1、周周测 13 解析几何综合测试一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线 x (m21)y10 的倾斜角的取值范围是( )A. 0，4B.(0，4C. 0，4 (2，)D. 4，2) 34，)答案：B解析：直线的斜截式方程为 y x ，所以斜率 k1m2 1 1m2 1，设直 线的倾斜角为 ，则 tan ，所以 0tan1，解1m2 1 1m2 1得 0 ，即 倾斜角的取 值范围是 ，选 B.4 (0，42已知圆 C：x 2y 2 2x2mym 230 关于直线l：x y10 对称，则直线 x1 与圆 C 的位置关系是
2、( )A相切 B相交C相离 D不能确定答案：A解析：由已知得 C：(x1) 2( ym) 24，即圆心 C(1，m)，半径r2，因 为圆 C 关于直 线 l：xy10 对称，所以圆心(1， m)在直线l：xy10 上，所以 m2.由圆心 C(1,2)到直线 x1 的距离d112r 知，直线 x1 与圆 C 相切故选 A.3(2018天津二模 )椭圆 4x29y 2144 内有一点 P(3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A B23 32C D49 94答案：A解析：设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x 9y 144,
3、4x 9y 144，两式相减得21 21 2 24(x1x 2)(x1x 2)9(y 1y 2)(y1y 2)0，又 x1x 26，y 1y 24，k ，代入解得 k .y1 y2x1 x2 234(2018福州质检 )过点 P(1，2)作圆 C：(x1) 2y 21 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为( )Ay By34 12C y Dy32 14答案：B解析：圆(x1) 2y 21 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以|PC|2 为直径的圆的方程为( x1) 2( y1) 21，将1 12 2 02两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y .故选
4、12B.5(2018湘潭一模 )已知点 A(0，6)，B(0,6)，若对圆(x a)2( y3) 2 4 上任意一点 P，都有APB 为锐角，则实数 a 的取值范围是( )A( 5 ，5 )5 5B ( ， )55 55C (，5 )(5 ，)5 5D( ， )( ，)55 55答案：D解析：若对圆(xa) 2(y3) 24 上任意一点 P，都有APB 为锐角，则圆 (xa) 2(y3) 24 与圆 x2y 236 外离，即圆心距大于两圆的半径之和， 62，解得 a2 55，a 或 a .a2 32 55 55选 D.6(2017皖南八校联考) 抛物线 yax 2 与直线 ykxb(k 0)交
5、于 A， B 两点，且这两点的横坐标分别为 x1，x 2，直线与 x 轴交点的横坐标是 x3，则( )Ax 3x 1 x2B x1x2x 1x3x 2x3C x1x 2x 30Dx 1x2x 2x3x 3x10答案：B解析：由Error!消去 y 得 ax2kx b0，可知x1x 2 ，x1x2 ，令 kxb0 得 x3 ，所以 x1x2x 1x3x 2x3.ka ba bk7(2018广西名校第一次摸底) 点 P 是椭圆 1 上一点，x225 y29F 是椭圆的右焦点， ( )，| |4，则点 P 到抛物线OQ 12OP OF OQ y215x 的准线的距离为 ( )A. B.154 152
6、C 15 D10答案：B解析：设 P(5cos，3sin)，由 ( )，| |4，得OQ 12OP OF OQ 2 2 16，即 16cos240cos390，解得 cos(2 5cos2 ) (3sin2 )或 cos (舍去) ，即点 P 的横坐标为 ，故点 P 到抛物线34 134 154y215x 准线的距离为 .故选 B.1528(2018天津和平区期末) 已知双曲线 1( a0，b0)x2a2 y2b2的两条渐近线与抛物线 y28x 的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若ABO 的面积为 4 ，则双曲线的离心率为( )3A. B272C. D413答案：B解析：y 2 8
7、x 的准线 方程为 x2，双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y28x 的准线分别x2a2 y2b2交于 A，B 两点，ABO 的面积为4 ， 2 4 ，b a，c2a ，e 2.故选 B.312 4ba 3 3 ca9(2018惠州二模 )已知椭圆 1(ab0)的一个焦点为(x2a2 y2b2，0) ，且截直线 x 所得弦长为 ，则该椭圆的方程为 ( )2 2436A. 1 B. 1x212 y28 x28 y212C. 1 D. 1x24 y26 x26 y24答案：D解析：由已知得 c ，直 线 x 过椭圆的右焦点，且垂直于2 2x 轴，由Error!可得 y ，截直线 x 所
