1、周周测 11 直线与圆的方程综合测试一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2018广西柳州月考) 已知直线 2xy30 的倾斜角为 ，则 sin2 的值是( )A. B.14 34C. D.45 25答案：C解析：由直线方程 2xy 30，得直 线的斜率 k2.直线2x y30 的倾斜角 为 ，tan 2， sin2 2sincossin2 cos2 .故选 C.2tan1 tan2 221 22 452(2018河南新乡一中周考) 若 m，n 满足 m2n10，则直线 mx3y n0 过定点 ( )A. B.(12
2、，16) (12， 16)C. D.(16， 12) ( 16，12)答案：B解析：m2n10，m2n1.mx3yn0，( mxn)3y 0，当 x 时， mxn mn ， 3y ，y ，故直12 12 12 12 16线过定点 .故选 B.(12， 16)3直线 l 经过点 M(2,1)，若点 P(4,2)和 Q(0，4) 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为( )A3x2y40B x 2 或 3x2y 4 0C x 2 或 x2y 0Dx 2 或 3x2y80答案：B解析：解法一 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为x2，符合题意当直线 l 的斜率存在时，依题意可设直线
3、l 的方程为 y1k( x2)，即 kxy12k0，因为 P(4,2)和 Q(0，4) 到直线 l 的距离相等，故|4k212k|5 2k| ，故 2k152k，解得k ，则直线 l 的方程为 3x2y 40， 选 B.32解法二 由题意，所求直线经过 P(4,2)和 Q(0，4) 的中点或与过 P(4,2)和 Q(0， 4)的直 线平行当所求直线经过 P(4,2)和 Q(0，4)的中点(2 ，1) 时，所求直线为 x2；当所求直 线与过 P(4,2)和 Q(0，4) 的直线平行时，由 kPQ ，得所求的直线方程为 y1 (x2) ， 4 20 4 32 32即 3x2y40.4若直线 l1：
4、ykxk1 与直线 l2：kyx 2k 的交点在第二象限，则 k 的取值范围是 ( )A. B.(12，1) (0，12)C. D.( 12，0) ( 1， 12)答案：B解析：l 1，l2有交点， k1.由Error!可得Error!即交点坐标为，因 为交点在第二象限，故Error!得Error!所以 0k ，(kk 1，2k 1k 1) 12故选 B.5若两平行直线 l1：x2y m0(m0)与 l2：2xny60之间的距离是 ，则 mn( )5A0 B1C2 D1答案：C解析：因为 l1，l2平行，所以 1n2(2)，解得 n4，即直线 l2：x2y30.又 l1、l2之间的距离是 ，所
5、以 ，得5|m 3|1 4 5m2 或 m8(舍去)，所以 mn2，故 选 C.6(2018四川成都崇州崇庆中学期中) 已知圆 C 的圆心是直线xy 10 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线 xy30 相切，则圆的标准方程为( )Ax 2(y1) 28B x2( y1) 28C (x1) 2(y1) 28D( x1) 2( y1) 28答案：A解析：在 xy 10 中，令 x0，解得 y1.圆心 C(0,1)设圆的半径为 r，圆 C 与直线 xy30 相切，r 2 ，|1 3|2 2圆的标准方程为 x2( y1) 28.故选 A.7(2018广州一模 )已知圆 C：x 2y 2kx2y k 2
6、，当圆 C的面积取最大值时，圆心 C 的坐标为( )A(0,1) B(0 ，1)C (1,0) D( 1,0)答案：B解析：圆 C 的方程可化为 2( y1) 2 k21，所以当(x k2) 34k0 时圆 C 的面积最大故圆心 C 的坐标为 (0，1) 8(2018长春三模 )直线 kx3y30 与圆( x1) 2( y3)210 相交所得弦长的最小值为( )A2 B.5 5C 2 D.10 10答案：A解析：易知直线 kx3 y30 恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1) 的距离 为 ，当 圆心到直线 kx3y 30 的距离最大时( 即5圆心(1,3) 到定点 (0,1
