1、上海市16区2018 届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编二次函数专题宝山区24（本题共12 分，每小题各4分）设 a， b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb的实数 x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a， b对于一个函数，如果它的自变量 x与函数值 y满足：当 mxn时，有 myn，我们就称此函数是闭区间 m， n上的 “闭函数”如函数 y x4，当 x 1时， y3；当 x3 时， y1，即当1 x3时，恒有1 y3，所以说函数 y x4 是闭区间 1，3上的“闭函数”，同理函数 y x也是闭区间1，3上的“闭函数”（1）反比例函数 是闭区间1，2018上的“闭函数”
2、吗？请判断并说明理由208yx；（2）如果已知二次函数 y x24 x k是闭区间2， t上的 “闭函数”，求 k和 t的值；（3）如果（ 2）所述的二次函数的图像交 y轴于 C点， A为此二次函数图像的顶点， B为直线 x1上的一点，当 ABC为直角三角形时，写出点 B的坐标 长宁区24（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线 分别与 x轴、 y轴交于点 A、 C. 抛物线21xy经过点 A与点 C，且与 x轴的另一个交点为点 B. cbxy21点 D在该抛物线上，且位于直线 AC的上方（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结 BC、 BD，且 BD交 AC于点 E，如果 ABE的
3、面积与 ABC的面积之比为4:5，求 DBA的余切值；（3）过点 D作 DF AC，垂足为点 F，联结 CD. 若 CFD与 AOC相似，求点 D的坐标备用图第24 题图崇明区24（本题满分 12分，每小 题 各4分）如图，抛物线 过点 ， 为线段 OA上一个动点（点 M与点23yxbc(3,0)A(,2)B(,0)MmA不重合），过点 M作垂直于 x轴的直线与直线 AB和抛物线分别交于点 P、 N（1）求直线 AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点 P是 MN的中点，那么求此时点 N的坐标；（3）如果以 B， P， N为顶点的三角形与 相似，求点 M的坐标AP奉贤区如图，在平面直角坐标系
4、xOy 中，已知抛物线 与x轴交于点A（-238ybc2,0）和点B，与y 轴交于点C （0，-3），经过点A的射线AM 与y 轴相交于点 E，与抛物线的另一个交点为F，且 .13EF（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求FAB的余切值；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且AFP= DAB，求点P的坐标.（第24题图）AMPNBO xyBO xy（备用图）虹口区20、小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图像，下表与下图是他所完成的部分表格与图像，求该二次函数的解析式，并补全表格与图像x -1 0 2 4 y 0 5 9 0 24（本题满分12分，
5、第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y 轴交于点C （0，-4 ），BC与抛物线的对称轴相交于点D（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）过点A作AE AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若ADFABC，求点F 的坐标黄浦区20（本题满分10分）用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数264yxkmxay2图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.24（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线 x=1的抛物线
6、过点（2，0）28yaxb.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B ，与 x轴负半轴交于点 A，过 B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若ACBD ，试求平移后所得抛物线的表达式.嘉定区20.（本题满分10 分，每小题 5分）已知二次函数 cbxay2的图像上部分点的坐标（ x,y）满足下表：x -1 0 1 2 y -4 -2 2 8 （1）求这个二次函数的解析式；O xy（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.24.已知在平面直角坐标系 xOy(如图7)中,已知抛物线 cbx23y经过点 A