8、得弦长为 ，由Error!b2a 2 2b2a得 a26，b 24.所求椭圆的方程为 1.x26 y2410(2018 吉林长春外国语学校期中) 椭圆 y 21 的两个焦点x22分别是 F1， F2，点 P 是椭圆上任意一点，则 的取值范围是( )PF1 PF2 A 1,1 B 1,0C 0,1 D 1,2答案：C解析：由椭圆方程得 F1(1,0)，F 2(1,0)，设 P(x，y)， ( 1x ， y)， (1x ， y)，则 x 2y 21PF1 PF2 PF1 PF2 0,1，故选 C.x2211(2018 四川广元二诊) 已知双曲线C1： 1(a0，b0)的一焦点与抛物线 y28x 的
9、焦点 F 相同，x2a2 y2b2若抛物线 y28x 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 1，P 为双曲线左支上一动点，Q(1,3)，则|PF| PQ|的最小值为( )A4 B42 3C 4 D2 33 2答案：D解析：由题意，抛物线的焦点坐标为(2,0)，则双曲线的一个焦点坐标为(2,0)， 渐近线方程为 bxay0，抛物线 y28x 的焦点到双曲线 C1 的渐近 线的距离为1， 1，a 2b 24，a ，b1，双曲线方程为2bb2 a2 3 y21.设双曲线的左焦点 为 F，则x23|PF|2 |PF| ，| PF| PQ|2 |PF| | PQ|2 |F Q |3 3 32 3 ，当
10、且 仅当 Q，P，F共线时，取等号，即 |PF| PQ|的最3 2小值为 2 3 ，故 选 D.3 212(2018 广西玉林陆川中学期中) 从抛物线 y24x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA，PB ，A， B 为切点若直线 AB 的倾斜角为 ，则 P 点的纵坐标为( )3A. B.33 233C. D2433 3答案：B解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1， y)，则 kAB .y1 y2x1 x2 4y1 y2直线 AB 的倾斜角为 ， ，y 1y 2 .3 4y1 y2 3 433切线 PA 的方程 为 yy 1 (xx 1)，切线 PB 的方程为 yy
11、 22y1(xx 2)，即切线 PA 的方程为 y x y1，切线 PB 的方程为2y2 2y1 12y x y2.2y2 12y 1，y2 是方程 t22yt4x0 两个根，y 1y 22y .y433.故 选 B.233二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2018 湖南株洲模拟) 若点 P(2，1)为圆(x 1) 2y 225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是_ 答案：xy30解析：圆(x1) 2y 225 的圆心为 C(1,0)，点 P(2，1) 为弦 AB的中点，PC 的斜率为 1，直线 AB 的斜率为 1，由点斜式得
12、0 11 2直线 AB 的方程 为 y 11(x2)，即 xy 30.14(2018 桂林一模)已知双曲线 1 的左、右焦点分别x29 y216为 F1、 F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF 2，则点 P 到 x 轴的距离为_答案：165解析：由题意知，a3，b4， c5，从而|F1F2|10， |PF1|PF 2|6.设|PF 1|与| PF2|中 较小的值为 s，则较大的值为 6s ，因为 PF1PF 2，所以 s2(6s) 2100，得 s26s32.由PF 1F2为直角三角形，知点 P 到 x 轴的距离 d .s6 s10 3210 16515(2018 陕西延安黄陵中学模拟)
13、抛物线 M：y 22px( p0)与椭圆 N： 1(ab0)有相同的焦点 F，抛物线 M 与椭圆 Nx2a2 y2b2交于 A，B ，若 F，A， B 共线，则椭圆 N 的离心率等于 _答案： 12解析：如图所示，由 F，A，B 共线，知 AFx 轴，由抛物 线M：y22px(p0)与椭圆 N： 1(ab0)有相同的焦点 F，得x2a2 y2b2c.把 x 代入抛物 线方程可得 y22p ，解得 yp.p2 p2 p2A ，即 A(c,2c)将 A(c,2c)的坐标代入椭圆的方程可得 (p2，p) c2a21，又 b2a 2c 2，4c2b2 1，由椭圆的离心率 e ，整理得c2a2 4c2a
