1、月月考二 三角函数、平面向量、数列、不等式第 卷 (选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(2018河北衡水中学四调) 设向量 a(1,2),b(m, 1)若向量 a2b 与 2ab 平行,则 m( )A B72 12C. D.32 52答案:B解析:a2b(12m,4),2ab(2m,3) ,向量 a2b与 2ab 平行,(12m)34(2m ),解得 m .故选 B.122(2018湖南郴州第二次质监)已知 a,b 均为单位向量,且(2a b)(a 2b) ,则向量 a,b 的夹角为 ( )3
2、32A. B.6 4C. D.34 56答案:A解析:设向量 a,b 的夹角为 .因为| a|b| 1,所以(2a b)(a 2b)3ab3cos ,即 cos , .故选332 32 6A.3(2018深圳二模) 如图所示,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若 ,则 ( )AC AM BD A. B.43 53C. D2158答案:B解析:因为 ( )( )( AC AM BD AB BM BA AD AB ) ( ) () ,且 ,所以12AD AB AD AB (12 )AD AC AB AD Error!得Error!所以 ,故选 B.534(2018合肥一模) 已知在 AB
3、C 中,3sinA4cosB 6,3cos A4sin B1,则角 C 的大小为( )A. B.6 56C. 或 D. 或6 56 3 23答案:A解析:已知两式平方和得 91624sin(AB)37,因而sin(A B) .在ABC 中,sinCsin (AB)sin(AB ) ,因12 12而 C 或 ,又 3cosA4sinB1 化为 4sinB13cosA0,所以6 56cosA ,故 C ,故选 A.1312 3 65(2018福建六校联考)若函数 f(x)2sin(x) 对任意 x 都有 ff( x),则 f ( )(3 x) (6)A2 或 0 B0C2 或 0 D2 或 2答案
4、:D解析:由函数 f(x)2sin( x )对任意 x 都有 f f (x),(3 x)可知函数图象的一条对称轴为直线 x .根据三角函数的性质12 3 6可知,当 x 时,函数取得最大值或者最小值6f 2 或 2.故选 D.(6)6(2016天津卷,7) 设函数 f(x)2sin(x) ,xR,其中0, |.若 f 2,f 0,且 f(x)的最小正周期大于 2,(58) (118)则( )A , B ,23 12 23 1112C , D ,13 1124 13 724答案:A解析:本题考查三角函数的图象和性质 f 2, f 0,f( x)的最小正周期大于(58) (118)2, ,得 T3
5、,T4 118 58 34则 ,2T 23又 f 2sin 2,(58) (2358 )sin 1.(512 ) 2k ,k Z,512 2 2k ,kZ.12|y0,则下列式子一定成立的是( )A. 0 B2 x3 y01x y 1yC. x yx 0(12) (12)答案:C解析:A 选项中,根据题目条件取特殊值 x2,y1,于是 0,故 A 选项 不成立;B 选项中,当 x3,y 2 时,2 3y0,所以yx 1,故 C 选项成立;D 选项中,当 00,得q ;若删去 a3,则由 2a2a 1a 4 得 2a1qa 1a 1q3,又1 52a10,所以 2q1q 3,整理得 q(q1)(
6、q 1)q1.又 q1,则可得 q(q1) 1,又 q0,得 q .综上所述,q ,故 选 1 52 1 52B.10(2018湖南衡阳一中段考)已知数列a n,若a12,a n1 a n2n1,则 a2 016( )A2 011 B2 012C 2 013 D2 014答案:C解析:因为 a12,故 a2a 11,即 a21.又因为an1 a n2n1,a na n1 2n3,故 an1 a n1 2,所以a4a 22, a6a 42,a 8a 62, ,a2 016a 2 0142,将以上 1 007个等式两边相加可得 a2 016a 221 0072 014,所以 a2 0162 014
7、12 013,故选 C.11(2018新乡一模) 已知在正项数列 an中,a11,a 22,2a a a (n2),b n ,记数列2n 2n 1 2n 11an an 1bn的前 n 项和为 Sn,若 Sn3,则 n 的值是( )A99 B33C 48 D9答案:B解析:2a a a (n2),数列a 为等差数列,首2n 2n 1 2n 1 2n项为 1,公差 为 2213,a 13(n1)3n2.又 an0,a n2n, bn ( ),3n 21an an 1 13n 2 3n 1 13 3n 1 3n 2故数列 bn的前 n 项和 Sn ( )( )( 13 4 1 7 4 3n 1)
