1、2017 年四川省乐山市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 M=1，0，1，N=x|x 2=x，则 MN=（ ）A1，0，1 B0，1 C1 D02在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围 ”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围 ”可表示为（ ）A（p）（q） Bp（q） C（p）（q） Dpq3已知复数 z= ，复数 z 对应的点为 Z，O 为坐标原点，则向量 的坐标为（ ）A（1，1） B（1， 1） C（ 1，1） D（1，1）4甲、乙两人在一次射击比赛中各射
2、靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 4，则图中判断框内处应填（ ）A2 B3 C4 D56如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点， = ， = ，则 =（ ）A B C + D +7经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下：x 15 16 18 19 2
3、2y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为 y=bx+a，则点（a ，b）与直线 x+18y=100 的位置关系是（ ）Aa+18b100 Ba+18b100Ca+18b=100 Da +18b 与 100 的大小无法确定8已知数列a n的前 n 项和为 Sn=2an1，则满足 的最大正整数 n 的值为（ ）A2 B3 C4 D59如图所示是正三棱锥 VABC 的正视图，侧视图和俯视图，则其正视图的面积为（ ） A6 B5 C4 D310设偶函数 f（x）=Asin（x+）（A0， 0，0 ）的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形，KML=90，KL=1 ，则
4、 的值为（ ）A B C D11在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积9，则 p=（ ）A2 B4 C3 D12若关于 x 的方程 2x33x2+a=0 在区间2，2上仅有一个实根，则实数 a 的取值范围为（ ）A（4，01，28） B 4，28 C 4，0）（1，28 D（4，28）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若 的终边过点 P（ 2cos30，2sin30），则 sin的值为 14已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=9
5、a6，则 S8= 15定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）= 则f（2017 ）的值为 16设函数 y=f （x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 xD，都有 f（ x+T） =Tf （x），则称函数 y=f（x）是“ 似周期函数”，非零常数 T 为函数 y=f（ x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数 ”y=f（x）的“似周期” 为 1，那么它是周期为 2 的周期函数；函数 f（x）=x 是“似周期函数”；函数 f（x）=2 x 是“似周期函数”；如果函数 f（x）=cosx 是“ 似周期函数”，那么“=k，k Z”其中是真命题的序号是
6、（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）17（12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 是单位圆上的动点，过点 P作 x 轴的垂线与射线 y= x（x0）交于点 Q，与 x 轴交于点 M记MOP=，且 （ ， ）（）若 sin= ，求 cosPOQ；（）求OPQ 面积的最大值18（12 分）如图，在底面为梯形的四棱锥 SABCD 中，已知ADBC，ASC=60，AD=DC= ，SA=SC=SD=2 （）求证：ACSD ；（）求三棱锥 BSAD 的体积19（12 分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部
7、分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率20（12 分）设椭圆 C： + =1（a b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，上顶点为 A，过点 A 与 AF2 垂直的直线交 z 轴负半轴于点 Q，且+ = ，过 A，Q，F 2 三点的圆的半径为 2过定点 M（0，2）的直线l 与椭圆 C 交于 G，H 两点（点 G 在点 M，H 之间）（I）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 的斜
8、率 k0，在 x 轴上是否存在点 P（m ，0），使得以PG，PH 为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由21（12 分）设函数 f（x）= +lnx，g（x）=x 3x23（1）函数 f（x）在区间1，+）上是单调函数，求实数 a 的取值范围；（2）若存在 x1，x 2 ，3，使得 g（x 1） g（x 2）M 成立，求满足条件的最大整数 M；（3）如果对任意的 s，t ，2都有 sf（s）g（ t）成立，求实数 a 的范围四、选修题22（10 分）已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线 C