7、(1,0）、 B(0,2).(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴与 x轴的交点为 C,第四象限内的点 D在该抛物线的对称轴上 ,如果以点 A、 C、 D所组成的三角形与 AOB相似,求点 D的坐标；(3)设点 E在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1,联结 AE、 BE,求 sinABE.金山区24（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x 轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P （1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求
8、PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且 BCQ与 CMP相似，求点Q的坐标 静安区24 （本题满分12 分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8 分）在平面直角坐标系 xOy中（如图），已知抛物线 352bxay经过点 A（1，0 ）、 B（5， 0）（1）求此抛物线顶点 C的坐标；（2）联结 AC交 y轴于点 D，联结 BD、 BC，过点 C作CH BD，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x轴于点 G，联结 HG，求 HG的长闵行区19（本题满分 10分）如图在平面直角坐标系 xOy中， O为坐标原点，点A的坐标为（1，2 ），点 B在第一象限，且 OB OA，OB=2OA，求经过 A、 B、
9、O三点的二次函数解析式24（本题共3题，每小题4分，满分12 分）抛物线 经过点 A（ ，0 ）， B（ ，0），23(0)yaxb132且与 y轴相交于点 C（1）求这条抛物线的表达式；yO第24题图x（第24题图）yxOCBA（2）求 ACB的度数；（3）设点 D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E在线段 AC上，且 DE AC，当 DCE与 AOC相似时，求点 D的坐标浦东新区19（本题满分 10分）将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标52xy和对称轴24（本题满分 12分，每小题 4分）已知抛物线 y ax2 bx5与 x轴交于点 A(1，0)和
10、点 B(5，0)，顶点为 M点 C在 x轴的负半轴上，且 AC AB，点 D的坐标为(0，3)，直线 l经过点 C、 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 P是直线 l在第三象限上的点，联结 AP，且线段 CP是线段 CA、 CB的比例中项，求tan CPA的值；（3）在（ 2）的条件下，联结 AM、 BM，在直线 PM上是否存在点 E，使得 AEM=AMB.若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由普陀区yx12345123451 2 3 4 512345 O20.（本题满分10分）已知一个二次函数的图像经过 、 、 、 四点，0,3A10B， ,23Cm1,2D求这个函数的解析式及点 的
11、坐标C24（本题满分12分）如 图 10， 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛物线 （其中 、 为常2yaxcac数，且 0）与 轴交于点 ，它的坐标是 ，与 轴交于点 B，此抛物线顶点 到axA3,0C轴的距离为4x（1）求抛物线的表达式；（2）求 的正切值；CAB（3）如果点 是抛物线上的一点，且 ，试直接写出点 P的坐标PABPCO青浦区24（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 与x轴相交于点20yaxbcA（-1，0）和点B，与y 轴交于点C ，对称轴为直线 1（1）求点C的坐标（用含a
12、的代数式表示）；（2）联结AC 、 BC，若ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式； 图10（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x轴正半轴上一点，点 G与点C ，点F与点A关于点Q 成中心对称，当 CGF为直角三角形时，求点Q的坐标松江区19. （本题满分10 分，每小题各 5分）如图，已知平面直角坐标系 中，O 为坐标原点.二次函数xy的图像经过点A（3，0）、点B（0,3）,顶点为M2yxbc（1）求该二次函数的解析式；（2）求OBM的正切值.24.（本题满分12分，每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点
