1、第二十四章圆单元测试一、单选题（共 10 题；共 30 分）1、如图，O 是ABC 的外接圆，已知ABO=50，则ACB 的大小为（ ）A、40 B、30 C、45 D、502、下列说法：平分弦的直径垂直于弦；三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；垂直于半径的直线是圆的切线；三角形的内心到三条边的距离相等。其中不正确的有（ ）个。 A、1 B、2 C、3 D、43、如图，四边形 ABCD 内接于O，已知ADC=140，则AOC 的大小是（ ）A、80 B、100 C、60 D、404、已知 RtACB，ACB=90，I 为内心，CI 交 AB 于 D，BD= ， AD= ， 则 SACB
2、=（ ） A、12 B、6 C、3 D、7.55、如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3 ，BC=4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则AD 的长为（ ）A、 B、 C、 D、6、如图，O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E，F，E=，F=，则A= （ ）A、+ B、 C、180 D、7、如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2，a）（a2），半径为 2，函数 y=x 的图象被P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是（ ）A、2 B、2+ C、2 D、2+ 8、如图，已知 AB 是O 的直径，CAB=50，则D 的度数为（ ） A、2
3、0 B、40 C、50 D、709、已知 A、B 、C 三点在O 上，且 AB 是O 内接正三角形的边长，AC 是O 内接正方形的边长，则BAC 的度数为（ ） A、15或 105 B、75或 15 C、75 D、10510、如图，在O 中，ABC=52，则AOC 等于（ ） A、52 B、80 C、90 D、104二、填空题（共 8 题；共 25 分）11、如图，O 是 ABC 的外接圆， OCB=40，则 A 的度数等于_12、如图，已知半圆 O 的直径 AB4，沿它的一条弦折叠若折叠后的圆弧与直径 AB 相切于点 D，且AD:DB3:1，则折痕 EF 的长_ 13、如图，若1=2，那么
4、与 _相等（填一定、一定不、不一定）14、如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD=2，则图中阴影部分的面积为_15、已知扇形的圆心角为 150，它所对应的弧长 20cm，则此扇形的半径是_ cm，面积是_ cm2 16、如图，ABC 是O 的内接三角形，AD 是O 的直径， ABC=50 ，则CAD=_ 17、若一个圆锥的侧面积是它底面积的 2 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是_ 18、已知一圆锥的底面半径为 1cm，母线长为 4cm，则它的侧面积为 _cm2（结果保留 ） 三、解答题（共 5 题；共 35 分）19、已知：ABC 是边长为 4 的等
5、边三角形,点 O 在边 AB 上,O 过点 B 且分别与边 AB,BC 相交于点D,E,EFAC,垂足为 F.（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）当直线 DF 与O 相切时,求O 的半径.20、 【阅读材料】已知，如图 1，在面积为 S 的ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r，连接 OA，OB，OC ，ABC 被划分为三个小三角形S=S OBC +SOAC +SOAB = BCr+ ACr+ ABr= ar+ br+ cr= （a+b+c）r r= （1 ） 【类比推理】如图 2，若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别
6、为 AB=a，BC=b ，CD=c，AD=d ，求四边形的内切圆半径 r 的值；（2 ） 【理解应用】如图 3，在 RtABC 中，内切圆 O 的半径为 r，O 与ABC 各边分别相切于 D、E 和F，已知 AD=3， BD=2，求 r 的值21、如图，公路 MN 与公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN=30，点 A 处有一所中学，AP=160m假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？22、如图，已知矩形 ABCD 的边