14、2 c2 cae46e 210，且 0 e1，解得 e232 ，2e 1.216已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F， P 是抛物线上不同于顶点的任意一点，过点 P 作抛物线的切线 l 与 x 轴交于点 Q，则 _.PQ FQ 答案：0解析：设点 P 的坐标为(x 0，y0)(x00)，则 x 2py 0.20对 y 求异，得 y ，所以过点 P 的切线方程为x22p xpyy 0 (xx 0)，x0p令 y0，得 xx 0 ，即 Q ，py0x0 x02 (x02，0)所以 .PQ (x02 x0， y0) ( x02， y0)又 F ，所以 ，(0，p2) FQ (x02， p2)
15、所以 0.PQ FQ ( x02， y0)(x02， p2) x204 py02 x204 x204三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知圆 O：x 2y 24 和点 M(1，a)(1)若 a3，求过点 M 作圆 O 的切线的切线长；(2)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程解析：(1) 若 a3， 则点 M(1,3)点 M(1,3)与圆心 O(0,0)的距离为| OM| ，12 32 10所以切线长为 l .|OM|2 r2 102 22 6(2)由题 意知点 M 在圆 O 上
16、，所以 12a 24，解得 a .3当 a 时，点 M(1， )，根据点在圆上的切线公式可知切线方3 3程为 x y4(或者 kOM ，切线的斜率为 ，再由点斜式得到3 313切线方程)；当 a 时，点 M(1， )，切线方程为 x( )y4.3 3 3因此，所求的切线方程为 x y40 或 x y40.3 318(本小题满分 12 分)(2018河南高中毕业年级考前预测) 已知圆 M：x 2y 2r 2(r0)与直线 l1：x y60 相切，设点 A 为圆上一动点， ABx 轴于3点 B，且动点 N 满足 ，设动点 N 的轨迹为曲线 C.AB 3NB (1)求曲线 C 的方程；(2)若直线
17、l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B，D 两点，求OBD 面积的最大值解析：(1) 设动 点 N(x，y)，A(x0，y0)，因 为 ABx 轴于 B，所以B(x0,0)，由题意得 r 3，所以圆 M 的方程为 x2y 29.|6|1 3由题意， ，所以(0，y 0) (x0x ，y)，AB 3NB 3所以Error!即Error!将 A(x， y)代入 x2y 29，得动点 N 的轨迹 C 的方程3 1.x29 y23(2)由题 意可 设直线 l： xym0，设直线 l 与椭圆 13x29 y23交于 B(x1，y1)，D(x2，y2)，联立方程Error!得10x26 mx3m 2
18、90，3108m 2 104(3m29)0，解得 m230，x1,2 . 63m 360 12m220 33m 90 3m210又因为点 O 到直线 l 的距离 d ，|BD|2|x 1x 2|2|m|2，290 3m210所以 SOBD 2 12|m|2 290 3m210 m290 3m210 (当且仅当 m230m 2，即 m215 时等号成立)3m230 m210 332所以OBD 面积的最大值为 .33219(本小题满分 12 分)(2018上海崇明一模 )已知点 F1，F 2 为双曲线 C：x 2 1 的y2b2左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线
19、C 于点 M， MF 1F230.(1)求双曲线 C 的方程；(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P 2，求 的值PP1 PP2 解析：(1) 设 F2，M 的坐 标分别为( ，0)，( ，y0)(y00)，1 b2 1 b2因为点 M 在双曲线 C 上，所以 1b 2 1，则 y0b 2，y20b2所以|MF 2|b 2.在 RtMF 2F1 中，MF 1F230，|MF 2|b 2，所以| MF1|2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|MF 2|b 22，故双曲线 C 的方程为 x2 1.y22(2)由条件可知：两条渐近线分别为 l1： x
20、y0，l 2： xy0.2 2设双曲线 C 上的点 P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为 ，由题意知cos .由点 P 到两条渐近线的距离分别为| PP1| ，|PP2|13 | 2x0 y0|3.| 2x0 y0|3因为 P(x0，y0)在双曲线 C：x2 1 上，所以 2x y 2.y22 20 20所以 cos .PP1 PP2 | 2x0 y0|3 | 2x0 y0|3 |2x20 y20|3 13 2920(本小题满分 12 分)(2018吉林二模 )已知抛物线 C：y 22px(p0)与直线x y40 相切2(1)求该抛物线的方程；(2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点
