1、2017 年泉州市普通高中毕业第二次质量检查理 科 数 学第 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合 ， ，则21xA260BxAB（A） （B） （ C） （D）(,3)(,3,)(,23,),（2）已知复数 .若 ，则 在复平面内对应的点位于i()zaR2z2iz（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）公差为 2 的等差数列 的前 项和为 .若 ，则nanS3123a（A）4 （ B）6 （C）8 （D）14（4）已知实数 满足约束条件 ，则满足 的点 所构,xy,20,yxzxy1
2、z(,)xy成的区域面积等于（A） （B） （C） （D）114134（5）榫卯（sn mo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”.某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（A）12 （B）13 （C）14 （D）15（6）执行一次如图所示的程序框图，若输出 的值为 0，则下列关于框图中函数i的表述，正确的是()fxR（A） 是奇函数，且为减函数 （B） 是偶函数，且为增函数()f ()fx（C） 不是奇函数，也不为减函数 （D） 不是偶函数，也不为增x函数开始 (),fxm输 入 函 数 正 数
3、0,iab否1i是i输 出?结束10?ab是 否（7）已知以 为中心的双曲线 的一个焦点为 ， 为 上一点， 为 的中点.若OCFPCMPF为等腰直角三角形，则 的离心率等于MF（A） （B） （C ） （D ）2121 2512（8）已知曲线 的一条对称轴方程为 ，曲线 向左平移:sin(2)Cyx6xC（ ）个单位长度，得到的曲线 的一个对称中心为 ，则 的最小值是0E(,0)（A） （B） （C ） （D ）1243512（9）在梯形 中， ， ， ， ， ，CDA:1B2AB60AC则 （A）2 （B） （C ） （D）7913（10）某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是 1，
4、2，3，4 中的任一个.现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同则上述四人所设密码最安全的是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁（11）已知直线 分别与半径为 1 的圆 相切于点 ， ，,PO,AB2PO.若点 在圆 的内部（不包括边界） ，则实数 的取值范围是2(1)MBM（A） （B） （C ） （D ）, 2(0,)31(,)3(0,1)（12）已知函数 ， .若曲线 上存在两点关于直线()exfgaxyfx的对称点在曲线 上，则实数 的取值范围是yx()y（A） （B） （
5、C ） （D）(0,1)1,(0,)(0,1)第 卷本卷包括必考题和选考题两个部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）已知椭圆 的左顶点、上顶点、右焦点分别为 ，则2:13xyC,ABF_.ABF（14）已知曲线 在点 处的切线为 ，则由 以及直线 围成的2:Cyx(0,)l,Cl1x区域面积等于_.（15）在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则 的取O(,1)Pxcosin值范围是_.（16）已知在体积为 的圆柱中， 分别是上、下底面两条不平行的直径，则三12,A
6、BCD棱锥 的体积最大值等于_.ABCD三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）在数列 中， ， .na1421()nna（）求证：数列 是等差数列；（）求数列 的前 项和 .1nanS（18） （本小题满分 12 分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取 名驾驶员先后在10无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离” （驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表 1 和表 2.表 1停车距离 （米）d10,20,
7、30,40,50,6频数 6ab82表 2平均每毫升血液酒精含量 毫克x10350790平均停车距离 米y 6已知表 1 数据的中位数估计值为 ，回答以下问题.26（）求 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；,ab（）根据最小二乘法，由表 2 的数据计算 关于 的回归方程 ；yxybxa（）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” 大于（）中无酒状态下的停车距离平均数的 倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（）中的回归方程，预3测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截12(,),()nxyxy ybxa距的最小二乘估计分别为