9、2 的极坐标方程是=4sin（）求曲线 C1 与 C2 交点的坐标；（）A、B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上，当|AB|最大时，求OAB 的面积（O 为坐标原点）五、选修题23（10 分）设函数 f（x）=|2x1|x+2|（1）求不等式 f（x）3 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）t 23t 在0，1上无解，求实数 t 的取值范围2017 年四川省乐山市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 M=1，0，1，N=x|x 2=x，则 MN=（ ）A1，0，1 B0，1 C1 D0【考点】1E：交集及其
10、运算【分析】集合 M 与集合 N 的公共元素，构成集合 MN，由此利用集合M=1，0，1，N= x|x2=x=0，1，能求出 M N【解答】解：集合 M=1，0，1，N=x|x 2=x=0，1，MN= 0， 1，故选 B【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围 ”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围 ”可表示为（ ）A（p）（q） Bp（q） C（p）（q） Dpq【考点】25：四种命题间的逆否关系【分析】由命题 P 和命题 q 写出对应的p 和q，则命题
11、“至少有一位学员没有降落在指定范围” 即可得到表示【解答】解：命题 p 是“ 甲降落在指定范围 ”，则 p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围 ”，则 q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围” 三种情况所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为（ p）V（q）故选 A【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题3已知复数 z= ，复数 z 对应的点为 Z，O 为坐标原点，则向
12、量 的坐标为（ ）A（1，1） B（1， 1） C（ 1，1） D（1，1）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数 z= = =i+1，则向量 的坐标为（ 1，1）故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【考点】BC ：极差、方差与
13、标准差；B6：分布的意义和作用；BB：众数、中位数、平均数【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论【解答】解： = （ 4+5+6+7+8）=6 ，= （5 +5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为 （2 22+122）=2，以的成绩的方差为 （1 23+321）=2.4故选：C 【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题5执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 4，则图中判断框内处应填（ ）A2 B3 C4 D5【考点】EF ：程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出
14、变量 b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 a=1 时，b=1 不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2 ， a=2；当 a=2 时，b=2 不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3；当 a=3 时，b=4 满足输出条件，故应退出循环，故判断框内处应填 a 2，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点， = ， = ，则 =（ ）A B C + D +【考点】9H：平面向量的基
15、本定理及其意义【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可【解答】解：如图：连结 CD，OD，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点，AODC 是平行四边形， = 故选：D【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题7经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下：x 15 16 18 19 22y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为 y=bx+a，则点（a ，b）与直线 x+18y=100 的位置关系是（ ）Aa+18b100 Ba+
