1、东城区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ，则A. B. C. D. （2）函数 图像的两条相邻对称轴之间的距离是A. B. C. D. （3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为A. B. C. D. （4）若 满足 ，则 的最小值为A. B. C. D. （5）已知函数 ，则 的A.图像关于原点对称，且在 上是增函数B. 图像关于 轴对称，且在 上是增函数C. 图像关于原点对称，且在 上是减函数 D. 图像关于 轴对称，且在
2、上是减函数（6）设 为非零向量，则“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A.B.C.D.（8）现有 个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若 ，则甲有必赢的策略 B. 若 ，则乙有必赢的策略C. 若 ，则甲有必赢的策略 D. 若 ，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若复数 为纯虚数，则实数 . （10）在 的展
3、开式中， 的系数等于 .（11）已知 是等差数列， 为其前 项和，若 ，则 .（12）在极坐标系中，若点 在圆 外，则 的取值范围为 .（13）双曲线 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 1，则；若 双曲线与 不同，且与 有相同的渐近线，则 的方程可以是 .（14）如图 1，分别以等边三角形 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 称为勒洛三角形 ，等边三角形的中心 称为勒洛三角形的中心.如图 2，勒洛三角形 夹在直线和直线 之间，且沿 轴滚动，设其中心 的轨迹方程为 ，则 的最小正周期为 ；对的图像与性质有如下描述：中心对称图形； 轴对称图形； 一条直
4、线； 最大值与最小值的和为 2.其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 .（）求 的长；（）若 ，求 的面积.（16） （本小题 13 分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了 2017 年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开
5、盘价和收盘价，如下表：周一 周二 周三 周四 周五开盘价 164 165 170 172 a收盘价 164 164 169 173 170（）已知这 5 天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求 的值；（）在（）的条件下，从这 5 天中随机选取 3 天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为 ，求 的分布列及数学期望 ；（）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这 6 天收盘价的方差最小.（只需写出结论）（17） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为线段 的中点，四边形 是边长为 1 的正方形， .（）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）点 在直线 上，若平面 平面 ，求线段 的长.（18） （本小题 13 分）已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）若 对 恒成立， 的最小值.（19 ） （本小题 14 分）已知椭圆 的离心率等于，经过其左焦点 且与轴不重合的直线与椭圆 交于两点 .（）求椭圆 的方程；（） 为坐标原点，在 轴上是否存在点 ，使得点 到直线 的距离总相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.（20 ） （本小题 13 分）已知数列 满足 且 ，数列满足 ，其中表示 中与 不相等的项的个数.（）数列 ，请直接写出数列 ；（）证明：（）若数列 相邻两项均不相等，且 与 为同一个数列，证明：.