8、， .）12niibxaybx（19） （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，ABCDABCD， ， ，点 在 上， ABD6024E2E（）求证: ；E（）若二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.BA15ABC（20） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交xOy2:(0)CxpyFl于 两点，交 轴于点 ， 到 轴的距离比 小 1.C,ABxDBxBF（）求 的方程；（）若 ，求 的方程.BOFADSl（21） （本小题满分 12 分）已知函数 .lnfxk（）若 有唯一解，求实数 的值；0k（）证明：当 时， .1a2()
9、e1xxfa（附： ， ， ， ）ln20.69ln3.0324.87.39请考生在第（22） 、 （23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ；在以xOy1C1cos,inxy为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 O22sin（）求 的普通方程和 的直角坐标方程；1C2（）若射线 ： 分别交 ， 于 两点（ 异于原点）.当lykx(0)1C2,AB,时，求 的
10、取值范围(,3kOAB（23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 .fxax（）当 时，解不等式 ；26f（）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.x21xa2017 年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分
11、数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）C （2）B （3）B （4）C （5）C （6）D（7）B （8）A （9）B （10）C （11）B （12）D（11）解法一：以圆心 为原点， 的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系，则有OPx， ， .设 ，可解得 ，2,0P13(,)213(,)20,My0132，因为 在圆内，所以 ，整理，得0y0,xy134，解得 ，故答案选（B）.312(,)3解法二：如图，在线段 的延长线上取点 ，使得 .连结 ，交圆 于 .可PAQPA
12、OQC求得 ，故 三点共线.因为 ，所以 60O,B2PA，故 .又因为点 在圆2(1)(1)PMBM的内部（不包括边界） ，所以 ，答案选（B ）.O2(0,)3（12）解法一：可以看出， 是曲线 与曲线 的一个公共点，且当(1,0)(1)yaxlnyx时，两曲线在点 处的切线方程均为 .由导数的概念，可知当1a或 时，曲线 与直线 交于两点，必与曲线0()yxyx交于两点，故答案为（D）.lnyx解法二：方程 显然有一个根 .2lnax1x若满足在去心邻域 存在非 的根则符合题意.又因为对于区间(1,)（其中 为任意充分小正数） ， （ 表示等价无穷小 ） ，故去(1,)lnx:心邻域 中
13、，方程等价为 ，所以 取遍去心邻域 ，所1a1(,)以排除选项（A ） （B） （C） ，答案为（D ）.解法三： 有两个不同根，由于两者都是连续函数，令特殊值 ，不合题2lnax a意；令特殊值 ，符合题意；令特殊值 ，符合题意.故选项（D）.12a解法四：依题意，可知 有两个不同实根.设 ，则lnxlnxF.21lnxF当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；(0,)F(1,)xFx当 时， 恒成立，当且仅当 取到等号，即只有一个根，与题1a1xa意不合.当 时，显然符合题意 .当 时，可以发现 时， ；（或者 ）1a0x1Fxa11Fa当时， （证明后补）.根据零点存在性定理可得在 必2
14、x21Fa (0,)有一根.故两图象有两个公共点.故 的取值范围是 .(0,1)补证： 时， ，即证 ，即证21xaFxa22ln1a，2lna这是显然的 ，而 .得证2ln010a解法五：方程 显然有一个实根 ，故当 时方程 还有2lnax1xxln1xa另一个实根，当 时， ；当 时， ；0xl1xxln01x且 ，211111lnllnimiimlilim2xxxxx；211111lnlnlnimiimlilim2xxxxx 显然， ，且 都是符合题意.0a二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13）6 （14） （15） （16）813(1,2解析：
