1、专题六 函数应用题,命题预测,方法指导,函数作为初中数学最基本、最核心的内容之一,一直是中考命题的重要考点,函数的应用与现实生活联系紧密,既能有效考查函数的基础知识、基本技能、基本思想方法,又能考查同学们探索创新能力和实践能力,所以一直以来是安徽省中考命题的热点,每年必考,甚至一份试卷多次考查.题型以解答题为主,试题背景鲜活,问题设置巧妙,难度大.安徽中考已经连续3年在22题设置函数综合应用题,2018年中考中函数应用题出现的可能性仍然较大.,命题预测,方法指导,1.理解自变量和函数的实际意义,是解题的出发点,尤其是没有直接给出自变量时,一定理解实际问题找准自变量. 2.理清自变量和函数之间的
2、对应关系,求出函数解析式,这一步是解题的关键.若给出的问题比较复杂,可以借助图形或表格帮助分析(如复杂的行程问题一般借助线段图,复杂的最优化问题一般借助表格). 3.利用函数性质解决问题时,一定要注意自变量的取值范围,特别提醒的是:随自变量取值范围的改变,对应关系也发生改变的要分类讨论.,类型一,类型二,类型三,类型四,类型一,类型二,类型三,类型四,类型一,类型二,类型三,类型四,类型一 实际生活中的函数应用 例1(2017江苏泰州)怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1 120元,总利润为280元. (1)该店每天卖出这两种菜
3、品共多少份? (2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?,类型一,类型二,类型三,类型四,解:(1)设该店每天卖出A种菜品x份,B种菜品y份,20+40=60(份). 答:该店每天卖出这两种菜品共60份. (2)设A种菜品售价降低x元,因为两种菜品每天销售总份数不变,则B种菜品售价提高x元,这两种菜品一天的总利润是w元. 根据题意,得,=-4x2+24x+280=-4(x-3)2+316. 故这两种菜品一天的
4、总利润最多是316元.,类型一,类型二,类型三,类型四,类型二 图表信息类的函数应用 例2(2017湖北随州)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?,类型一,类型二,类型三,类型四,(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少1
5、27.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元? 分析:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为10(1-x),第二次降价后的价格为10(1-x)2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润=(售价-进价)销量-储存和损耗费用”,再分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2)中最大利润-(8.1-a-4.1)销量-储存和损耗费用127.5”求解.,类型一,类型二,类型三,类型四,解:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得:10(1-x)2=8.1. 解方程得:x1=0.1=10%,x2=
6、1.9(不合题意,舍去) 答:该种水果每次降价的百分率为10%. (2)第一次降价后的销售价格为:10(1-10%)=9(元/斤), 当1x9时,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352; 当9x15时,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80, 综上,y与x的函数关系式为:,当1x9时,y=-17.7x+352, 当x=1时,y最大=334.3(元); 当9x15时,y=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380, 当x=10时,y最大=380(元);,类型一,类型二,类型三,类型四,334.3380, 在
7、第10天时销售利润最大. (3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元,依题意得: 380-(8.1-a-4.1)(120-15)-(3152-6415+400)127.5, 解得a0.5. 则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元.,类型一,类型二,类型三,类型四,类型三 由函数产生新函数的应用 例3(2013安徽)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示.,(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件; (2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式; (3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大的
8、利润是多少?,类型一,类型二,类型三,类型四,类型一,类型二,类型三,类型四,当x=15时,y有最大值y1,且y1=612.5, 当21x40时,26 2500,y1y2,这40天中第21天时该网站获得利润最大,最大利润为725元.,类型一,类型二,类型三,类型四,类型四 球类运动中的函数应用 例4(2017安徽名校模拟卷)如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m. (1)足球飞行的时间是多少时,足
9、球离地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?,类型一,类型二,类型三,类型四,解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5),(0.8,3.5),1,2,3,4,5,6,7,1.(2017湖北孝感)为满足社区居民健身的需要,市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经考察,劲松公司有A,B两种型号的健身器材可供选择. (1)劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元,经过连
10、续两年降价,2017年每套售价为1.6万元,求每套A型健身器材年平均下降率n; (2)2017年市政府经过招标,决定年内采购并安装劲松公司A,B两种型号的健身器材共80套,采购专项经费总计不超过112万元,采购合同规定:每套A型健身器材售价为1.6万元,每套B型健身器材售价为1.5(1-n)万元. A型健身器材最多可购买多少套? 安装完成后,若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%,市政府计划支出10万元进行养护,问该计划支出能否满足一年的养护需要?,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)依题意得:2.5(1-n)2=1.6,则(1-n)2=0.64, 所以1-n=0.