13、（点A在点B 的左侧），且AB=4又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与 y轴交于点D，与对称轴交于点 E. 设点P的横坐标为t.（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE:EP=1:2时，求点E的坐标；图9CBAOy xyBA xOPDC(第 24题图)EM（3）记抛物线的顶点为M，与 y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求 t的值.徐汇区20（本题满分 10分，第（ 1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知一个二次函数的图像经过 、 、 三点.(0,6)A(4,)B(6,0)C（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结 AC、 BC，求 .tanC24（本题满分
14、12分，第（ 1）小题满分3分，第（1）小题满分4分，第（3 ）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系 中，直线 （ ）沿着 轴向上平移3个单位长xOykx0y度后，与 轴交于点 B(3，0)，与 轴交于点 C抛物线 过点 B、 C且与 轴x 2bxcx的另一个交点为 A （1）求直线 BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为 D，求 的面积； B（3）如果点 在 轴上，且 CDF=45，求点 的坐标FyF杨浦区21 （本题满分10 分）yxBO第24题11Oy1x2 43 5 6-6 -5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25第20题甲、乙两人分别站在相距6米的 A
15、、 B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的 C处发出一球，乙在离地面1.5米的 D处成功击球，球飞行过程中的最高点 H与甲的水平距离 AE为4米，现以 A为原点，直线 AB为 x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.24 （本题满分12 分，第（ 1）小题3分，第（2 ）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 交 221yxmy轴于点为 A，顶点为 D，对称轴与 x轴交于点 H.（1）求顶点 D的坐标（用含 m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1 ，-2 ），且不经过第一象限时，
16、平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；x（3）当抛物线顶点 D在第二象限时，如果 ADH=AHO，求 m的值.O xy1 2 3 412345-1-2-3-1-2-3（第24题图）（第21题图）HA（ O） BCDxyE参考答案宝山区长宁区24（本题满分 12分，每小题 4分）解：（1）由已知得 A(-4,0),C(0,2) （1分）把 A、 C两点的坐标代入 得cbxy21（1分）0482b （1分）23c （1 分）1xy（2）过点 E作 EH AB于点 H由上可知 B（1,0） ABCABES54 （2分）OA215421 58 （1分）)8,(E9H （1分）90B85cot
17、EBDA（3） DF AC 90OCF若 ，则 CD/AO 点 D的纵坐标为2AC把 y=2代入 得 x=-3或 x=0（舍去）231xyD(-3,2) （2 分）若 时，过点 D作 DG y轴于点 G， 过点 C作 CQ DC交 x轴于点 QACOF 90Q 90AOAQCF 设 Q(m,0),则 4223m)0,(易证： CODG4QOC设 D(-4t,3t+2)代入 得 t=0(舍去)或者2312xy 83t （2 分）85,(D崇明区24、（1）解：设直线 的解析式为 （ ）ABykxb0 ，(3,0)(,2) 解得 1分kb3k直线 的解析式为 1分AB2yx抛物线 经过点 ，243
18、yxbc(3,0)A(,2)B 解得 1分902c12c 1分413yx（2） 轴， MN(,0)m设 ， 241(,32(,)3P ， 1分2NP 点是 的中点M 1分24233m解得 ， （不合题意，舍去） 1分12 1分10(,)23N（3） ， ， (,)A(,2)B(,2)3Pm ，13 APm BNM 当 与 相似时，存在以下两种情况： 1 PA 解得 1分2132413m18m 1分1(,0)8M2 BPAN 解得 1分2131342m52m 1分5(,0)M奉贤区虹口区黄浦区20. 解： 264yx= 2932（3分）= 22317317xx（2分）开口向下，对称轴为直线 ，顶