7、)的距离 )，所得弦长最小，因此最短弦长为 22 .故选 A.10 5 59(2018山东济宁期中) 已知圆 M：(xa) 2y 24( a0)与圆N： x2( y1) 21 外切，则直线 xy 0 被圆 M 截得线段的长2度为( )A1 B. 3C 2 D2 3答案：D解析：由题意， 21，a2 ，圆心 M(2 ，0)到直a2 1 2 2线 xy 0 的距离 d 1 ，直线 xy 0 被2|22 0 2|2 2圆 M 截得线段的长度为 2 2 ，故选 D.4 1 310过原点 O 作圆 x2y 26x8yt0 的两条切线，切点分别为 P，Q 若| PQ|4，则 t 的值为( )A5 B20C
8、 10 或 20 D20 或 5答案：D解析：由题意知，圆的标准方程为(x3) 2 (y4) 2t25，设圆心为 E(3,4)，则|OE| 5， 圆的半径为 (t25)，所以|OP|25 t .所以 sinOEP ，故52 25 t2 t|OP|OE| t5|PQ| 2|PE|sinOEP2 4，得 t225t1000，解得25 tt5t20 或 t5，故 选 D.11若圆 O：x 2y 24 与圆 C：x 2y 24x4y40 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )Ax y 0 Bxy0C x y20 Dx y20答案：D解析：圆 C 的标准方程为(x2) 2( y2) 24，故圆心
9、 C 的坐标为( 2,2)因为圆 O 与圆 C 关于直线 l 对称，所以直 线 l 过 OC 的中点( 1,1)，且垂直于 OC，又 kOC1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 y 1x ( 1)，即 xy20.故选 D.12若直线 l：yk (x4)与曲线 C： 2y 2(x 32)只有一个交点，则 k 的取值范围为( )94(53 x 3)A. 34， 34 ( 257，257)B. 257，257C. 34， 34 257，257D. 257，257)答案：C解析：曲线 C： 2y 2 是以 C 为圆心，(x 32) 94(53 x 3) (32，0)r 为 半径的劣弧 EF
10、(如图所示，不包括两端点) ，且 E ，F32 (53，253)，又直 线 l：yk (x4) 过定点 D(4,0)，当直线 l 与 C 相切时，(53， 253)由 得 k ，又 kDEk DF ，结合|k(32 4)|k2 1 32 340 ( 253)4 53 275图形可知当 k 时，直 线 l：yk (x4) 与曲线34， 34 257，257C： 2y 2 只有一个交点(x 32) 94(53 x 3)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2018 长春二模)已知点 A(1,0)，B(3,0)，若直线 ykx1 上存在一点 P
11、，满足 PAPB ，则 k 的取值范围是_答案： 43，0解析：解法一 设 P(x0，kx01)，依题意可得 kPAkPB1，即 1，即(k 21) x (2k4) x040，则 (2 k4)kx0 1x0 1 kx0 1x0 3 20216( k21) 0，化 简 得 3k24k0，解得 k0，故 k 的取值范43围是 . 43，0解法二 若直线 ykx1 上存在点 P，满足 PAPB，则直线ykx 1 与以 AB 为直径的圆(x 2) 2y 2 1 有公共点，故1，即 3k24 k0，故 k 0，k 的取值范围为 .|2k 1|1 k2 43 43，014(2018 长沙一模)已知入射光线
12、经过点 M(3,4)，被直线l：x y30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案：6x y60解析：设点 M(3,4)关于直线 l：xy3 0 的对称点为M (a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以Error!解得a1， b0. 又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直 线的方程为 y 06 0，即 6xy 60.x 12 115(2018 福建福州文博中学月考) 直线 xy2 0 截圆3 3x2y 24 得劣弧对应的圆心角的大小为 _答案：3解析：圆心到直线的距离为 d ，弦长为 2| 23|2 32， 弦与两个半径构成的三角形为 正三角形， 直线4 3
13、x y2 0 截圆 x2y 24 得劣弧对应的圆心角的大小为 .3 3316(2017 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A( 12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x 2y 250 上若 20 ，则点 P 的横坐标的取PA PB 值范围是_答案：5 ，12解析： 因为点 P 在圆 O：x2y 250 上，方 法 1：所以设 P 点坐标为( x， )(5 x5 )50 x2 2 2因为 A(12,0)，B(0,6)，所以 (12x ， )或 (12x ， )，PA 50 x2 PA 50 x2(x,6 )或 ( x,6 )PB 50 x2 PB 50 x2因为 20，先取 P(x，
