1、第一章 二次函数单元测试一、单选题（共 10 题；共 30 分）1、如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为（ )A、（2，3 ） B、（3，2） C、（3 ，3） D、（ 4，3）2、若二次函数 y=(x-m)2-1当 x 3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 （ ） A、m=3 B、m3 C、m3 D、m33、抛物线 y2x 21 的对称轴是( ） A、直线 B、直线 C、y 轴 D、直线 x24、将抛物线 y=2x2向左平移 2 个单位后所得到的抛物线为
2、（ ） A、y=2x 2-2 B、y=2x 2+2 C、y=2(x-2) 2 D、y=2(x+2) 25、如果函数 y=mxm2 +x 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值一定是（ ） A、-3 B、-4 C、4 D、36、如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需（ ）A、18 秒 B、36 秒 C、38 秒 D、46 秒7、二次函数 y=（x5） 2+7 的最小值是（ ） A、-7 B、7 C、
3、-5 D、58、如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2 4ac0 ；（2）c1；（3）2ab0；（4 ）a+b+c 0，其中错误的有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个9、抛物线 y=x24x+m 的顶点在 x 轴上，则 m 的值等于（ ） A、2 B、4 C、6 D、810、（ 2017黔东南州）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1 ，给出下列结论： b2=4ac；abc0；a c；4a2b+c0，其中正确的个数有（ ）A、1 个 B、2 个 C、 3 个 D、4 个二、填空题（共 8 题；共
4、 24 分）11、 二次函数 y=x2-2x-3 的图象如图所示当 y0 时，自变量 x 的取值范围是_.12、如图，把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（6 ，0）和原点 O（0，0 ），它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 _ 13、己知抛物线 y=x2+2mxn 与 x 轴没有交点，则 m+n 的取值范围是_14、已知二次函数 y= （x1） 2+4，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是_15、人民币一年定期的年利率为 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是 a 元，则两年
5、后的本息和 y（元）的表达式为_ （不考虑利息税） 16、已知二次函数 y=x 2+4x2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，则ABC 的面积为_ 17、二次函数 y=x2+4x+3 与坐标轴交于 A，B，C 三点，则三角形 ABC 的面积为_ 18、已知二次函数 y=2x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位，那么平移后的二次函数解析式为_ 三、解答题（共 5 题；共 36 分）19、篱笆墙长 30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积 y(m2)与长 x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。 20、有一个周长为 40 厘米的正方形，从四个角各剪去一个正方形
6、，做成一个无盖盒子设这个盒子的底面积为 y，剪去的正方形的边长为 x，求有关 y 的二次函数21、已知：y=y 1+y2 ， y 1与 x2成正比，y 2与 x2 成正比，当 x=1 时，y=1；当 x=1 时，y=5(1)求y 与 x 的函数关系式(2)求 x=0 时，y 的值22、在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 的图象过 A（-1，-2）、B（1，0）两点（1）求此二次函数的解析式并画出二次函数图象；（2）点 P(t,0)是 x 轴上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 M，交二次函数的图象于点N当点 M 位于点 N 的上方时，直接写出 t 的取值范围23、我省
7、某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件 20 元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量 y（件）是售价 x（元件）的一次函数，当售价为 22 元件时，每天销售量为 780 件；当售价为 25 元件时，每天的销售量为 750 件（1 ）求 y 与 x 的函数关系式；（2 ）如果该工艺品售价最高不能超过每件 30 元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价成本） 四、综合题（共 2 题；共 30 分）24、（2015泰安）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 为 x 轴的一交点为 A（6，0），与 y 轴的交点为C（0，3），且经过点 G（
