1、选填题重难点题型（四） 涉及分类讨论思想的折叠问题1.（2017 周口商水县一模）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、AC 上的点，沿直线 E F 将B 折叠，使点 B 恰好落在 BC 上的 D 处，当ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长为 或 2.（2017 濮阳模拟）在矩形 ABCD 中，AB=3 ，BC=6 ，点 E 在边 BC 上，且 BE=2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C、D 的对应点分别为 C、D ，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B、C、D 恰好在同一直线上时，AF 的长为 4 或 4 3.（2017 许昌一模）如图
2、，在 RtABC 中，ACB=90，AB=5，AC=3，点 D 是 BC 上一动点，连接AD，将ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 E 处，连接 DE 交 AB 于点 F，当DEB 是直角三角形时，DF的长为 或 4.（2017 洛阳一模）在菱形 AB CD 中，AB=5 ，AC=8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，过点 P 作 EF垂直于 AC 交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，将AEF 折叠，使点 A 落在点 A处，当ACD 时等腰三角形时，AP 的长为 或 5.（ 2017 安阳、林州二模） 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11， 0）
3、，点 B（0 ，6） ，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B，C 重合） ，经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP（如图）经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕PQ（如图） ，当点 C恰好落在 OA 上时，点 P 的坐标是 或 .补充类型6.（2017 贵州安顺第 7 题）如图，矩形纸片 ABCD 中， AD=4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若 AO=5cm，则 AB 的长为（ C ）A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm7.（2017 江苏无锡第 10 题）如图， ABC 中， BA
4、C=90， AB=3， AC=4，点 D 是 BC 的中点，将 ABD 沿 AD 翻折得到 AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ D ）A2 B C D 5453758.（2017 新疆乌鲁木齐第 9 题）如图，在矩形 中，点 在 上，点 在 上，把这个矩形沿 折ABDFAEBCEF叠后，使点 恰好落在 边上的 点处，若矩形面积为 且 ，则折痕 的长为DCG460,2G（ C ） A B C. D 132239.（2015 湖北鄂州第 8 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=8，BC =12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿AE 折叠，点 B 落在点 F 处
5、，连 接 FC，则 sinECF =（ ）A B C D.10.（2015四川自贡,第 10 题 4 分） 如图，在矩形 中， , 是 边的中点， 是线段ABCD4A6形EBF边上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ,连接 ,则 的最小值是 （ A ）BCEBFEF BE DAB CFA. B.6 C. D.421021311.（2015绵阳第 12 题，3 分）如图，D 是等边 ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现将 ABC 折叠，使点C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF=（ B ）A B C D12.（2017 江苏苏州第
6、18 题）如图，在矩形 中，将 绕点 按逆时针方向旋转一定角度后， 的ACAC对应边 交 边于点 连接 、 ，若 ， ， ，则 CDG7G4745（结果保留根号） 13.（2017 海南第 17 题）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cos EFC 的值是 3514.（ 2016黑龙 江齐齐哈尔3 分）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A =60，点 M 是 AD 边的中点，连接MC，将菱形 ABCD 翻折，使点 A 落在线段 CM 上的点 E 处，折痕交 AB 于
7、点 N，则线段 EC 的长为 1 15.（ 2016吉林 3 分）在三角形纸片 ABC 中，C =90， B=30，点 D（不与 B，C 重合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，则 DEF 的周长为 3a （用含 a 的式子表示） 16.（2015 年江苏泰州 3 分）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6 ，P 为 AD 上一点，将ABP 沿 BP 翻折至ABCDEBP， PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，则 AP 的长为 17.（2015四川省内江市，第 14 题，5 分）如图，在四边形 ABCD 中，A DBC，C=90，E 为 CD
8、上一点，分别以EA，EB 为折痕将两个角（ D， C）向内折叠，点 C，D 恰好落在 AB 边的点 F 处若 AD=2，BC =3，则 EF 的长为 18.（2015浙江滨州,第 17 题 4 分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上） ，折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处.若点 D 的坐标为(10,8 ） ，则点 E 的坐标为 （10,3） .19.（2017 甘肃兰州第 26 题 ）如图，1，将一张矩形纸片 沿着对角线 向上折叠，顶点 落到点 处，ABCDBCE交 于点 .BEADF(1)求证： 是等腰三角形；(2)如图 2，
9、过点 作 ，交 于点 ，连结 交 于点 .GBE CGFBO判断四边形 的形状，并说明理由 ；F若 ， ，求 的长.6AB=8D【答案】(1)证明见解析;(2) 152【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解试题解析：（1）证明：如图 1，根据折叠， DBC= DBE，又 AD BC， DBC= ADB， DBE= ADB， DF=BF， BDF 是等腰三角形；（2）四边形 ABCD 是矩形， AD BC， FD BG，又 FD BG，四边形 BFDG 是平行四边形， DF=B
10、F，四边形 BFDG 是菱形； AB=6， AD=8， BD=10 OB= BD=512假设 DF=BF=x， AF=AD DF=8 x在直角 ABF 中， AB2+A2=BF2，即 62+（8 x） 2=x2，解得 x= ，54即 BF= ，2 FO= = ，25()4BFO1 FG=2FO= 15220.(2017 浙江金华第 23 题) 如图 1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 的对称点 落在 边上，再将纸ABCEHADBC片分别沿等腰 和等腰 的底边上的高线 ， 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，BEDHCEFHG类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠
11、的矩形，这样的矩形称为叠合矩形(1)将 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 ，则操作形成的折痕分别是线段_，_；ABCDAEFG_.:EFGS形 (2) 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 ，若 ， ，求 的长H512EAD(3)如图 4，四边形 纸片满足 小明把该纸片折叠，得到AB,8,0DBCABCAD叠合正方形请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 的长【答案】 （1） （1） AE； GF；1:2；（2）13；（3）按图 1 的折法，则 AD=1， BC=7；按图 2 的折法，则 AD= ,BC=134.374【解析】试题分析：（1）由图 2 观察可得出答案为 AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为 1：2；（2）由 EF 和 EH 的长度根据勾股定理可求出 FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证 AEH CGF；再根据全等三角形的性质可得出 AD的长度；（3）由折叠的图可分别求出 AD 和 BC 的长度. （3）解：本题有以下两种基本折法，如图 1，图 2 所示.按图 1 的折法，则 AD=1， BC=7.按图 2 的折法，则 AD= ,BC= .1347