14、)进行计算，PA PB 50 x2所以(12x)(x)( )(6 )20，即50 x2 50 x22x 5 .50 x2当 2x5 0，即 x 时，上式恒成立；52当 2x5 0，即 x 时，(2x 5) 250x 2，解得 5x1，52故 x1.同理可得 P(x， )时，x5.50 x2又5 x 5 ，所以5 x 1.2 2 2故点 P 的横坐标的取值范围为5 ，12设 P(x，y)，则 (12x，y) ， ( x,6y) 方 法 2： PA PB 20， ( 12x)( x )(y)(6y) 20，PA PB 即 2xy50.如图，作圆 O：x2y 2 50，直线 2xy50 与O 交于
15、E，F 两点， P 在 圆 O 上且满足 2xy 50， 点 P 在 上AEDF由Error!得 F 点的横坐标为 1.又 D 点的横坐标为5 ，2 P 点的横坐标的取值范围为5 ，12三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)过点 M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x 3y100，l 2： 2xy80 所截得的线段恰好被 M 所平分，求此直线方程解：过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 x0，它和直线 l1，l2的交点分别是 ，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为(0，103)ykx 1，又 设该直线与直线
16、l1，l2分别交于 A，B 两点，则有Error!Error!由解得 xA ，73k 1由解得 xB .7k 2因为点 M 平分线段 AB，所以 xAx B2x M，即 0，解得 k .73k 1 7k 2 14故所求的直线方程为 y x1，14即 x4y40.18(本小题满分 12 分)已知圆 M 经过 A(1，2) ，B(1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2.(1)求圆 M 的方程；(2)若 P 为圆内一点，求经过点 P 被圆 M 截得的弦长最短(2，12)时的直线 l 的方程解：(1) 设圆 M 的方程为 x2y 2DxEy F0.令 y0，得 x2Dx F0，则圆在 x 轴
17、上的截距之和为x1x 2D；令 x0，得 y2EyF0，则圆在 y 轴上的截距之和 为y1y 2E.由题意有DE2，即 DE2.又A (1，2) ，B(1,0)在圆上，Error!解得Error!故所求圆 M 的方程为 x2y 22x30.(2)由(1)知，圆 M 的方程为(x1) 2y 24， 圆心为 M(1,0)当直线 l 过定点 P 且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截(2，12)得的弦长最短，此时 kPM ，0 121 2 12k l 2，于是直线 l 的方程为 y 2(x 2)，即1kPM 124x 2y90.19(本小题满分 12 分)(2018黑龙江鸡西虎林一中第一次月考) 已
18、知圆 C：(x 1)2y 29 内有一点 P(2,2)，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点(1)当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2)当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程；(3)当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长解：(1) 已知 圆 C：(x1) 2y 29 的圆心为 C(1,0)，因为直线 l 过点 P，C，所以直线 l 的斜率为 2，直 线 l 的方程为 y2( x1)，即2x y20.(2)当弦 AB 被点 P 平分 时，l PC，直线 l 的方程 为 y212，即 x2y60.(x 2)(3)当直 线 l 的倾斜角为 45时，斜率
