1、阶段质量检测（二） 点、直线、平面之间的位置关系(时间 120 分钟 满分 150 分 )一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(广东高考)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l 1 在平面 内， l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )Al 与 l1，l 2 都不相交Bl 与 l1，l 2 都相交Cl 至多与 l1， l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l 2 中的一条相交解析：选 D 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一条与 l
2、相交2已知 PA矩形 ABCD，则下列结论中不正确的是( )APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析：选 C 如图所示，由于 PA平面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，所以 PABD(即 D 正确)，BC PA，BCBA，而 PAAB A，所以BC平面 PAB，所以 BCPB(即 A 正确)同理 PDCD(即 B 正确)，PD 与 BD 不垂直，所以 C不正确3.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 A1B1 的中点，AB BCBB 1 2，AC2 ，则异面直线 BD 与 AC 所成的角为( )5A30 B45C60 D90解析：选 C 如图，取 B1C1 的中点 E，
3、连接 BE，DE，则ACA1C1DE，则 BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角由条件可 知BDDEEB ，所以BDE60 ，故选 C.54.如图所示，ABCDA 1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直 线A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是( )AA，M ，O 三点共线BA，M，O，A 1 不共面CA，M，C，O 不共面DB，B 1，O，M 共面解析：选 A 连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，所以 A，C，C1，A1 四点共面，所以 A1C面 ACC1A1.因 为 MA1C，所以 M面 ACC1A1，又 M面AB1D1，所以 M 在平面 AC
4、C1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在面ACC1A1 与面 AB1D1 的交线上，所以 A，M，O 三点共线，故选 A.5已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 .直线 l 满足lm，ln，l，l，则( )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：选 D 由于 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直 线 l 满足 lm，ln，则交线平行于 l，故 选 D.6已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，有以下四个命题： lm； lm ；lm； lm .其中正确的两个命题是
5、( )A BC D解析：选 D 若 ，l，则 l，又 m，所以 lm，故 正确；若 ，l，m ，则 l与 m 可能异面，所以不正确；若 lm，l，则 m，又 m，则 ，所以 正确；若l，lm，m ，则 与 可能相交，故 不正确综上可知，选 D.7.如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM 平面 PDA；OM平面 PBA；OM平面 PBC.其中正确的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 C 显然 OMPD，又 PD平面 PCD，PD平面 PDA.OM平面 PCD，OM平面 PDA.正确8把正方形 A
6、BCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )A90 B60C45 D30解析：选 C 当三棱锥 DABC 体积最大时，平面 DAC平面 ABC，取 AC 的中点 O，则DBO 是等腰直角三角形，即 DBO45.二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分请把正确答案填在题中的横线上)9在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC 1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF ，CD 都相交的直线有 _条解析：如图，在 A1D1 上任取一点