7、AB=3cm、BC=4cm，以点 A 为圆心，4cm 为半径作A，则点 B、C、D 与A 怎样的位置关系23、已知圆的半径为 R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比 四、综合题（共 1 题；共 10 分）24、（ 2017襄阳）如图， AB 为O 的直径，C、D 为O 上的两点，BAC=DAC，过点 C 做直线EFAD，交 AD 的延长线于点 E，连接 BC (1)求证：EF 是O 的切线； (2)若 DE=1，BC=2，求劣弧 的长 l 答案解析一、单选题1、【答案】 A【考点】圆周角定理【解析】 【 分析 】 根据等边对等角及圆周角定理求角即可【解答】OA=OBOAB=OBA
8、=50AOB=80ACB=40故选 A 【 点评 】 此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理2、【答案】 D【考点】垂径定理，确定圆的条件，三角形的内切圆与内心【解析】【解答】中被平分的弦是直径时，不一定垂直，故错误；不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故错误；应强调在同圆或等圆中，否则错误；中垂直于半径，还必须经过半径的外端的直线才是圆的切线，故错误；三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，所以到三条边的距离相等，故正确；综上所述，、错误。【分析】举出反例图形，即可判断；根据角平分线性质即可推出3、【答案】 A【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质【解析】【解答】四边
9、形 ABCD 是O 的内接四边形，ABC+ADC=180，ABC=180140=40AOC=2ABC=80故选 A【分析】根据圆内接四边形的性质求得ABC=40，利用圆周角定理，得AOC=2B=804、 【 答案】B 【考点】三角形的内切圆与内心 【解析】【解答】解：I 为内心，CD 平分ACB， ， 设 AC=4x，BC=3x，AB= =5x，5x= + ， 解得 x=1，AC=4，BC=3，S ACB= 43=6故选 B【分析】根据内心的性质得 CD 平分ACB，则根据角平分线定理得到 ， 于是可设AC=4x， BC=3x，再利用勾股定理得到 AB=5x，则有 5x= + ， 解得 x=1
10、，所以 AC=4，BC=3，然后根据三角形面积公式求解 5、 【 答案】A 【考点】垂径定理 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4 ，AB= ， 过 C 作 CMAB，交 AB 于点 M，如图所示，CMAB，M 为 AD 的中点，S ABC= ACBC= ABCM，且 AC=3，BC=4，AB=5，CM= ， 在 Rt ACM 中，根据勾股定理得：AC 2=AM2+CM2 ， 即 9=AM2+（ ）2 ， 解得：AM= ， AD=2AM= 故选 A【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，过 C 作 CMAB，交 AB 于点 M，由垂径定理可知 M 为 AD
11、的中点，由三角形的面积可求出 CM 的长，在 RtACM 中，根据勾股定理可求出 AM 的长，进而可得出结论 6、 【 答案】D 【考点】圆内接四边形的性质 【解析】【解答】连结 EF，如图，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，ECD=A，ECD=1+2，A=1+2，A+1+2+E+F=180，2 A+=180，A= 故选 D【分析】连结 EF，如图，根据圆内接四边形的性质得 ECD=A，再根据三角形外角性质得ECD=1+2，则A=1+2，然后根据三角形内角和定理有A+1+2+E+ F=180，即2 A+=180，再解方程即可 7、【答案】 B【考点】圆的认识，直线与圆的位置关系【解析】【解答
12、】解：过 P 点作 PEAB 于 E，过 P 点作 PCx 轴于 C，交 AB 于 D，连接 PAPEAB，AB=2 ，半径为 2，AE= AB= ，PA=2，根据勾股定理得：PE= =1，点 A 在直线 y=x 上，AOC=45，DCO=90，ODC=45，OCD 是等腰直角三角形，OC=CD=2，PDE=ODC=45，DPE=PDE=45，DE=PE=1，PD= P 的圆心是（2，a），a=PD+DC=2+ 故选：B【分析】过 P 点作 PEAB 于 E，过 P 点作 PCx 轴于 C，交 AB 于 D，连接 PA分别求出 PD、DC，相加即可8、 【 答案】B 【考点】圆周角定理 【解析
13、】【解答】解：AB 为O 的直径， ACB=90，CAB=50，CBA=40，D=40，故选 B【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数 9、 【 答案】B 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：如图 1 所示： AB 是O 内接正三角形的边长，AC 是O 内接正方形的边长，AOB=120 ，AOC=90 ，BCO=36012090=150 ，BAC= BOC=75；如图 2 所示，同得出BAC=15，故选：B【分析】先求出BOC 的度数，然后根据圆周角定理求解，注意分类讨论 10、 【答案 】D 【考点】圆周角定理 【解析】【解答