19、为 1，直线 l 的方程为y2x2，即 xy0.圆心到直线 l 的距离为 ，圆的半径为 3，所以弦 AB 的长为 .12 3420(本小题满分 12 分)已知点 P(0,5)及圆 C： x2y 24x12y240.(1)若直线 l 过 P 点且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求 l 的方程；3(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程解析：(1) C 的标准方程为(x 2) 2(y6) 216，圆心坐标为(2,6) ，半径 r4.设 l：ykx5，由直 线 l 被C 截得的弦长为 4 及C 的半径3r4 知 C 的圆心到直 线 l 的距离d2， 2，k ；当 k 不存在时，直线 l 为
20、x0，满| 2k 6 5|1 k2 34足题意l 的方程为 y x5 或 x0.34(2)设弦的中点为 M(x，y)，将 ykx5 代入C 的方程中，得(1 k2)x22(2k)x110.设弦两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，2k 41 k2y 1y 2k(x 1x 2)10 10 .2k2 4k1 k2 12k2 4k 101 k2M 为 AB 的中点，x ，y ，x1 x22 k 21 k2 y1 y22 6k2 2k 51 k2消去 k，得 x2y 22x11y300.当 k 不存在 时， 过点 P 的弦所在的直线为 x0，代入C 的方程，得 y212y24
21、0，此时点 M 的坐标为(0,6)点 M(0,6)满足方程x2y 22x 11y 300，过点 P 的C 的弦的中点的轨迹方程为x2y 22x 11y 300.21(本小题满分 12 分)已知圆 C1：x 2y 22 x10y240 与圆C2： x2y 22x 2y80.(1)求两圆公共弦长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程解析：(1) 两 圆方程相减得 x2y40，此即两圆公共弦所在直线方程又圆 C1的圆心 C1(1，5)到公共弦的距离 d 3 ，|1 10 4|5 5圆 C1的半径 r1 5 ，50 2由 d2( )2r (L 为公共弦长)，得 L2 2 ，即公共弦L2 21 r21
22、d2 5长为 2 .5(2)直线 C1C2的方程为 2xy 30，直线 C1C2与相交弦所在直线 x2y40 的交点为(2,1) ，即为所求圆的圆心又因为所求圆的半径为 ，L2 5所以以相交弦为直径的圆的方程为(x2) 2( y1) 25.22(本小题满分 12 分)(2018江苏宿迁调研 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆O：x 2y 2 64，圆 O1 与圆 O 相交，圆心为 O1(9,0)，且圆 O1 上的点与圆 O 上的点之间的最大距离为 21.(1)求圆 O1 的标准方程；(2)过定点 P(a，b) 作动直线 l 与圆 O，圆 O1 都相交，且直线 l被圆 O，圆 O1 截得的弦
23、长分别为 d，d 1.若 d 与 d1 的比值总等于同一常数 ，求点 P 的坐标及 的值解析：(1) 圆 O：x2 y264，圆 O1与圆 O 相交，圆 O1上的点与圆 O 上的点之间的最大距离是 21，圆 O1的半径为 4.圆心为O1(9,0)， 圆 O1的标准方程为(x 9) 2y 2 16.(2)当直 线 l 的斜率存在 时，设方程为 ybk( xa)，即kx yka b0.O，O 1到直线 l 的距离分别为 h ，h1 ，|ka b|1 k2 | 9k ka b|1 k2d2 ，64 (|ka b|21 k2)2d12 .16 (| 9k ka b|1 k2 )2d 与 d1的比值总等
24、于同一常数 ，64 2 2 ，(|ka b|21 k2) 16 (| 9k ka b|1 k2 )264 a 216 2 2(a9) 2k22b a 2(a9)k64b 2 2(16b 2)0.由题意，上式对任意实数 k 恒成立，64a 216 2 2(a9)20,2b a 2(a9)0,64b 2 2(16b 2)0 同时成立如果 b0，则 6416 20，2(舍去负值)，从而 a6 或 18；2，P (6,0)，P(18,0)如果 a 2(a9)0， 显然 a9 不满足， 则 2 ，代入aa 964a 216 2 2(a 9)20，从而得3a243a1920， 432431924550，故方程无解，舍去当点 P 的坐标为(6,0)时，若直线 l 的斜率不存在，此时d4 ，d1 2 ， 2 也满足当点 P 的坐标为(18,0)，若直线 l7 7dd1的斜率不存在，此时直线 l 与两圆都相等，故不满足综上，满足题意的 2，点 P 有两个，坐标 分别为(6,0) ，(18,0)