8、2，3）(1)求抛物线的表达式.(2)点 P 是线段 OA 上一动点，过 P 作平行于 y 轴的直线与 AC 交于点 Q，设CPQ的面积为 S，求 S 的最大值.(3)若点 B 是抛物线与 x 轴的另一定点，点 D、M 在线段 AB 上，点 N 在线段AC 上，DCB=CDB，CD 是 MN 的垂直平分线，求点 M 的坐标25、画出函数 y=2x 2+8x6 的图象，根据图象回答： (1)方程2x 2+8x6=0 的解是什么 (2)当 x 取何值时，y0 (3)当 x 取何值时，y0 答案解析一、单选题1、 【 答案】D 【考点】二次函数的性质 【解析】【 分析 】 已知抛物线的对称轴为 x=
9、2，知道 A 的坐标为（0，3)，由函数的对称性知 B 点坐标【解答】由题意可知抛物线的 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，点 A 的坐标为（0 ，3)，且 AB 与 x 轴平行，可知 A、B 两点为对称点，B 点坐标为（4，3)故选 D【 点评 】 本题主要考查二次函数的对称性2、【答案】 C【考点】二次函数的性质，二次函数的三种形式【解析】 【 分析 】 根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间【解答】二次函数的解析式 y=（x-m) 2-1 的二次项系数是 1，该二次函数的开口方向是向上；又该二次函数的
10、图象的顶点坐标是（m，-1)，该二次函数图象在-，m上是减函数，即 y 随 x 的增大而减小；而已知中当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，x3，x-m0，m3故选 C 【 点评 】 本题考查了二次函数图象的性质解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程 y=（k-h)x 2-b 中的 h，b 的意义3、 【 答案】C 【考点】二次函数的图象 【解析】【 分析 】 根据抛物线解析式中不含一次项，可得出其对称轴为 y 轴【解答】y=-2x 2+1，b=0，其图象关于 y 轴对称，故选 C【 点评 】 本题主要考查二次函数的对称轴，掌握 y=ax2+c 的对称轴为 y 轴
11、是解题的关键4、【答案】 D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【分析】平移的知识。【解答】函数的图形平移的基本知识：左加右减，上加下减。故，抛物线 y=2x2向左平移 2 个单位后得到的抛物线图形是 y=2(x+2)2故选 D【点评】平移是历来考查的重点，考生要记住分析平移的基本考点，左加右减，上加下减，学会灵活运用。5、 【 答案】C 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由函数 y=mxm2 +x 是关于 x 的二次函数，得m2=2解得 m=4故选：C【分析】根据二次函数的定义，可得答案 6、 【 答案】B 【考点】二次函数的应用 【解析】【解答】解：如图所示：设在 10 秒时到
12、达 A 点，在 26 秒时到达 B，10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，A，B 关于对称轴对称则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒从 O 到 D 需要 10+8=18 秒从 O 到 C 需要 218=36 秒故选：B【分析】10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则 A，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则 O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得 OC 之间的时间 7、【答案】 B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：y=（x5） 2+7当 x=5 时，y 有最小值 7故选 B【分析】根据二次函数的性质求解8、 【 答案】A 【考点】二次函
13、数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】解：（1）图象与 x 轴有 2 个交点，依据根的判别式可知 b24ac 0，正确；（2）图象与 y 轴的交点在 1 的下方，所以 c1，错误；（3 ）对称轴在1 的右边， 1，又a 0， 2a b0，正确；（ 4）当 x=1 时，y=a+b+c0，正确；故错误的有 1 个故选：A【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 9、 【 答案】B 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解： y=x 24x+m=（x 2） 2+
