1、1海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知 是虚数单位，若 ，则实数 的值为i()1+iaiaA.B.C.D. 02（2）已知 ，若 ，则,abRbA. B. C. D. 212ab3（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为kA.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班 级各 5 各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道 题 5 分，共 8 道 题）：已知两组数据的平均数相等， 则 的值分别为,x
2、yA.B.C.D.0,505,（5）已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，则实数 的值为xym2:1Oxy,ABOmA.B.C.或D.或326362（6）设，则“ ”是“ 直线 与直线 平行”的1a10axy+10xayA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,（7）在 中， 是 的中点，则 的取值范围是ABC=DACBDA. B. C. D. 31(,)4(,)43(,)3(,)42（8）已知正方体的 棱长为 2，点 分别是棱 的中点，点 在平面 内，点1ABCD,MN1,BCDP1ABCD在 线段 上，若 ，则 长度的最小值为Q1N5PMQA
3、.B.C.D.223135第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 的值为 .21axyyxk（10）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 .,xy02yxzxy（11） 中， 且 的面积为 ，则 .ABC1,7,abABC32c（12）某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的四个面的面 积中最大的值是 .3（13）函数 的最大值为 ；若函数 的图像与直线 有且只有一个公2,0()xf()fx(1)ykx共点，则实数 的取值范围是 .k（14）某次高三英语听力考试中有 5 道选择题，每 题 1 分，
4、每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 C C A B B 4乙 C C B B C 3丙 B C C B B 2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的 选项是 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知等差数列 的前 项和 ，且 .nanS2375,a（）数列 的通项公式；（）若 ，求数列 前 项和.2nab+nb（16）（本小题 13 分）已知函数 .()cos2tan()4fxx（）求函数 的定义域；（）求函数 的值域.()fx4（1
5、7）（本小题 14 分）据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日， TOP500 发布的最新一期全球超 级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“ 神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对 两种国产品牌处理器进行了 12 次测试， 结果如下（数值越小，速度越快， 单位是MIPS）测试 1测试 2测试 3测试 4测试 5测试 6测试 7测试 8测试 9测试10测试11测试12品牌 A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌 B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设 分
6、别表示第次测试中品牌 A 和品牌 B 的测试结果，记,iab iiXab(1,2)（）求数据 的众数；12312,X（）从满足 的测试中随机抽取两次，求品牌 A 的测试结果恰好有一次大于品牌 B 的测试结果的概率；4i（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知 识， 对这两种国产品牌处理器打开文件的速度 进行评价.（18）（本小题 13 分）如图，三棱柱 侧 面 底面 ，1ABC1ABC,AB， 分别为棱 的中点.2,06,EF1,（）求证： ；ACE（）求三棱柱 的体积；1B（）在直线 上是否存在一点
7、，使得 平面 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由.1P/CAEFAP5（19）（本小题 14 分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 相交于两点 ，与 轴交于点 ，点 与点 不2:+13xyCm:20lxyC,PQxB,PQ重合.（）求椭圆 的离心率；（）当 时，求椭圆 的方程；2OPQSC（）过原点 作直线 的垂线，垂足为 .若 ，求 的值.lNPBQ（20）（本小题 13 分）已知函数 .2()1xfea（）求曲线 在点 处的切线方程；y(0,)f（）求证：“ ”是“ 函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.=ayx6海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大题共 8
8、 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 A D B B D C A C二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分)9. 10. 11. 或212. 13.1 14.5 A30,)三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15（本题共 13 分）解：（）设等差数列 的首项为 ，公差 为na1d，解得 ， -3 分da63511 312由 ，则 -5 分nn)(na因此，通项公式为 .2（）由（）可知： ，则1n12nb-7 分4211nnb)(因为 ，-8 分318所以 是首项为 8，公比为 的等比数列