15、（15）解法一：依题意，可知 ，所以 ，故 ，(0,4(,422sin()(,14所以 ，故答案为 .cosin2si)1,21,解法二：由三角函数定义，得 ， ，2cox2sinx所以，2222211cosin 11xxxxx因为 在 单调递增，所以 ，1yx,),)y所以 ，从而 ，故答案为 .2(0cosin(12(1,2（16）解：设上、下底面圆的圆心分别为 ，圆的半径为 ，1,Or由已知 ，所以 ，则 ，21Vr圆 柱 2rABCDOABDVV因为 是 中点，所以 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，故OCDAB，从而 .设三棱锥 的高为 ，则 ，ABABCDOV hr所以 112
16、2323CDOVShhr，2183r故三棱锥 的体积最大值等于 8.ABCD三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）解法一：（） 的两边同时除以 ，21()nna(1)n得 ， 3 分*12nN所以数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列. 6 分n（）由（） ，得 ， 7 分na所以 ，故 ， 8 分2na211()1()2nnn所以 ，1()()3nS，1122nn . 12 分1()()解法二：依题意，可得 ， 1 分12nna所以 ，1() 2n nna a即 ， 3 分*2()N所以数列 是首项为 4，公差
17、为 2 的等差数列. 6 分na（）同解法一. 12 分（18） （本小题满分 12 分）本小题主要考查频率分布直方图、数学期望等基础知识；考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查统计与概率思想、分类与整合思想.解：（）依题意，得 ，解得 ， 1 分65021a40a又 ，解得 ； 2 分3610ab24b故停车距离的平均数为 . 4 分60248253557110（）依题意，可知 ， 5 分,xy， 6 分2222103067096550b， 7 分7，60521a所以回归直线为 .8 分0.75yx（）由（I）知当 时认定驾驶员是 “醉驾”. 9 分81令 ，得 ，解得
18、 ， 11 分8y.280x当每毫升血液酒精含量大于 毫克时认定为“醉驾”. 12 分（19） （本小题满分 12 分）解法一:（）取 的中点 ， 连结 .BDO,ACEO因为 ， ，所以 ， 1 分ABD又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，ABD所以 平面 ， 2 分BC又 平面 ，所以 .EDAOE在 中， ， ，所以 ，22C2BDE由角平分线定理，得 ， 3 分又 ，所以 ， 4 分BCB又因为 ， 平面 ， 平面 ，AOAOACO所以 平面 ， 5 分E又 平面 ，所以 .6 分CE（）在 中， ， ，BD24B60D由余弦定理得 ，所以 ，即 ，322B90C所以 ， ，所以
19、， 7 分30EBDBEDOB结合（）知， 两两垂直.以 为原点，分别以向量 的,OA,EDOA方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 （如图） ，设xyz xyz，(0)At则 ， ， ，0,At,20B3(,0)E所以 ， ， 8 分,t(,)设 是平面 的一个法向量，,xyznABE则 即 ，整理，得0,BE20,3tzxy3,2xyzt令 ，得 . 9 分1y(,1)tn因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量 . 10 分OACD(,0)mABD又因为二面角 的余弦值为，EB15所以 ，解得 或 （舍去） ， 11 分23cos,41tn2t又 平面 ，所以 是三棱锥 的高
20、，AOBCDAOBCD故 . 12 分143233VS解法二：（）取 中点 ， 连结 .BDO,ACE因为 ， ，所以 ， 1 分ABD又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面AO，B所以 平面 ， 2 分OCD在平面 内，过 作 （如图） ，则 ， , 两两垂直.FOFD以 为原点，分别以向量 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立,Axyz空间直角坐标系 （如图） ，设 ， 3 分xyz0t在 中， ， ，由余弦定理得 ，BCD24B60CD 23CD因为 ，所以 ，故 ， 4 分290B则有 ， ， ， ， 5 分0,At,20(3,10)23(,)E所以 ， ，(3,1)Ct(,)BE所