7、 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面 ，因 为 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设 CDQ， 连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交由点 P 的任意性，知有无数条直线与 A1D1，EF，CD 都相交答案：无数10已知 a，b 表示直线， 表示平面若 a， b，ab，则 ；若 a，a 垂直于 内任意一条直线，则； 若 ， a，b，则 ab；若 a，b ， ab，则 .上述命题中，正确命题的序号是_解析：对 可 举反例，如图，需 b 才能推出 ；对可 举反例说明，当 不与 ， 的交线垂直时，即可知 a，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确答案：11.如图所示，直线 a平面 ，
8、点 A 在 另一侧，点 B，C，Da，线段 AB，AC，AD 分别交 于点 E，F ，G.若 BD4，CF4，AF5，则EG_.解析：Aa，则点 A 与直线 a 确定一个平面，即平面 ABD.因为 a，且平面 ABD EG，所以 aEG，即 BDEG，所以 .又 ，所以 .于是 EGAFAC AEAB EGBD AEAB AFAC EGBD .AFBDAC 545 4 209答案：20912.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，侧面对角线AB1，BC 1 上分别有一点 E，F，且 B1EC 1F，则直线 EF 与平面ABCD 的位置关系是_，EF 与 BB1 的位置关系是_解析：
9、过点 E 作 EGAB，交 BB1 于点 G，连接 GF，则 .B1EC 1F，B1AC 1B， ，FGB1C1BC.又B1EB1A B1GB1B C1FC1B B1GB1BEGFGG，ABBCB， 平面 EFG平面 ABCD.又 EF平面 EFG，EF平面 ABCD.又 B1BAB，B1BBC，ABBC B ，B1B平面 ABCD，B1B平面 EFG.又 EF平面 EFG，B1BEF.答案：平行 垂直13.如图，四面体 PABC 中，PAPB ，平面 PAB平面 ABC，ABC90，13AC8，BC6，则 PC_，PC 与平面 ABC 所成角的余弦值为_解析：取 AB 的中点 E，连接 PE
10、.PAPB，PEAB.又平面 PAB平面 ABC，PE平面 ABC.连接 CE，PECE，PCE 为 直线 PC 与平面ABC 所成的角ABC90，AC8，BC6，AB2 ，PE ，7 PA2 AE2 6CE ，BE2 BC2 43PC 7，cos PCE .PE2 CE2437答案：7 43714.在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， ADBC ，BC2AD4，ABCD ，则 BD 与平面10PAC 的位置关系是_； 若二面角 APCD 的大小为 60，则AP 的值为_解析：设 O 为 AC 与 BD 的交点，作 DEBC 于点 E.由四边形ABCD 是等腰梯形易证得 DBCBCA
11、，由已知条件易得 CE 1，则 DE 3，BC AD2 DC2 CE2所以 BEDE ，从而得 DBCBDEBCA 45 ，所以BOC90，即 ACBD.由 PA平面 ABCD 得 PABD，又 PAAC A，所以 BD平面 PAC.作 OHPC 于点 H，连接 DH.又 DO平面 PAC，故 DOPC.又 DOOHO，所以 PC平面 DOH，从而得 PCDH.故DHO 是二面角 APCD 的平面角，所以DHO 60.易知 DO ，AC3 ，因为在 RtDOH 中，tanOHDtan 60 ，所以 OH .2 2ODOH 63在 RtCOD 中， OC 2 .CD2 OD2 2在 RtPAC
12、中， .设 PAx，PAPC OHOC可得 ，xx2 322 36解得 x ，即 AP .32211 32211答案：垂直 3221115如图 1 所示的等边ABC 的边长为 2a，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC，BC边的中点现将ABC 沿 CD 折叠，使平面 ADC平面 BDC，如图 2 所示，则直线 AB 与平面 DEF 的位置关系是_，四面体 ADBC 的外接球体积与四棱锥 DABFE 的体积之比为_解析：E ，F 分别为 AC，BC 的中点，AB EF，AB平面 DEF，EF平面 DEF，AB平面 DEF.以 DA，DB，DC 为棱补成一个长方体，则四面体 ADBC 的
13、外接球即为长方体的外接球设球的半径为 R，则 a2a 23a 2(2 R)2，R2 a2，54于是球的体积 V1 R3 a3.43 556又 VABDC SBDCAD a3，13 36VEDFC SDFC AD a3，13 12 324 .V1VDABFE V1VABDC VEDFC 20159答案：平行 20159三、简答题(本大题共 5 小题，共 74 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 14 分)在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G分别是 BC，CD 上的点，且 .求证：CFCB CGCD 23(1)E，F，G，H 四点共