9、.-9 分n 4q记 的前 项和为 ，则banT)()()( nn babaT21-10 分n12-12 分qn11)()(-13 分3482)(n16（本题共 13 分）7解：（） ， -2 分24kxZ解得： ， -3 分3所以，函数的定义域为 -4 分Zkx,|43（） )tan(cos)(2xf-6 分xti1-8 分xxsinco)si)(cs(c2ino12si-9 分x因为 ，所以 ，3,4kZ32,xkZ所以 ，-11 分sin所以，函数 的值域为 .-13 分()fx,(017.（本题共 13 分）解：（）1X234X567X8910X121 2 4 6 2 4 4 2 1
10、6 4 7所以 等于 1 有 2 次， =2 有 3 次， =4 有 4 次， =6 有 2 次， =7 有 1 次，i i i i i则数据 的众数为 4-5 分31,.X（）设事件 D=“品牌 的测试结果恰有一次大于品牌 的测试结果”.AB满足 的测试共有 4 次，其中品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果有 2 次即测试 3 和测试 7，不iA妨用 M，N 表示.品牌 的测试结果小于品牌 的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11，不妨用 P，Q 表示.从中随机抽取两次，共有 MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ 六种情况，其中事件 D 发生，指的是 MP,MQ,NP,NQ 四种情况.故
11、. -10 分42()63PD（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分.标准 1: 分别比较两种不同测试 的结果，根据数据进行阐述标准 2：会用测试结果的平均数进行阐述-13 分可能出现的作答情况举例，及 对应评分标准如下：结论一：，品牌 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌 处理器对含有文字与图片的文件的B A打开速度快一些。8理由如下：从前 6 次测试（打开含有文字与表格的文件）来看， 对于含有文字与表格的相同文件，品牌
12、的测试有A两次打开速度比品牌 快(数值小），品牌 有四次比品牌 快，从后 6 次测试（打开含有文字与图片的文件）来BBA看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌 有四次打开速度比品牌 快（数值小）.B结论二：从测试结果看，这两种国 产品牌处理器的文件的打开速度 结论：品牌 打开文件速度快一些A理由如下：品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ，品牌 处理器对文件打开的测试结果的平A921均数估计为 ，所以品牌 打开文件速度快一些.（且品牌 方差较小）9712 A其他答案情况，比照以上情况酌情给分.18.（本题共 14 分）（）证明：三棱柱 中，1CBA侧面 底面 ， ，1AB又因为侧面
13、底面 ， 底面 ，IABC所以 平面 ，-3 分C1A又因为 平面 ，EB所以 ；-4 分A（）解：连接 ,因为三棱柱 中，所以 .1 1CBAB1因为 ，所以 .又因为 ，且 .2B12A063E所以 是边长为 2 的正三角形.因为 是棱 的中点，所以 ，1AE1 1又因为 ， ，所以 .CE/1C因为 ， 底面 ，11BI 1,BA1所以 底面 .-6 分A所以三棱柱 的体 积为1C； 8 分1 1232ABCVSEAE（）在直线 上存在点 ，使得 平面 .-9 分P/AF证明如下：连接 并延长，与 的延长线相交，设交点为 .连接 .1 PC因为 ，所以 ，故 -10 分1/BA11EB:
14、1EB由于 为棱 的中点，所以 ，故有 -11 分E11A又 为棱 的中点，FC9故 为 的中位线，所以 .-12 分EFBCP/EFCP又 平面 ， 平面 ，AA所以 平面 . -13 分/故在直线 上存在点 ，使得 平面 .1/此时 ， . -14 分2APB14A19.（本题共 14 分）解：（） ， ， ，-2 分ma32b2mc2，故 .-4 分2ce6e（）设 ，1,yxP2,Q，得到 ，023m031mx-4依题意，由 得 .2(1)()1且有 ，-6 分1234xm，-7 分212|912361PQkxm原点到直线 的距离 -8 分ld10所以 -9 分1|6122OPQSdm
15、解得 1，73m故椭圆方程为 .-10 分217xy（）直线 的垂线为 ，-11 分l:ONx由 解得交点 ，-12 分20yx)1,(因为 ，又PBQ123x所以 = ，故 的值为 1.-14 分N2220.（本题共 13 分）解：（）依题意， -1 分2,xfeaR所以切线的斜率 0k又因为 ，-2 分1f所以切线方程为.-3 分（）先证不必要性.当 时， ，0axfxe令 ，解得 .-4 分f1此时， 有且只有一个零点，故“ 有且只有一个零点 则 ”不成立.xfx0a-5 分再证充分性.方法一：当 时， .0a2xfea令 ，解得 .-6 分fx 10,ln11（i）当 ，即 时， ，l
16、n20a1210xfe所以 在 上单调增.fxR又 ，201,0fe所以 有且只有一个零点.-7 分fx（ii）当 ，即 时，ln20a02a， 随 的变化情况如下 :fxfx,lnal2ln,0a0 ,fx0 0:极大值 :极小值 :-8 分当 时， ， ，所以 -9 分0x1e0x2a0fx又 224f所以 有且只有一个零点.-10 分x（说明：如果学生直接写出 时 ，要扣 1 分）x0fx（iii）当 ，即 时， ， 随 的 变化情况如下:ln20a12ffxx,0 ,ln2alln2,af0 0x:极大值 :极小值 :-11 分因为 ，所以 时， -12 分01f(,ln2)xa0fx
17、令 ，则 . xa0下面证明当 时， .12ex12设 ，则 .2()1)exg(2)exg当 时， 在 上单调递增；,(0,(1,（ ）当 时， 在 上单调递减(2+)x)gx2（ ）所以当 时， 取得极大值 .=(4(eg所以当 时， , 即 .1x)2x所以 .0 00()e()xfa由零点存在定理， 有且只有一个零点 .f综上， 是函数 有且只有一个零点的充分不必要条件.-13 分x（说明：如果学生写出下面过程， ， 时 ， 有且只有一个零点.要扣 1 分）01fx0fxfx方法二：当 时，注意到 时， ， ， ，0axxe20af因此只需要考察 上的函数零点.-7 分,（i）当 ，即 时， 时， ，ln20a102a,x0fx单调递增.-8 分fx又 2210,()e40afa有且只有一个零点.-10 分fx（ii）当 ，即 时，以下同方法一.ln20a12