21、以 ，20At所以 . 7 分BE（）由（）可得 .0,2At设 是平面 的法向量，,xyzn则 即 整理，得0,BAEn20,3ytzx3,2xyzt令 ，得 . 9 分1y(,1)t因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量 . 10 分OACD(,0)mABD又因为二面角 的余弦值为 ，EB15所以 ，解得 或 （不合，舍去） ， 11 分23cos,41tn2t又 平面 ，所以 是三棱锥 的高，AOBCDAOBCD故 . 12 分143233VS解法三:（）同解法一. 6 分（）过点 作 于点 ，连结 .OFABEF在 中， ， ，由余弦定理可得 .BCD24B60CD 23CD因为 ，
22、所以 ，29故 ， ，所以 ， 7 分30EEOB又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，ABDCABDCEBCD所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 8 分OA又因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，EFEFF所以 ，所以 为二面角 的平面角， 9 分ABOB所以 ，所以 ，解得 ，15cosEFO236tanEOF2FO10 分设 ，则 ，解得 或 （不合，舍去） ， 11 分0At2tt2t又 平面 ，所以 是三棱锥 的高，BCDABCD所以 . 12 分1143233ABVOS（20） （本小题满分 12 分） 解法一：（） 的准线方程为 ， 1 分C2px由抛物线的定义，可知 等于点 到
23、的准线的距离. 2 分BFC又因为点 到 轴的距离比 小 1，x所以点 到 轴的距离比点 到抛物线准线的距离小 1， 3 分故 ，解得 ，12p2所以 的方程为 . 4 分C4xy（）由（）得 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，(0,1)Fl10ykx, .则 . 5 分1()Axy2()BDk联立方程组 消去 ，得 . 6 分4,1yx240xk，22()()6k由韦达定理，得 . 7 分12124,xkx设点 到直线 的距离为 ，则 , .OldBOFSd12AODSd又 ，所以 . 8 分BFADSA又 在同一直线上,所以 ，即 ， 9 分, 12()xk1xk因为 ， 10 分22211
24、()()4()4()xxk所以 ，整理，得 ，4kk2610故 ，解得 ， 11 分2552所以 的方程为 . 12 分l 1yx解法二：（） 的焦点为 ， 1 分C(0,)2pF将 代入 ，得 或 ，故 ，2py2xyxp2pBF因为点 到 轴的距离比 小 1， ，即 ， 2 分BB11解得 ，所以 的方程为 ， 3 分pC24xy经检验，抛物线的方程 满足题意. 4 分（）同解法一. 12 分（21） （本小题满分 12 分）解法一：（）函数 的定义域为 .()fx(0,)要使 有唯一解，只需满足 ，且 的解唯一， 1 分0fmaxfmax0f， 2 分1kx当 时， ， 在 上单调递增，
25、且 ，fxfx(0,)1f所以 的解集为 ，不符合题意； 4 分0f1,)当 时，且 时， ， 单调递增；当 时，k(xkfxfx,)(kx， 单调递减，所以 有唯一的一个最大值为 ，fxf 1f令 ，得 ，此时 有唯一的一个最大值为 ，1()ln10k1fx且 ，故 的解集是 ，符合题意；ffx综上，可得 . 6 分k（）要证当 时， ，1a2()e1xxfka即证当 时， ，2eln10即证 . 7 分2elx由（）得，当 时， ，即 ，从而 ，1k()fxl1xln(1)x故只需证 ，当 时成立； 8 分2e0x令 ，则 ， 9 分()()hx()e4xh令 ，则 ，令 ，得 .FxFe
26、40F2ln因为 单调递增，所以当 时， ， 单调递减，()0,2lnxxFx即 单调递减，当 时， ， 单调递增，即hx l单调递增，()所以 ， ， ，ln458l20()20h2()e810h由零点存在定理，可知 ， ，使得1,lnxln,x，12hx故当 或 时， ， 单调递增；当 时，102x()0hx()12x， 单调递减，所以 的最小值是 或 .()x() (0)h()由 ，得 ，2h2e41x，()x 22 2251x xx因为 ，所以 ，2ln,2()0h故当 时， ，所以原不等式成立. 12 分0x()x解法二：（）函数 的定义域为 .f(,)， 1 分1()kfx当 时， ， 在 上单调递增，且 ，所以0()0fx()f, (1)0f的解为 ，此时不符合题意； 2 分()0fx1,)当 时， ，k1()kxf k所以当 时， ， 单调递增；当 时，,x)0f ,)(1kx， 单调递减，所以 ， ， 3 分()0f()f()xfk)lnf令 ， ， 4 分ln1gk1()gk当 时， ， 单调递减，当 时， ，,01,()0gk单调递增，所以 ，由此可得当 且 时，()k()k 0k