16、18b100Ca+18b=100 Da +18b 与 100 的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程【分析】由样本数据可得， ， ，利用公式，求出 b，a ，点（a，b）代入x+18y，求出值与 100 比较即可得到选项【解答】解：由题意， = （15+16+18+19+22）=18， = （102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5 =9900， xi2=1650，n（ ）2=5324=1620，b= =3.1，a=110 3.118=54.2，点（a，b）代入 x+18y，54.2+183.1=110 100即 a+18b100故选：B 【点评】本题考查数据的
17、回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键8已知数列a n的前 n 项和为 Sn=2an1，则满足 的最大正整数 n 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【考点】8H：数列递推式【分析】S n=2an1，n=1 时，a 1=2a11，解得 a1n2 时，a n=SnSn1，化为：an=2an1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n1. 化为：2 n12n，即2n4n验证 n=1，2，3，4 时都成立n5 时，2 n=（1+1） n，利用二项式定理展开即可得出2 n4n【解答】解：S n=2an1，n=1 时，a 1=2a11，解得 a1=1n2 时，a n=SnSn1=2an1（2a
18、 n11），化为：a n=2an1，数列a n是等比数列，公比为 2an=2n1化为：2 n12n，即 2n4nn=1，2 ，3， 4 时都成立n5 时，2 n=（1+1） n= + + + + 2（ + ）=n 2+n+2，下面证明：n 2+n+24n，作差：n 2+n+24n=n23n+2=（n 1）（n2）0，n 2+n+24n，则满足 的最大正整数 n 的值为 4故答案为：C【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9如图所示是正三棱锥 VABC 的正视图，侧视图和俯视图，则其正视图的面积为（ ） A6 B5 C4 D3【
19、考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图求出正三棱锥的棱长、底面正三角形的边长，根据正三棱锥的结构特征求出三棱锥的高，即可求出正视图的面积【解答】解：由题意知几何体是一个正三棱锥，由三视图得棱长为 4，底面正三角形的边长为 2 ，底面正三角形的高是 =3，正三棱锥顶点在底面的射影是底面的中心，正三棱锥的高 h=2 ，正视图的面积 S= =3 ，故选：D【点评】本题考查正三棱锥的三视图，由三视图正确求出几何元素的长度是解题的关键，考查了空间想象能力10设偶函数 f（x）=Asin（x+）（A0， 0，0 ）的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形，KML=90，KL=1 ，则 的值为
20、（ ）A B C D【考点】HK：由 y=Asin（ x+）的部分图象确定其解析式；H3：正弦函数的奇偶性【分析】通过函数的图象，利用 KL 以及KML=90求出求出 A，然后函数的周期，确定 ，利用函数是偶函数求出 ，即可求解 f（16）的值【解答】解：因为 f（x）=Asin（x+）（A0， 0，0 ）的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形，KML=90，KL=1 ，所以 A= ，T=2，因为 T= ，所以 =，函数是偶函数，0，所以 = ，函数的解析式为：f（x）= sin（x+ ），所以 = sin（ + ）= 故选 D【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学
21、生识图能力、计算能力11在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积9，则 p=（ ）A2 B4 C3 D【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，可得OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求 p 的值【解答】解：OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为 9，圆的半径为 3又圆心在 OF 的垂直平分线上，|OF|= ， + =3p=4故选：B 【点评】本题考查圆与圆锥曲
22、线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题12若关于 x 的方程 2x33x2+a=0 在区间2，2上仅有一个实根，则实数 a 的取值范围为（ ）A（4，01，28） B 4，28 C 4，0）（1，28 D（4，28）【考点】55：二分法的定义【分析】利用导数求得函数的增区间为2 0）、（1，2，减区间为（0，1），根据 f（ x）在区间2，2 上仅有一个零点可得 f（ 0）0，故，或 ，分别求得、的解集，再取并集，即得所求【解答】解：设 f（x）=2x 33x2+a，则 f（x）=6x 26x=6x（x1），x2，2，令 f（ x）0，求得2x 0，1x2 令 f（x） 0，求得 0x1，故
23、函数的增区间为2 0）、（ 1，2，减区间为（ 0，1），若 f（ 1）=0，则 a=1，则 f（x ）=2x 33x2+1=（2x +1）（x1） 2，与提意不符合f（1 ）0根据 f（ x）在区间2，2 上仅有一个零点，f（ 2） =a28，f（0）=a，f（1）=a1， f（2） =a+4，若 f（0 ）=a=0 ，则 f（x）=x 2 （2x3），显然不满足条件，故 f（0）0 ，或 解求得 1a 28，解 求得4a0，故选：C 【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若 的