14、m 4，抛物线顶点坐标为（2，m 4 ），抛物线 y=x24x+m 的顶点在 x 轴上，m4=0，解得 m=4，故选 B【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点，由条件可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值 10、 【答案 】C 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， =b 24ac 0 ，所以错误；抛物线开口向上，a 0，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，a 、 b 同号，b0，抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，c 0，abc0，所以正确；x=1 时，y0 ，即 ab+c0，对称轴为直线 x=1， =1，b=2a，a 2a+c0 ，即 a
15、c，所以正确；抛物线的对称轴为直线 x=1，x=2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=2 时，y0 ，4a2b+c0，所以正确所以本题正确的有：，三个，故选 C【分析】利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和判别式的意义对进行判断；由抛物线开口方向得到 a0，由抛物线对称轴位置确定 b0 ，由抛物线与 y 轴交点位置得到 c0，则可作判断；利用 x=1 时 ab+c 0，然后把 b=2a 代入可判断；利用抛物线的对称性得到 x=2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=2 时，y0 ，则可进行判断 二、填空题11、 【答案 】-1x3 【考点】二次函数的性质，抛物线与 x 轴的交点 【解析】解答二
16、次函数 y=x2-2x-3 的图象如上图所示图象与 x 轴交在（-1，0），（3，0），当y0 时，即图象在 x 轴下方的部分，此时 x 的取值范围是： -1x3，【分析】根据二次函数的性质得出，y0 ，即是图象在 x 轴下方部分，进而得出 x 的取值范围 12、 【答案 】【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：过点 P 作 PMy 轴于点 M， 抛物线平移后经过原点 O 和点 A（6，0），平移后的抛物线对称轴为 x=3，得出二次函数解析式为：y= （x+3） 2+h，将（6，0 ）代入得出：0= （6+3） 2+h，解得：h= ，点 P 的坐标是（ 3， ），根据抛物线的对称
17、性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积，S=|3| |= 故答案为： 【分析】根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点 P 的坐标，过点 P 作 PMy轴于点 M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积，然后求解即可 13、【答案】 【考点】抛物线与 x 轴的交点【解析】【解答】方法一：解：抛物线 y=x2+2mxn 与 x 轴没有交点，=4m 2+4n0nm 2m+nmm 2=（m ） 2+ m+n 当 m=0，n= ，抛物线 y=x2+2mxn 与 x 轴有交点，m+n 的取值范围是 且 【分析】由抛物线 y=x2+2mxn 与
18、x 轴没有交点，得到 a=10，推出函数值 y0，得到 n0，求出抛物线的对称轴 x= = ，于是得到 y=x2+2mxn= mn= （m+n）0，即可得到结论14、【答案】 x1【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y= （x1） 2+4，抛物线开口向上，对称轴为 x=1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故答案为：x1【分析】由解析式可求得抛物线的对称轴，再利用增减性可求得答案15、 【答案 】y=a（1+x） 2 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【解答】解：一年后的本息和为 a（1+x），将是第二年的本金， 两年后的本息和y=a（ 1+x） 2 【分析】两年后的本
19、息和=本金 （1+ 利率） （1+ 利率），把相关数值代入即可求解 16、 【答案 】2 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】解：当 y=0 时，x 2+4x2=0，解得 x1=2+ ，x 2=2 ，则 A（2 ，0），B（2+ ，0），所以 AB=2+ （2 ）=2 ， 当 x=0 时，y=x 2+4x2=2 ，则 C（0，2），所以ABC 的面积 = 2 2=2 故答案 2 【分析】根据抛物线与 x 轴的交点问题，通过解方程x 2+4x2=0 得到 A（2 ，0 ），B（2+ ，0），再计算自变量为 0 时的函数值得到 C 点坐标，然后根据三角形面积公式计算 17、 【答案 】
20、3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2+4x+3=（x+1 ）（x+3）， 它与坐标轴的三个交点分别是：（1，0 ），（3 ，0），（0，3）；该三角形的面积为 23=6故答案是：3【分析】先根据抛物线 y=x2+4x+3 找到与坐标轴的三个交点，则该三角形的面积可求 18、 【答案 】y=2（x+3） 23 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：将抛物线 y=2x2 先向左平移 3 个单位得到：y=2 （x+3） 2 ， 再向下平移 3 个单位得到：y=2（x+3） 23 故答案为：y=2（x+3） 23 【分析】将抛物线 y=2x2 先向左平