8、( 1),由 Sn ( 1) 3,解得 n33,故3n 213 3n 1 13 3n 1选 B.12某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:因素 产品 A 产品 B 备注研制成本、搭载费用之和/万元20 30计划最大投资金额 300万元产品质量/千克 10 5 最大搭载质量 110 千克预计收益/万元 80 60 则使总预计收益达到最大时,A,B 两种产品的搭载件数分别为( )A9,4 B8,5C 9,5 D8,4答案:A解析:设“神舟十一号”飞
9、船搭载新产品 A,B 的件数分别为x,y,最大收益 为 z 万元,则目标函数为 z80x 60y .根据题意可知,约束条件为Error!即Error!不等式组所表示的可行域为图中阴影部分(包含边界) 内的整数点,作出目标函数对应直线 l,显然直线 l 过点 M 时,z 取得最大值由Error!解得Error!故 M(9,4)所以目标函数的最大值为 zmax809604960,此时搭载产品 A 有 9 件,产品 B 有 4 件故选 A.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2017 新课标全国,13) 已知向量
10、 a,b 的夹角为 60,|a| 2,| b| 1,则|a2b| _.答案:2 3解析:本题考查向量数量积的计算由题意知 ab| a|b|cos6021 1,则 |a2b| 2(a2b)122| a|24|b |24ab4 4412.所以|a2b|2 .314(2018天津二模) 已知 x,y 为正实数,则 的最小2xx 2y x yx值为_答案:52解析:x,y 为正实数,则 1 2xx 2y x yx 2xx 2y yx 21 2yx1,令 t ,则yx yxt0, t1 t 2 2xx 2y x yx 21 2t 112 t 12 12112 t(t 12) 12 ,当且仅 当 t 时取
11、等号 的最大值为 .52 12 2xx 2y x yx 5215(2018河南一模) 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 2ccosB2ab,若ABC 的面积 S c,则 ab 的最32小值为_答案:12解析:在ABC 中,由条件及正弦定理可得2sinCcosB2sinAsinB2sin(BC)sinB,即2sinCcosB2sinBcosC2sinCcosBsinB,2sinBcosCsin B0,cosC ,C .于是ABC 的面积12 23S absinC ab c,c ab.由余弦定理可得12 34 32 12c2a 2b 2 2abcosC,整理可得 a2b2
12、a 2b 2ab3ab,当且仅当14ab 时取等号,ab12.16(2018江西新余一中调考)数列a n满足 a11, 1a2n 2(nN *),记 bn ,则数列b n的前 n 项和 Sn_.1an 1 1a2n2n答案:32n 32n解析:由 得 2,又 a11,得 1,所1a2n 2 1an 1 1a 2n 1 1a2n 1a21以数列 是以 1 为首 项,2 为公差的等差数列,所以 1( n1)1a2n 1a2n22n1,从而得到 a ,则 bn ,所以2n12n 1 2n 12nSn , Sn ,两式相减,12 322 2n 12n 12 122 323 2n 32n 2n 12n
13、1得 Sn 1 12 12 12 122 12n 1 2n 12n 1 12 12n 1 2n 12n 1 32,所以 Sn3 .2n 32n 1 2n 32n三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知 f(x)3x 2a(6a)x 6.(1)解关于 a 的不等式 f(1)0;(2)若不等式 f(x)b 的解集为 (1,3),求实数 a、b 的值解析:(1) f(x)3x 2a(6a) x6,f(1) 3 a(6a)6a 26a3,原不等式可化为 a26a3b 的解集 为( 1,3)等价于方程3x 2a(6a) x6b0的
14、两根为1,3,等价于Error!解得Error!18(本小题满分 12 分)已知向量 a(1,2),b( 2,1),k,t 为正实数,xa(t 21)b,y a b.1k 1t(1)若 xy ,求 k 的最大值;(2)是否存在 k,t,使 xy?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由解析:x(1,2)(t 21)( 2,1)(2t 21,t 23),y( , )1k 2t 2k 1t(1)若 xy ,则 xy0,即(2t 21)( )( t23)( )1k 2t 2k 1t0,整理得,k ,当且仅当 t ,即 t1 时取等号,tt2 1 1t 1t 12 1tk max .12(2