24、终边过点 P（ 2cos30，2sin30），则 sin的值为 【考点】G9：任意角的三角函数的定义【分析】通过 的终边过点 P（ 2cos30，2sin30），利用三角函数的定义，求解即可【解答】解：因为 的终边过点 P（ 2cos30，2sin30），则sin= = 故答案为 【点评】本题考查三角函数的定义，基本知识的考查14已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=9a6，则 S8= 72 【考点】85：等差数列的前 n 项和【分析】可得 a1+a8=18，代入求和公式计算可得【解答】解：由题意可得 a3+a6=18，由等差数列的性质可得 a1+a8=18故 S8= （a 1+
25、a8）=4 18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题15定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）= 则f（2017 ）的值为 1 【考点】3T：函数的值【分析】根据已知分析出当 xN 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，可得答案【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）= ，f（1 ）=1，f（0）=0，f（1） =f（0） f（1）= 1，f（2） =f（1） f（0）= 1，f（3） =f（2） f（1）=0 ，f（4） =f（3） f（2）=1 ，f（5） =f（4） f（3）=1 ，f（6） =f（5） f（4）=0 ，f（7）
26、 =f（6） f（5）= 1，故当 xN 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，故 f（2017 ）=f（1）=1，故答案为：1【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当xN 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，是解答的关键16设函数 y=f （x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 xD，都有 f（ x+T） =Tf （x），则称函数 y=f（x）是“ 似周期函数”，非零常数 T 为函数 y=f（ x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数 ”y=f（x）的“似周期” 为 1，那么它是周期为 2 的周期函数；函数 f
27、（x）=x 是“似周期函数”；函数 f（x）=2 x 是“似周期函数”；如果函数 f（x）=cosx 是“ 似周期函数”，那么“=k，k Z”其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号）【考点】3P：抽象函数及其应用【分析】由题意知 f（x1）=f（x），从而可得 f（x2）= f（x1）=f（x）；由 f（ x+T） =Tf （x）得 x+T=Tx 恒成立；从而可判断；由 f（ x+T） =Tf （x）得 2x+T=T2x 恒成立；从而可判断；由 f（ x+T） =Tf （x）得 cos（x+T ）=Tcosx 恒成立；即cosxcosTsinxsinT=Tcosx恒成立，从而可得
28、，从而解得【解答】解：似周期函数”y=f（x）的“似周期 ”为1，f（x 1）=f（x），f（x 2）=f（x1）=f（ x），故它是周期为 2 的周期函数，故正确；若函数 f（x）=x 是“似周期函数”，则 f（x+T）=Tf （x），即 x+T=Tx 恒成立；故（T1）x=T 恒成立，上式不可能恒成立；故错误；若函数 f（x）=2 x 是“似周期函数”，则 f（x+T）=Tf （x），即 2x+T=T2x 恒成立；故 2T=T 成立，无解；故错误；若函数 f（x）=cosx 是 “似周期函数”，则 f（x+T）=Tf （x），即 cos（ （x+T）=Tcosx 恒成立；故 cos（ x+
29、T）=Tcosx 恒成立；即 cosxcosTsinxsinT=Tcosx恒成立，故 ，故 =k，k Z；故正确；故答案为：【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）17（12 分）（2017 乐山三模）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 是单位圆上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y= x（x0）交于点 Q，与 x 轴交于点 M记MOP= ，且 （ ， ）（）若 sin= ，求 cosPOQ；（）求OPQ 面积的最大值【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义【分析】同角三角的基本关系求得
30、 cos的值，再利用两角差的余弦公式求得 cos POQ 的值（）利用用割补法求三角形 POQ 的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值【解答】解：因为 ，且 ，所以 所以 （）由三角函数定义，得 P（cos，sin），从而 ，所以 = =因为 ，所以当 时，等号成立，所以OPQ 面积的最大值为 【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题18（12 分）（2017 乐山三模）如图，在底面为梯形的四棱锥 SABCD 中，已知 ADBC，ASC=60，AD=DC= ，SA=SC=SD=2 （）求证：ACSD ；（）求三棱锥 BSAD 的体积【考点