14、】解：ABC=52， AOC=252=104 ，故选：D【分析】根据圆周角定理可得AOC=2ABC，进而可得答案 二、填空题11、【答案】 50【考点】圆周角定理【解析】【解答】在OCB 中，OB=OC（O 的半径），OBC=0CB（等边对等角）；OCB=40，C0B=180-OBC-0CB，COB=100；又A= C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），A=50【分析】在等腰三角形 OCB 中，求得两个底角OBC、0CB 的度数，然后根据三角形的内角和求得COB=100；最后由圆周角定理求得A 的度数并作出选择12、【答案】 【考点】垂径定理，切线的性质【解析】【解答】如图，过 O
15、作弦 BC 的垂线 OP，垂足为 D，分别与弧的交点为 A、G，过切点 F 作 PF半径 OC 交 OP 于 P 点，OPBC，BD=DC，即 OP 为 BC 的中垂线. OP 必过弧 BGC 所在圆的圆心.又OE 为弧 BGC 所在圆的切线，PFOE，PF 必过弧 BGC 所在圆的圆心.点 P 为弧 BGC 所在圆的圆心.弧 BAC 沿 BC 折叠得到弧 BGC，P 为半径等于O 的半径，即 PF=PG=OE=2，并且 AD=GD.OG=AP.而 F 点分O 的直径为 3：1 两部分，OF=1.在 RtOPF 中，设 OG=x，则 OP=x+2，OP 2=OF2+PF2 ， 即（x+2） 2
16、=12+22 ， 解得 x= .AG=2-（ ）= .DG= .OD=OG+DG= .在 RtOBD 中，BD 2=OB2+OD2 ， 即 BD2=22-（ ） 2 ， BD= .BC=2BD= 【分析】运用垂径定理和切线的性质作答。13、 【答案 】一定 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：1=2， = 故答案为：一定【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行解答即可 14、【答案】 【考点】扇形面积的计算【解析】【解答】解：如图连接 OC、OD、BD点 C、D 是半圆 O 的三等分点，AOC=COD=DOB=60，OC=OD=OB，COD、OBD 是等边三角形，COD=ODB=60
17、，OD=CD=2，OCBD，S BDC=S BDO ，S 阴 =S 扇形 OBD= 【分析】首先证明 OCBD，得到 S BDC=S BDO ， 所以 S 阴 =S 扇形 OBD ， 由此即可计算本题考查圆的有关知识、扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会把求不规则图形面积转化为求规则图形的面积，属于中考常考题型15、【答案】 24；240【考点】弧长的计算，扇形面积的计算【解析】【解答】解：设扇形的半径是 r，则 =20 解得：r=24扇形的面积是： 2024=240故答案是：24 和 240【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，然后根据扇形的面积公式即可求解16、 【答
18、案 】40 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：连接 CD， AD 是O 的直径，ACD=90，D=ABC=50，CAD=90D=40故答案为：40 【分析】首先连接 CD，由 AD 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 ACD=90，又由圆周角定理，可得D=ABC=50 ，继而求得答案 17、 【答案 】180 【考点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：设底面圆的半径为 r，侧面展开扇形的半径为 R，扇形的圆心角为 n 度 由题意得 S 底面面积 =r2 ， l 底面周长 =2r，S 扇形 =2S 底面面积 =2r2 ， l 扇形弧长 =l 底面周长 =2r由 S 扇形 = l
19、 扇形弧长 R 得 2r2= 2rR，故 R=2r由 l 扇形弧长 = 得：2r= 解得 n=180故答案为 180【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数 18、 【答案 】4 【考点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：圆锥的侧面积= 214=4（cm 2） 故答案为 4【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 三、解答题19、【答案】 （1）连接 OEABC 是等边三角形,ABC=C=60.OB=“OE,“OEB=