19、点 32x17,2（5分）24. 解：（1）由题意得： ， 42801ab（2分）解得： ， 12ab（1分）所以抛物线的表达式为 ，其顶点为（1,9）. 28yx（2分）（2）令平移后抛物线为 ， 21yxk（1分）易得D（1，k），B（0，k-1），且 ， 0k由BC平行于x 轴，知点C与点B关于对称轴x=1对称，得C（2，k -1）. （1分）由 ，解得 （舍正），即 .1k,0Ak（2分）作DHBC于H，CTx 轴于T，则在DBH 中， HB=HD=1，DHB=90，又ACBD，得CTADHB，所以CT =AT，即 ， 12kk（2分）解得k=4,所以平移后抛物线表达式为 . 2214
20、3yxx（1分）嘉定区已知二次函数 cbxay2的图像上部分点的坐标（ x,y）满足下表：x -1 0 1 2 y -4 -2 2 8 （3）求这个二次函数的解析式；（4）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.【解答】（1）将（-1，-4），（0,-2）,(1,2)三个点代入 23124cbaac所以 232xy（2） 417322xxy所以函数顶点坐标为 417,2，对称轴为 24.已知在平面直角坐标系 xOy(如图7)中,已知抛物线 cbx23y经过点 A(1,0）、B(0,2).(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴与 x轴的交点为 C,第四象限内的点 D在该抛物线
21、的对称轴上 ,如果以点 A、 C、 D所组成的三角形与 AOB相似,求点 D的坐标；(3)设点 E在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1,联结 AE、 BE,求 sinABE.【解答】（1）将点A (1，0),B(0，2 )代入得：32cb解得 b= 8- c=2抛物线表达式 238y2x（2）易得对称轴 x=2，点 c(2,0)点 D在抛物线对称轴上，设点 D（2， a）A、 C、 D所组成的三角形与 AOB相似BOA=ACD=9012OB CDA或AC=1所以 CD= 21或 CD=2所以点 D的坐标为： D(2, 21),D(2,-2)(3) E在抛物线的对称轴上，纵坐标是 1E（2,1）
22、根据两点坐标公式得 AB= 5,BE= ,AE= 2过点 A作 AF BE与点 F,设 EF=x，则有:222-5-x解得 x=AF= 53sinABE=金山区静安区24解：（1）抛物线抛物线 经过点 A（1，0 ）、 B（5 ，0）352bxay，解得 （2 分）,3520ba,41此二次函数的解析式为 35412xy，C（2，-3）（2分）)(354312xy（2）由题意可知：抛物线对称轴交 x轴于点 G, CG AB, AB=5（1）=6， AG=BG =3, G（2， 0）, CG= AG=BG=3, AC=BC=（1分）23, ACB是等腰直角三角形2ABCOD x轴， AOD =A
23、GC=90， ODCG， ， OD=1， D（0，1） （1分）3GODDA= ， DB= 26在Rt DCB中， CH BD, BHC =BCD=90，又 HBC =CBD， BCHBDC ，（1分） ， ， ，（1 分）DBHCD2 26)3(2BH2639 ，（1 分）26319BGA又 HBG =ABD， HBGABD （1 分） ， ， （2 分）BDGAH26313H答： HG的长为 13闵行区19解：作 AC x轴于点 C，作 BD x轴于点 D（1分）AO OB得 AOB= ， AOC+DOB= 9090BD x轴得： BDO= ， BOD+B= AOC=B， ACO=BDO=
24、 （1分）yO xA BCDGH AOC OBD（1 分） （1分）AOCBDOB=2AO，点 A的坐标为（ 1，2）（1分）OD=4， DB=2，点 B的坐标为（4，2）（1分）设所求的二次函数解析式为 ，2(0)yaxb由题意，得 （1 分）2164ab解得 （2分）32b所求的二次函数解析式为 （1 分）213yx24解：（1）由题意，得 （1分）09342ab解得 （2分）1b这条抛物线的表达式为 （1分）23yx（2）作 BH AC于点 H，A点坐标是（4，0）， C点坐标是（0，3）， B点坐标是（ ，0 ），32AC= ， AB= ， OC=3， BC= （1分）15252 ，即
25、 BAD= ，BCOAB 103BH （1分）304HRt BCH中， ， BC= ， BHC=90，1352 （1 分）又 AC2sinACBB是锐角， （ 1分）45（3）延长 CD交 x轴于点 G，Rt AOC中， AO=1， AC= ， 00cosAOCDCEAOC，只可能 CAO=DCE AG = CG （1分） 2cos10ACGAG=5 G点坐标是（4， 0）（1 分）点 C坐标是（0，3）， （1分）3:4CDlyx 解得 ， （舍）243yx7852xy03点 D坐标是（ ， ） （1 分）78浦东新区19解： = （3分）542xy1)2(x平移后的函数解析式是 （3分）y