21、移 3 个单位，即对称轴向左平移 3 个单位，抛物线向下平移 3 个单位，即顶点纵坐标向下平移 2 个单位，由此解答即可 三、解答题19、 【答案 】解：由题意矩形花坛的长为 ，宽为 ，故面积 = ，因为 的实际意义是矩形花坛的长，且总长为 30，所以 的取值范围为 【考点】二次函数的定义 【解析】【分析】根据实际问题列出二次函数的解析式，并根据实际情况判断 的取值范围。 20、【答案】 解：根据题意可得：正方形的边长为 404=10（厘米），y=（102x） 2=4x240x+100【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的
22、底边边长，进而得出函数关系式21、【答案】 （1）解：（1）y=y 1+y2 ， y 1与 x2成正比，y 2与 x2 成正比，设 ，y 2=k2（x2） 当 x=1 时，y=1；当 x=1 时，y=5，解得 k1=4，k 2=3y=4x 2+3（x2）=4x 2+3x6即 y 与 x 的函数关系式是：y=4x 2+3x6（2）当 x=0 时，y=402+306=6即 x=0 时，y 的值是6【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【分析】（1）根据题意可以设 y1 ， y 2的函数解析式，从而得到 y 关于 x 的函数解析式，根据当 x=1 时，y=1；当 x=1 时，y=5，可以求得
23、y 关于 x 的函数解析式，从而解答本题；（2）将 x=0 代入第一问中的函数解析式，从而可以求得 y 的值22、【答案】【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【分析】（1）把 A（-1，-2）、B（1，0）分别代入 得到关于 m、n 的方程组，求出 m、n 即可得到二次函数的解析式，由此作出二次函数图象；（2）观察函数图象得到当点 M 位于点 N 的上方时，M 点只能在线段 AB 上（不含端点），则 t 的范围为-1t123、 【答案 】解：（1 ）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b（k0），把 x=22，y=780，x=25，y=750 代入 y=kx+b 得 ，解得函数的关
24、系式为 y=10x+1000；（2 ）设该工艺品每天获得的利润为 w 元，则 w=y（x20）=（10x+1000）（x 20 ）= 10 （x 60） 2+16000；10 0，当 20x30 时，w 随 x 的增大而增大，所以当售价定为 30 元/时，该工艺品每天获得的利润最大即 w 最大 =10（30 60） 2+16000=7000 元；答：当售价定为 30 元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为 7000 元 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）将 x=22，y=780，x=25，y=750 代入 y=kx+b 即可求得 y 与 x 的函数关系式；（2 ）先求得每天
25、获得的利润 w 关于 x 的函数关系式，再求出当 x=30 时获得的利润最大 四、综合题24、【答案】 （1）解：把 A、C、G 三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线的表达式为 y= x2 x+3（2）解：C（0，3），可设直线 AC 解析式为 y=kx+3，把 A 点坐标代入可得 0=6k+3，解得 k= ，直线 AC 解析式为 y= x+3，设 P 点坐标为（x，0）（x0），则 Q 点坐标为（x， x+3），PQ= x+3，PO=x，S= PQPO= （ x+3）（x）= x2 x= （x+3）+ ，CPQ 的面积 S 的最大值为（3）解：当 y=0 时， x2 x+3=0，解
26、得 x=6 或 x=4，B 点坐标为（4，0），BC= =5，CDB=DCB，BD=BC=5，OD=BDOB=54=1，D 点坐标为（1，0），D 为 AB 中点，如图，连接 DN，则 DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，D 是 AB 中点，N 是 AC 中点，DN 是ABC 的中位线，又 DN=DM= BC= ，OM=DMOD= 1= ，点 M 坐标为（ ，0）【考点】二次函数的应用【解析】【解答】（1）利用待定系数法，把 A、C、G 三点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）可先求得直线 AC 的解析式，设 P（x，0），可表示出 OP、PQ，则可表示出 S，再结合二次函数的
27、性质可求得 S 的最大值；（3）由条件可求得 BD=BC=5，可求得 D 点坐标，连接 DN，根据条件可证明 DNBC，可得出 DN 为ABC的中位线，可求得 DM 的长，则可求得 OM 的长，可求得 M 点的坐标【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求解析式，最值的求法，三角形中位线性质以及平行线段的证明.25、 【答案 】（1 ）解：函数 y=2x 2+8x6 的图象如图由图象可知：方程2x 2+8x6=0 的解 x1=1，x 2=3（2 ）当 1x3 时，y0（3 ）当 x1 或 x3 时，y 0 【考点】图象法求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】利用描点连线的方法画出函数 y=2x 2+8x6 的图象再根据图象判断函数的增减性