11、8,所以n1=0.2=20%,n2=1.8(不合题意,舍去). 答:每套A型健身器材年平均下降率n为20%; (2)设A型健身器材可购买m套,则B型健身器材可购买(80-m)套, 依题意得:1.6m+1.5(1-20%)(80-m)112, 整理,得1.6m+96-1.2m112,解得m40, 即A型健身器材最多可购买40套; 设总的养护费用是y元,则 y=1.65%m+1.5(1-20%)15%(80-m),y=-0.1m+14.4. -0.10,y随m的增大而减小, m=40时,y最小. m=40时,y最小值=-0.140+14.4=10.4(万元). 又10万元10.4万元,该计划支出不
12、能满足养护的需要.,1,2,3,4,5,6,7,2.(2016江苏南京)下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位:L/km)与速度x(单位:km/h)之间的函数关系(30x120),已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1 km/h,耗油量增加0.002 L/km.(1)当速度为50 km/h,100 km/h时,该汽车的耗油量分别为 L/km, L/km. (2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式. (3)速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少?,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)0.13 0.14 (2)设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b
13、.,解得k=-0.001,b=0.18. 所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=-0.001x+0.18. (3)根据题意,得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y=0.12+0.002(x-90) =0.002x-0.06. 由图象可知,B是折线ABC的最低点.,因此,速度是80 km/h时,该汽车的耗油量最低,最低是0.1 L/km.,1,2,3,4,5,6,7,3.(2017四川成都)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫
14、距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:,(1)求y1关于x的函数表达式; (2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2= x2-11x+78来描述,请问:李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短?并求出最短时间.,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)设乘坐地铁的时间y1关于x的一次函数是y1=kx+b, 把x=8,y1=18;x=10,y1=22代入,y1关于x的函数表达式是y1=2x+2; (2)设从文化宫到家里所需的时间为y分钟,则y=y1+y2,1,2,3,4,5,6,7,4.(2017
15、安徽淮南模拟)如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米. (1)用含a的式子表示花圃的面积. (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求出此时通道的宽. (3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)由题可知:花圃的面积为(60
16、-2a)(40-2a)=4a2-200a+2 400; (2)通道的面积为6040-(4a2-200a+2 400)=-4a2+200a, 则-4a2+200a= 2 400, 4a2-200a+900=0,解得a=5,a=45(舍去), 通道的宽为5米. (3)设修建的通道和花圃的总造价为y元. 由图可知:y1=40x,再设花圃的面积为b m2,则通道的面积为(2 400-b) m2, b=4a2-200a+2 400=4(a-25)2-100, 2a10,当a = 2时,bmax=2 016,当a=10时,bmin = 800, 800b2 016,1,2,3,4,5,6,7,y=y1+y
17、2=40(2 400-b)+35b+20 000,即y=-5b+116 000(800b2 016), -50,y随b的增大而减小, 当b=2 016时,y最小,ymin=105 920. 此时2 016=4a2-200a+2 400,解得a=2或a=48(舍去), 当通道宽为2米时,修建的通道和花圃的总造价最低,为105 920元.,1,2,3,4,5,6,7,5.(2017安徽桐城模拟)某企业生产并销售某种产品.假设销售量与产量相等,下图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系. (1)请解释图中点D的横
18、坐标、纵坐标的实际意义; (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系; (3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元. (2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1, y1=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),这个一次函数的表达式为y1=-0.2x+60(0x90). (3)设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2, 该直线经过点(0,120)与(130,42),这个一次函数的表达式为y2
19、=-0.6x+120(0x130). 设产量为x kg时,获得的利润为W元,1,2,3,4,5,6,7,当0x90时,W=x(-0.6x+120)-(-0.2x+60)=-0.4(x-75)2+2 250, 当x=75时,W的值最大,最大值为2 250; 当90x130时,W=x(-0.6x+120)-42 =-0.6(x-65)2+2 535, 当x=90时,W=-0.6(90-65)2+2 535=2 160, 由-0.665时,W随x的增大而减小,当90x130时,W2 160,即当x=90时,W有最大值为2 160. 2 1602 250, 当x=75时,W的值最大,最大值为2 250
20、. 因此当该产品产量为75 kg时,获得的利润最大,最大值为2 250元.,1,2,3,4,5,6,7,6.(2016安徽桐城一模)某工厂生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销量为100万件,为了获得更好的效益,厂家准备拿出一定的资金做广告;根据统计,每年投入的广告费是x(十万元),产品的年销量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如表:(1)求y与x的函数关系式; (2)如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10万元30万元,问广告费在什么范围内,工厂获得的利润最大?最大利润是多少
21、?,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c,y与x的函数关系式为y=-0.1x2+0.6x+1; (2)利润=销售总额-成本费-广告费, S=(3-2)100y10-x=-x2+5x+10; (3)S=-x2+5x+10=-(x-2.5)2+16.25, 当x=2.5时利润最大,最大利润为16.25(十万元).,1,2,3,4,5,6,7,7.(2009安徽)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. (1)请说明图中,两段函数图象的实际意义.(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式;在上图的坐标系中画
22、出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.,1,2,3,4,5,6,7,(3)已调查,某经销商销售该种水果的日最高销售量与零售价之间的函数关系如下图所示.该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,解: 图中表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种水果,可按5元/kg批发; 图中表示批发量大于60 kg的该种水果,可按4元/kg批发.,图象如图所示.由图可知,资金金额满足240w300时,以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.,1,2,3,4,5,6,7,(3)设当日零售价为x元,由图可得当日最高销售量n=320-40x,当n60时,x6.5. 由题意,销售利润为 y=(x-4)(320-40x)=40(x-4)(8-x)=40-(x-6)2+4,从而x=6时,y最大值=160.此时,n=80. 即经销商应批发80 kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160元.,