31、】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）取 AC 中点 O，连结 OD，SO，由等腰三角形的性质可知ACSO ，ACOD，故 AC平面 SOD，于是 ACSD；（2）由ASC 是等边三角形可求得 SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明ADCD，SO OD，故而 SO平面 ABCD，代入体积公式计算即可【解答】证明：（1）取 AC 中点 O，连结 OD，SO，SA=SC，SOAC，AD=CD， ODAC ，又OS平面 SOD，OD平面 SOD，OSOD=O，AC平面 SOD，SD平面 SOD，ACSD（2）SA=SC=2，ASC=60，ASC 是等边三
32、角形，AC=2，OS= ，AD=CD= ，AD 2+CD2=AC2，ADC=90，OD= =1SD=2 ， SO2+OD2=SD2，SOOD，又SOAC，AC 平面 ABCD，OD平面 ABCD，AC OD=O ，SO平面 ABCD，V 棱锥 BSAD=V 棱锥 SABD= SABD SO= = 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题19（12 分）（2017 乐山三模）某校高一（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80
33、，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B8：频率分布直方图；BA：茎叶图【分析】（）先由频率分布直方图求出50，60）的频率，结合茎叶图中得分在50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（）根据茎叶图的数据，利用（）中的总人数减去50，80）外的人数，即可得到50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果【解答】解：（）分
34、数在50，60）的频率为 0.00810=0.08，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为 2，全班人数为 （）分数在80，90）之间的频数为 2522=3；频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为 （）将80，90）之间的 3 个分数编号为 a1，a 2， a3，90，100）之间的 2 个分数编号为 b1，b 2，在80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（ a3，b 1），（ a3，b 2），（b 1，b 2）共 10 个，其中，至少有
35、一个在90，100）之间的基本事件有 7 个，故至少有一份分数在90，100）之间的概率是 【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题20（12 分）（2017 乐山三模）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，上顶点为 A，过点 A 与 AF2 垂直的直线交 z 轴负半轴于点Q，且 + = ，过 A，Q，F 2 三点的圆的半径为 2过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点（点 G 在点 M， H 之间）（I）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 的斜率 k0，在 x 轴上是否存在点 P（m ，0）
36、，使得以PG，PH 为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（I）因为 ，知 a，c 的一个方程，再利用AQF 的外接圆与直线 l 相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设 l 的方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得 m 的取值范围【解答】解：（I）因为 ，所以 F1 为 F2Q 中点设 Q 的坐标为（3c，0），因为 AQAF 2，所以 b2=3cc=3c2，a 2
37、=4cc=4c2，且过 A，Q，F 2 三点的圆的圆心为 F1（ c，0），半径为 2c因为该圆与直线 l 相切，所以 ，解得 c=1，所以 a=2，b= ，所以所求椭圆方程为 ；（）设 l 的方程为 y=kx+2（k0），与椭圆方程联立，消去 y 可得（3+4k 2）x2+16kx+4=0设 G（x 1，y 1），H（x 2，y 2），则 x1+x2= =（x 1m，y 1）+（x 2m，y 2）=（x 1+x22m，y 1+y2）=（x 1+x22m，k（x 1+x2）+4）又 =（x 2x1，y 2y1）=（ x2x1，k（x 2x1）由于菱形对角线互相垂直，则（ ） =0，所以（x 2
38、x1）（x 1+x2）2m+k（x 2x1）k（x 1+x2）+4=0故（x 2x1）（x 1+x2）2m+k 2（x 1+x2）+4k=0因为 k0，所以 x2x10 所以（x 1+x2）2m+k 2（x 1+x2）+4k=0，即（1+k 2）（x 1+x2）+4k2m=0所以（1+k 2）（ ）+4k 2m=0解得 m= ，即因为 k ，可以使 ，所以故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 ）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题21（12 分）（201
