) 3(2) 1 .AE AF BD 32 929.已知直线 ax by c0 与圆 x2 y21 相交于 A， B 两点，若| AB| ，3则 _.OA OB 答案 12解析 如图，作 OD AB 于点 D，则在 Rt AOD 中， OA1， AD ，所以 AOD60，
17、32 AOB120，所以 | | |cos 12011( ) .OA OB OA OB 12 1210.若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足 3 0，则 ABM 与 ABC 的面积之AM AB AC 比为_.答案 13解析 如图， D 为 BC 边的中点，则 ( ).AD 12AB AC 因为 3 0，AM AB AC 所以 3 2 ，AM AD 所以 ，AM 23AD 所以 S ABM S ABD S ABC.23 13三、解答题11.在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC， AB2， BC1， ABC60，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，求 的最小
18、值.BE BC DF 19 DC AE AF 解 在等腰梯形 ABCD 中，由 AB2， BC1， ABC60，可得DC1， ， ， ( )( )AE AB BC AF AD 19 DC AE AF AB BC AD 19 DC AB AD AB 19 DC BC AD BC 19 DC 21cos 602 11cos 60 cos 120 ，19 19 29 2 1718由对勾函数的性质知 2 ，AE AF 29 2 1718 2918当且仅当 ，即 时，取得最小值 .29 2 23 291812.如图所示，在正三角形 ABC 中， D、 E 分别是 AB、 BC 上的一个三等分点，且分别靠
19、近点A、点 B，且 AE、 CD 交于点 P.求证： BP DC. 证明 设 ，并设 ABC 的边长为 a，则有PD CD ( )PA PD DA CD 13BA 23BA BC 13BA (2 1) ，13 BA BC .EA BA 13BC ， (2 1) k k .PA EA 13 BA BC BA 13BC 于是有Error! 解得 .17 ，PD 17CD ， ，BP BC CP 17BC 47BA CD 23BA BC 从而 ( )( )BP CD 17BC 47BA 23BA BC a2 a2 a2cos 600， ，821 17 1021 BP CD BP DC.13.如图，已
20、知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0，0)， B(4，1)， C(6，8). (1)求顶点 D 的坐标；(2)若 2 ， F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标.DE EC 解 (1)设点 D(m， n)，因为 ，AD BC 所以( m， n)(6，8)(4，1)(2，7)，所以顶点 D 的坐标为(2，7).(2)设点 I(x， y)，则点 F 坐标为 ，(1，72)由于 2 ，DE EC 故( xE2， yE7)2(6 xE， 8 yE)，所以 E ，(143， 233)由于 ， ( x4， y1)， ，BF ( 3， 52) BI BF BI 所以 (x4)3( y
21、1)， 52又 ，所以 x y， AE AI 233 143解得 x ， y .74 238则点 I 的坐标为( ， ).74 238四、探究与拓展14.在 ABC 中， AB3， AC 边上的中线 BD ， 5，则 AC 的长为_.5 AC AB 答案 2解析 设 BAC ， AD x，则 2 x3cos 5，AC AB xcos .56作 DE AB 于点 E，由 DE2 EB2 BD2，得( xsin )2(3 xcos )25，解得 xsin .116 x2cos2 x2sin2 x2 1，2536 1136 x1， AC2 x2.15.已知点 A(2，1).求过点 A 与向量 a(5，1)平行的直线方程.解 设所求直线上任意一点 P(x， y)，则 ( x2， y1).AP 由题意知 a，AP 故 5(y1)( x2)0，即 x5 y70.故过点 A 与向量 a(5，1)平行的直线方程为 x5 y70.