15、)假设 存在正 实数 k,t,使 xy ,则(2t 2 1)( )(t 23)2k 1t( ) 0,1k 2t化简得 0,即 t3tk0.t2 1k 1t因为 k,t 是正实数,故满足上式的 k,t 不存在,所以不存在 k,t,使 xy.19(本小题满分 12 分)(2018内蒙古集宁一中期中) 已知函数 f(x)Asin (A0, 0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一(x 6)个最低点的坐标分别为(x 0,2)和 .(x0 2, 2)(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求 sin 的值(x0 4)解析:(1) 函数 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别
16、为(x 0,2)和 ,(x0 2, 2)A 2, x0 x 0 ,即函数 f(x)的周期 T ,T2 2 2T ,解得 2.2故 f(x)2sin .(2x 6)(2)点 (x0,2)是函数 f(x)2sin 在 y 轴右侧的第一个最高(2x 6)点,2x 0 ,x 0 .6 2 6sin sin sin cos cos sin (x0 4) (6 4) 6 4 6 4 12 22 32 22 .2 6420(本小题满分 12 分)(2017新课标全国卷 ,17) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C;(
17、2)若 6cos Bcos C1,a3,求ABC 的周长解析:本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用(1)由题设 得 acsin B ,即 csin B .12 a23sin A 12 a3sin A由正弦定理得 sin Csin B .12 sin A3sin A故 sin Bsin C .23(2)由题设 及 (1)得 cos Bcos Csin Bsin C ,即 cos(BC)12 .12所以 BC ,故 A .23 3由题意得 bcsin A ,即 bc8.12 a23sin A由余弦定理得 b2c 2 bc9,即 (bc) 23bc9,得 bc .33故ABC
18、的周长为 3 .3321(本小题满分 12 分)(2018安徽江南十校联考) 已知 Sn是数列a n的前 n 项和,且满足 Sn2a nn4.(1)证明: Snn2为等比数列;(2)求数列 Sn的前 n 项和 Tn.解析:(1) 证 明:当 n1 时,a 1S 1,S12a 114,解得 a13.由 Sn2a nn4 可得 Sn2(S nS n1 )n4(n2) ,即 Sn2S n1 n4,所以 Snn22S n 1(n1)2 因为 S1124,所以S nn2是首项为 4,公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 Snn2 2n1 ,所以 Sn2 n1 n2,于是 Tn(2 22 32 n1 )
19、(12n)2n 41 2n1 22 n .nn 12 2n 3 n2 3n 8222(本小题满分 12 分)(2018云、贵、川三省百校大联考) 设数列a n是公差大于 0 的等差数列,S n为数列a n的前 n 项和已知 S39,且2a1,a 31,a 41 构成等比数列(1)求数列 an的通项公式;(2)若数列 bn满足 2 n1 (nN *),设 Tn是数列b n的前 n 项anbn和,证明:T n0.因为 S39,所以 a1a 2a 33a 29,即 a23.因为 2a1,a31, a41 构成等比数列,所以(2d) 22(3d)(42d),所以 d2.所以 ana 2(n2)d2n1.(2)证明:因为 2 n1 (nN *),anbn所以 bn (2n1) n1 ,2n 12n 1 (12)所以 Tn1 03 1(2 n1) n1 ,(12) (12) (12)所以 Tn 1 13 2(2 n3) n1 (2n1)12 (12) (12) (12) n,(12)由两式相减得Tn12 12 22 n1 (2 n1) n112 (12) (12) (12) (12) 3 ,整理化简得 Tn6 .1 (12)n 11 12 2n 12n 12n 2 2n 12n 2n 32n 1又因为 nN *,所以 Tn6 6.2n 32n 1