39、7 乐山三模）设函数 f（x）= +lnx，g（x）=x 3x23（1）函数 f（x）在区间1，+）上是单调函数，求实数 a 的取值范围；（2）若存在 x1，x 2 ，3，使得 g（x 1） g（x 2）M 成立，求满足条件的最大整数 M；（3）如果对任意的 s，t ，2都有 sf（s）g（ t）成立，求实数 a 的范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求函数 f（x）的定义域，再求出函数的导数，从而讨论确定函数的单调性；（2）存在 x1，x 2 ，3，使得 g（x 1） g（x 2）M 成立可化为g（x 1）g（x 2） maxM，从而
40、化为求 g（x）的最值，从而求解（3）化简可知 g（x）的最大值是 1，从而可得只需当 x ，2时，xf（x）=+xlnx1 恒成立，可化为 ax x2lnx 恒成立，从而转化为最值问题【解答】解：（1）函数 f（x）= +lnx 的定义域（ 0，+），f（x） = + = ，当 a0 时， f（x）0 ，函数 f（ x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，由 f（x） 0 得 x ，函数 f（ x）的单调递增区间为（ ，+）；由 f（ x）0 得 0x ，函数 f（ x）的单调递减区间为（0， ）（2）存在 x1，x 2 ，3，使得 g（x 1） g（x 2）M 成立，可化为g（x 1）g
41、（x 2） maxM；考察 g（x）=x 3x23，g（ x）=3x 22x=3x（x ）；x （ ， 0）0（0， ） （ ， 3）3g（x） + 0 0 +g（x）递增 3 递减递增 15由上表可知 g（x） min=g（ ）=g（ ）= ，g（ x） max=g（3）=15；故g（x 1）g（x 2） max=g（x） maxg（x） min= ，所以满足条件的最大整数 M=18（3）当 x ，2时，由（）可知，g（x）在 ， 上是减函数，在 ，2上增函数，而 g（ ）= g（2）=1，g（x）的最大值是 1要满足条件，则只需当 x ，2时，xf（x）= +xlnx1 恒成立，可化为 a
42、xx 2lnx 恒成立，记 h（x）=x x2lnx，h（x）=1x 2xlnx，h（1）=0当 x ，1）时，1x0，xlnx0，h（x）0，即函数 h（x）=xx 2lnx 在区间 ，1）上递增，当 x（ 1，2 时，1x0，xlnx0，h（x）0，即函数 h（x）=xx 2lnx 在区间（1，2上递减，x=1， h（x ）取到极大值也是最大值 h（1）=1 所以 a1【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了构造函数的应用，属于难题四、选修题22（10 分）（2017 乐山三模）已知曲线 C1 的参数方程是 （为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线
43、C2 的极坐标方程是 =4sin（）求曲线 C1 与 C2 交点的坐标；（）A、B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上，当|AB|最大时，求OAB 的面积（O 为坐标原点）【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】（）求出曲线 C1 与 C2 的普通方程，即可求曲线 C1 与 C2 交点的坐标；（）由平面几何知识可知，当 A，C 1，C 2，B 依次排列且共线时， |AB|最大，此时|AB|=2 +4，O 到 AB 的距离为 ，即可求OAB 的面积【解答】解：（）由 （ 为参数），得曲线 C1 的普通方程为（x+2） 2+y2=4；由曲线 C2 的极坐标方程是 =4sin，得曲线 C2 的直角
44、方程是 x2+y2=4y，把两式作差得 y=x，代入 x2+y2=4y，得到交点坐标为（0，0），（2， 2）；（）由平面几何知识可知，当 A，C 1，C 2，B 依次排列且共线时， |AB|最大，此时|AB|=2 +4，O 到 AB 的距离为 ，OAB 的面积 S= =2+2 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础五、选修题23（10 分）（2017 乐山三模）设函数 f（x）= |2x1|x+2|（1）求不等式 f（x）3 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）t 23t 在0，1上无解，求实数 t 的取值范围【考点】
45、R5 ：绝对值不等式的解法【分析】（1）通过对 x 范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得 f（x）=，再解不等式 f（x）3 即可求得其解集；（2）当 x0，1时，易求 f（x） max=1，从而解不等式 t23t1 即可求得实数t 的取值范围【解答】解：（1）f（x）= ，原不等式转化为 或 或 ，解得：x6 或2x 或 x 2，原不等式的解集为：（， 6，+）；（2）只要 f（x） maxt 23t，由（1）知，当 x0，1 时，f（x） max=1，t 23t1，解得：t 或 t 实数 t 的取值范围为（， ）（ ，+）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对 x 范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题