21、M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得 为定值？如果1|AM|2 1|BM|2存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由解析：(1) 联 立方程，有Error!消去 x，得 y22 py8p0，2由直线与抛物线相切，得 8p 232p0，解得 p4.所以抛物线的方程为 y28x .(2)假设 存在 满足条件的点 M(m,0)(m0)直线 l：xtym，由 Error!得 y28ty8m0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 y1y 28t，y 1y28m.|AM|2(x 1m) 2y ( t21)y ，21 21|BM|2(x 2m) 2y ( t21)y
22、 .2 2 1|AM|2 1|BM|2 1t2 1y21 1t2 1y2 1t2 1y21 y2y21y2 1t2 1，4t2 m4m2当 m4 时， 为定值，所以 M(4,0)1|AM|2 1|BM|221(本小题满分 12 分)(2017天津卷， 19)设椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，右x2a2 y2b2顶点为 A，离心率为 .已知 A 是抛物线 y22px (p0)的焦点，F 到12抛物线的准线 l 的距离为 .12(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点B(点 B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.
23、若APD 的面积为 ，62求直线 AP 的方程解析：(1) 设 点 F 的坐标为( c,0)依题意，得 ， a， ac ，解得 a1 ，c ，p2，进而得ca 12p2 12 12b2a 2c 2 .34所以椭圆的方程为 x2 1，抛物 线的方程为 y24x .4y23(2)设直 线 AP 的方程为 xmy1(m0) ，与直线 l 的方程x1 联立，可得点 P ，故点 Q .( 1， 2m) ( 1，2m)将 xmy 1 与 x2 1 联立，消去 x，4y23整理得(3m 24) y26my0，解得 y0 或 y . 6m3m2 4由点 B 异于点 A，可得点 B .( 3m2 43m2 4，
24、 6m3m2 4)由点 Q ，( 1，2m)可得直线 BQ 的方程为(x1) 0，( 6m3m2 4 2m) ( 3m2 43m2 4 1)(y 2m)令 y0，解得 x ，故点 D .2 3m23m2 2 (2 3m23m2 2，0)所以|AD| 1 .2 3m23m2 2 6m23m2 2又因为APD 的面积为 ，62故 ，12 6m23m2 2 2|m| 62整理得 3m22 |m| 20，6解得|m| ，所以 m .63 63所以直线 AP 的方程为 3x y30 或 3x y30.6 622(本小题满分 12 分)(2018安徽合肥一模 )已知点 F 为椭圆 E： 1( ab0)的x
25、2a2 y2b2左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 x41 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.y2(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交x4 y2于不同的两点 A，B ，若 |PM|2|PA|PB|，求实数 的取值范围解析：(1) 由 题意得 a2c ，则椭圆 E 为 1，联立x24c2 y23c2Error!，得 x22x43c 20.直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，x4 y244(43c 2)0，得 c21，椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得 M ，(1，32)直线 1 与 y 轴 交于 P(0,2)，x4 y2|PM| 2 ，54当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB |(2 )(2 )1，3 3由 |PM|2 |PA|PB|，得 ，45当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2，A(x 1，y1)，B(x2，y2)联立Error!得(34k 2)x216kx40，依题意得，x 1x2 ，且 48(4k 21)0，43 4k2|PA |PB| |x1| |x2|(1k 2) 11 k2 1 k243 4k2 13 4k2 ，54 ，45(1 13 4k2)k 2 ， 1.14 45综上所述， 的取值范围是 .45，1)