20、C =60,OEAC.EFAC,EFC=90.OEF=EFC=90.OEEF,O 与 BC 边相交于点 E,E 点在圆上.EF 是O 的切线；(2)连接 DF,DE.DF 是O 的切线,ADF=BDF=90设O 的半径为 r,则 BD=2r,AB=4,AD=4-2r,BD=2r,B=60,DE= r,BDE=30,BDF=“90.“EDF=60,DF、EF 分别是O 的切线,DF=EF=DE= r,在 RtADF 中,A=60,tanDFA=解得 .O 的半径是【考点】切线的判定与性质【解析】【分析】（1）连接 OE，得到OEB =60,从而 OEAC.，根据平行线的性质即可得到直线 EF是O
21、 的切线；（2）连接 DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。20、 【答案 】解：（1 ）如图 2，连接 OA、OB、OC 、ODS=S AOB +SBOC +SCOD +SAOD = ar br cr dr= （a+b+c+d）r ，r= ；（2 ）如图 3 连接 OE、OF，则四边形 OECF 是正方形，OE=EC=CF=FO=r，在 Rt ABC 中，AC 2+BC2=AB2 ， （3+r） 2+（2+r） 2=52 ， r2+5r6=0，解得：r=1 【考点】三角形的内切圆与内心 【解析】【分析】（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四
22、个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似仿照证明过程，r 易得（2 ）如图 3，连接 OE、OF，则四边形 OECF 是正方形，OE=EC=CF=FO=r ，解直角三角形求得结果 21、 【答案 】解：学校受到噪音影响理由如下：作 AHMN 于 H，如图，PA=160m，QPN=30，AH= PA=80m，而 80m100m，拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响，以点 A 为圆心，100m 为半径作 A 交 MN 于 B、C，如图，AHBC ，BH=CH，在 Rt ABH 中，AB=100m，AH=80m，BH= =60m，BC=2
23、BH=120m，拖拉机的速度=18km/h=5m/s，拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间= =24（秒），学校受影响的时间为 24 秒【考点】直线与圆的位置关系 【解析】【分析】作 AHMN 于 H，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AH= PA=80m，由于这个距离小于 100m，所以可判断拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点 A 为圆心，100m 为半径作A 交 MN 于 B、C，根据垂径定理得到 BH=CH，再根据勾股定理计算出 BH=60m，则 BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间 22、
24、【答案 】解：连接 AC，AB=3cm，BC=AD=4cm ，AC=5cm，点 B 在A 内，点 D 在A 上，点 C 在A 外【考点】点与圆的位置关系 【解析】【分析】连接 AC，根据勾股定理求出 AC 的长，进而得出点 B，C，D 与A 的位置关系 23、 【答案 】解：如图所示，连接 O1 A，作 O1 EAD 于 E，O 1 A=R，O 1 AE=45，AE=O 1 Acos45= R，AD=2AE= R；如图所示：连接 O2 A，O 2 B，则 O2 BAC，O 2 A=R，O 2 AF=30，AO 2 B=60，AO 2 B 是等边三角形， AF=O2Acos30= R，AB=R
25、，AC=2AF= R；圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比 R： R：R= ： ：1【考点】正多边形和圆 【解析】【分析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用 R 分别表示出它们的边长，进而可得出结论 四、综合题24、 【答案 】（1 ）证明：连接 OC， OA=OC，OAC= DAC，DAC=OCA ，ADOC，AEC=90， OCF= AEC=90，EF 是O 的切线；（2 ）解：连接 OD，DC， DAC= DOC，OAC= BOC，DAC=OAC，ED=1，DC=2，sinECD= ，ECD=30，OCD=60，OC=OD，DOC 是等边三角形，BOC=COD=60 ，OC=2 ，l= = 【考点】切线的判定与性质，弧长的计算 【解析】【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到OAC= DAC，求得DAC= OCA，推出ADOC，得到OCF= AEC=90，于是得到结论；（2 ）连接 OD，DC，根据角平分线的定义得到DAC=OAC ，根据三角函数的定义得到ECD=30 ，得到OCD=60，得到BOC= COD=60 ，OC=2，于是得到结论