14、面；(2)三条直线 EF，GH，AC 交于一点证明：(1)在ABD 中，E，H 分别是 AB 和 AD 的中点，EH 綊 BD.12在CBD 中， ，FG 綊 BD.CFCB CGCD 23 23EHFG.E，F，G，H 四点共面(2)由(1)可知，EHFG ，且 EHFG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点 P.AC 是平面 ABC 和平面 ADC 的交线，EF 平面 ABC，GH平面 ADC，平面 ABC平面ADCP ，由公理 3 知 PAC.三条直线 EF，GH，AC 交于一点17.(本小题满分 15 分)如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD PC.(
15、1)证明：BC平面 PDA；(2)证明：BCPD .证明：(1)在长方形 ABCD 中，BC AD，BC平面 PDA，AD平面 PDA，BC平面 PDA.(2)取 CD 的中点 H，连接 PH.PDPC，PHCD.又平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCDCD，PH平面 PDC，PH平面 ABCD.又 BC平面 ABCD，PHBC.在 长方形 ABCD 中，BC CD，PHCDH ，BC平面 PDC.又 PD平面 PDC，BCPD.18.(本小题满分 15 分)如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，C 1CBC 1CDBCD60.(1)求证：C 1CBD.(2
16、)当 的值为多少时，可使 A1C平面 C1BD?CDCC1解：(1)证明：连接 A1C1，AC，设 AC 和 BD 交于点 O，连接 C1O.四 边形 ABCD 是菱形，ACBD，BCCD.又BCC 1DCC 1，C1C 是公共边，C1BCC1DC，C1BC 1D.DOOB，C 1OBD.又ACC 1OO，BD平面 ACC1A1.又C 1C平面 ACC1A1，C1CBD.(2)由(1)知 BD平面 AC1.A1C平面 ACC1A1，BDA1C.当 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形CDCC1同理可证 BC1A1C.又 BDBC 1B，A 1C平面 C1BD.19.(本小题满分 15 分)如
17、图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB 2，BB 1BC1，E 为 D1C1 的中点，连接 ED，EC，EB 和 DB.(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值解：(1)证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB2， BB1 BC1，E 为 D1C1 的中点所以DD1E 为等腰直角三角形， D1ED45.同理C 1EC45.所以DEC 90，即 DEEC.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，BC平面 D1DCC1，又 DE平面 D1DCC1，所以 BCDE.又 ECBCC，所以 DE平面 EBC.因为 DE平面 DEB，所以平面 DE
18、B平面 EBC.(2)如图所示，过 E 在平面 D1DCC1 中作 EODC 于 O.在长方体ABCDA1B1C1D1 中，因为平面 ABCD平面 D1DCC1，所以 EO面ABCD.过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连接 EF，所以EFBD.EFO 为二面角 EDBC 的平面角利用平面几何知识可得 OF ，15又 OE1，所以 tanEFO .520(本小题满分 15 分)( 浙江高考 )如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中， BAC90，ABAC 2，A 1A4，A 1 在底面ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点(1)证明：A 1D 平面 A1BC；(2)
19、求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值解：(1)证明：设 E 为 BC 的中点，连接 AE，A 1E，DE ，由题意得 A1E平面 ABC，所以 A1EAE.因为 ABAC，所以 AEBC .又因为 A1E，BC 平面 A1BC，A 1EBC E，故 AE平面 A1BC.由 D，E 分别为 B1C1，BC 的中点，得 DEB 1B 且 DEB 1B，从而 DEA 1A 且 DEA 1A，所以四边形 AA1DE 为平行四边形于是 A1DAE .又因为 AE平面 A1BC，所以 A1D平面 A1BC.(2)作 A1FDE，垂足为 F，连接 BF.因为 A1E平面 ABC，所以 BCA 1E.因为 BCAE， AEA 1EE，所以 BC平面 AA1DE.所以 BCA 1F.又因为 DEBCE，所以 A1F平面 BB1C1C.所以A 1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角由 ABAC2 ，CAB 90，得 EAEB .2由 A1E平面 ABC，得 A1AA 1B4，A 1E .14由 DEBB 14，DA 1EA ，DA 1E90，得 A1F .所以 sinA 1BF .272 78