26、顶点坐标是（-2，1 ）（2分）对称轴是直线 （2分）x24解：（1） 抛物线 与 轴交于点 A（1 ，0）， B（5，0 ），52bxay （1 分） .052ba；解得（2 分） .61； 抛物线的解析式为 .（1分） 562xy（2） A（1，0 ）， B（5，0）， OA=1， AB=4. AC=AB且点 C在点 A的左侧， AC=4 . CB=CA+AB=8. （ 1分） 线段 CP是线段 CA、 CB的比例中项， .CBPA CP= . （1 分）24又 PCB是公共角， CPACBP . CPA= CBP. （1分）过 P作 PH x轴于 H.（第24题图）lMP DH N E
27、C A BO xy OC=OD=3， DOC=90， DCO=45. PCH=45 PH=CH=CP =4，5sin H（-7，0）， BH=12. P（-7，-4）. ， . （1分）31tanBCP31tanCA（3） 抛物线的顶点是 M（3 ，-4）， （1分） 又 P（-7 ，-4）， PMx轴 . 当点 E在 M左侧， 则 BAM=AME. AEM=AMB， AEMBMA.（ 1分） . .BAME452E ME=5， E（-2 ，-4）. （1 分） 过点 A作 AN PM于点 N，则 N（1，-4）.当点 E在 M右侧时，记为点 ， A N=AEN， 点 与 E 关于直线 AN对
28、称，则 （4，-4）.（1 分） E综上所述， E的坐标为（ -2， -4）或（4，-4）.普陀区20 解：设所求二次函数解析式为 （1分）20yaxbc由这个函数的图像过 ，可知 （1分）0,3A3再由这个函数的图像过 和 ，得1B， ,2D（1分）30,2.ab解这个方程组，得 （2分）,1.ab因此，所求二次函数的解析式为 （1分）23yx由这个函数的图像过 ，得 ,3Cm2m解得 或 （2分）12所以点 的坐标为 或 （2分）,73,0224解：（1）由题意得，抛物线 的对称轴是直线 .（1分）2yaxc1x 0 ，抛物线开口向下，又与 轴有交点，抛物线的顶点 在 轴的上方.a Cx由
29、于抛物线顶点 到 轴的距离为4，因此顶点 的坐标是 .（1分）Cx 1,4可设此抛物线的表达式是 ，214ya由于此抛物线与 轴的交点 的坐标是 ，可得 .（1分）xA3,01a因此，抛物线的表达式是 .（1分） 2yx（2）点 的坐标是 .（1分）B0,3联结 .C ， ， ，得 .（1分）218A220AC22BCA 为直角三角形 ， .（1分）B9所以 .（1分）1tan3C即 的正切值等于 .A（3）点 P的坐标是 或 .（2 分+2分）1,0532,9青浦区24解：（1）抛物线 的对称轴为直线 ，20yaxbc1x ，得 （1分）12bxa把点 A（ -1，0）代入 ，得 ，2yax
30、bc=0abc （1 分）3cC（0 ，-3 a）（1分）（2）点 A、 B关于直线 对称，点 B的坐标为（3，0）（1 分）1xAB=4， OC=3a （1 分） ， ，12ABCSO436aa=1， b=-2， c=-3， （1 分） （1分）yx（3）设 点 Q的坐标为（ m， 0）过点 G作 GH x轴，垂足为点 H点 G与点 C，点 F与点 A关于点 Q成中心对称，QC=QG， QA=QF= m+1， QO=QH= m， OC=GH=3，QF= m+1， QO=QH= m， OC=GH=3， OF= 2m+1， HF= 1.当 CGF90 时，可得 FGH GQH OQC， ， ，
31、，tantanFGHOQCHFG13m =9mQ的坐标为（9，0 ）（2分）.当 CFG90 时，可得， ， ， ，tantanFGHOCHFG132m ， Q的坐标为（4，0）（1 分）=m.当 GCF90 时， GCF FCO90，此种情况不存在（1分）综上所述，点 Q的坐标为（4，0）或（9，0）松江区19.解：（1）抛物线 经过点 A（3,0），B（0,3）cbxy2 （1分）3c （1分）02b解得 （2分）4所求抛物线的表达式为 （1分）342xy（2） 由抛物线 解析式可得点M的坐标为（2,-1）， （2分）过点M作MH y轴，垂足为H则MH=2,BH=4 （2分） （1分）21
32、tanBO24.解：（1）抛物线y=x 2+bx+c的对称轴为直线x =1，抛物线与x轴交于A、B两点，且AB=4A的坐标为(-1 ,0),B的坐标为(3,0), 1分 yBA xOPDC(第 24题图)EMHQ 03)1(2cb解得： ， 2分3所以抛物线的表达式是： 1分32xy（2）令 抛物线对称轴交x轴于点Q过点P作PH x轴于点H,PHEQ1分点 P的横坐标为t. 由（1 ）得p(t ,t2-2t-3) 2QAE 1分1tt=51分p(5,12)由 AHPQEEQ=4E的坐标为(1,4) 1分(3) 由（ 1）得 32xy 4)(2xyM(1,-4) ， C（0，-3 ）1分CME=45四边形CDEM是等腰梯形AEM=45PAB=451分 AHP t2-2t-3=t+11分t=4(t=-1舍去)1分徐汇区20解：（1）设抛物线的解析式为 ，2(0)yaxbc将点 、 、 代入得：(0,6)A(4,)B(6,)C； （2分）1036cab
