1、解直角三角形 50 题一 、选择题：1.如图,在两建筑物之间有 一旗杆,高 15 米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角为 60,又从A点测得D点的俯角为 30,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20 米 B.10 米 C.15 米 D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为 1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（ ）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cosAPB的值是（ ）A.45 B.1 C. D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A的三
2、角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与A的函数值无关5.当锐角30时，则cos的值是（ ）A.大于 B.小于 C.大于 D.小于6.在RtABC中,C=90,B=60,那么sinA+cosB的值为（ ）A.1 B. C. D.7.如 图 ,长 4m 的 楼 梯 AB 的 倾 斜 角 ABD 为 60,为 了 改 善 楼 梯 的 安 全 性 能 ， 准 备 重 新 建 造 楼 梯 ，使 其 倾 斜 角 ACD 为 45， 则 调 整 后 的 楼 梯 AC 的 长 为 （ ）A.2
3、 m B.2 m C.(2 2)m D.(2 2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东 30方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45方向上，按原方向再航行 10 海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10 海里 B.(10 10)海里 C.10 海里 D.(10 10)海里9.在RtABC中，C=90，若tanA= ，则sinA=（ ）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC 是铅垂线,CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 .现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4 米,楼梯宽度 1 米,则地毯的面积至少需要（ ）A. 米 2
4、 B. 米 2 C.（4+ ）米 2 D.（4+4tan）米 211.已知A为锐角，且sinA0.5，则（ ）.0A60 B.60A 90 C.0A 30 D.30A9012.如图,已知的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（1,0）,则sin的值是（ ）A.0.4 B. C.0.6 D.0.8 13.如图,轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行,在 M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68方向上,航行 2 小时后到达 N 处,观测灯塔 P 在西偏南 46方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到 sin68=0.9272，sin46
5、=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947） （ ）A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.6314.2sin60的值等于（ ）A.1 B. C. D.15.在RtABC中，ABC=90、tanA= ，则sinA的值为（ ）A. B. C. D.16.已知 tan= ，则锐角 的取值范围是（ ）A.030 B.3045 C.4560 D.609017.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点 30 米的B处，测得树顶 4 的仰角ABO为，则树OA的高度为( )A. 米 B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米18.在Rt
6、ABC中,C=90,BC=3,AB=4,则sinA的值为（ ）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东 45的方向，从B测得船C在北偏东 22.5的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（ ）A. km B. km C. km D. km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为 35,高 CD 长为 3 米,则斜梁 AC 长为（ ）米A. B. C.3sin35 D.二 、填空题：21.在 RtABC 中，C=90，AB=4，BC=2 ，则 sin = 22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A
7、的仰角为 45，测得大树AB的底部B的俯角为 30，已知平台CD的高度为 5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成 60角，一棵倾斜的大树与地面成 30角，这时测得大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为 米（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东 30的方向上，航行 12 海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东 60的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是 海里（结果保留根号）25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆 10m 的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，测角仪高 AD为 1
8、m，则旗杆高 BC 为 m（结果保留根号）26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为 30，然后再向山脚直行 100 米到达C处，再测得山顶A的仰角为 60，那么山高AD为 米27.如图,ABC 中,DE 是 BC 的垂直平分线,DE 交 AC 于点 E,连接 BE,若 BE=5,BC=6,则 sinC= 28.某同学沿坡比为 1： 的斜坡前进了 90 米，那么他上升的高度是 米29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为 30，朝物体AB方向前进 20 米，到达点C，再次测得点A的仰角为 60，则物体AB的高度为 米.30.同角三角函数的基本关系为：(si
9、n) 2+(cos) 2=1, =tan.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知 tan=2,则 = 31.如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优弧上一点，则 tanOBC 为 32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线 AB 上的点 O 处使斜边 CD AB，则 a 的余弦值为_33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= 34. (1)如图 1，如果，都为锐角，且tan= ，tan= ，则+= ；(2)如果，都为锐角，当tan=5，tan= 时，在图 2
10、 的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出MON，使得MON=-.此时-= 度.35.如图，直线 l 与相切于点 D，过圆心 O 作 EFl 交O 于 E、F 两点，点 A 是O 上一点，连接 AE，AF，并分别延长交直线于 B、C 两点；若的半径 R=5，BD=12，则ACB 的正切值为 36.在ABC 中，C=90，若 BC=5，AB=13，则 sinA= 37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是 38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,DAB=60,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)ABFCBF；点E到AB的距离是 2 ；
11、tanDCF= ；ABF的面积为 12 .其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）39.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，点 M 是 AD 边的中点，连接 MC，将菱形 ABCD 翻折，使点 A 落在线段 CM 上的点 E 处，折痕交 AB 于点 N，则线段 EC 的长为 40.如图,等腰ABC中,AB=AC，tanB= ，BC=30,D为BC中点,射线DEAC.将ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A,点B的对应点为B）,射线AB分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为 三 、解答题：41.如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD
12、=12,tanBAD= ，求sinC的值42.如图,某飞机于空中 A 处探测到目标 C,此时飞行高度 AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 =43,求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）（参考数据：sin43=0.68，cos43=0.73，tan43=0.93）43.先化解,再求值: ，已知 ， .44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距 24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为 52、底部B的仰角为 45，小刘的观测点与地面的距离EF为 1.6m（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度（结果精确到 0.1m参考数据： 1.41，sin52
13、0.79，tan521.28）45.图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为 16m，CD与地面DE的夹角CDE为 12，支架AC长为 08m，ACD为 80，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到 0.1m）（参考数据：sin12=cos780.21，sin68=cos220.93，tan682.48）46.在ABC中，AD是BC边上的高，C=45，sinB= ，AD=1求BC的长47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF一天，他在A处测得树顶D的仰角DAC=30，在B处测得树顶F的仰角FBE=45，线段BF恰好经过树顶D已知A、B两处的距离为 2 米，两棵树之间的
14、距离CE=3 米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度（ 1.7 ， 1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面 32 米处要再盖一栋 30 米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 37时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin370.6，cos370.8，tan370.75）49.如图，在东西方向的海岸线 l 有一长为 2km 的码头 AB，在码头的西端 A 的正西 29km 处有一观测站 P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 P 的南偏西 30，且与 P 相距 30km 的 C 处；经过 1 小时 40
15、分钟，又测得该轮船位于 P 的南偏东 60，且与 P 相距 10 的 D 处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头 AB 靠岸？请说明理由50.在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（6，0）如图 1，正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在第二象限现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角 得到正方形 OEFG（1）如图 2，若 =60，OE=OA，求直线 EF 的函数表达式（2）若 为锐角，tan= ，当 AE 取得最小值时，求正方形 OEFG 的面积（3）当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上
16、时，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，OEP 的其中两边之比能否为 ：1？若能，求点 P 的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.522.答案为：（5+5 ） 23.答案为：10 24.答案为： 。25.解：如图，过点 A 作 AEDC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m，CE=AD=1m，在 RtBAE 中，BAE=60，BE=AEtan60=10 （m），BC=CE+BE=10 +1（m）旗杆高 BC 为 10 +1m故答案
17、为：10 +126.答案为：50 27.答案为：0.828.答案为：45 29.答案为：30.答案为： 31.答案为：32.答案为：0.533.略34.答案为：（1）45；（2）如图所示：BAC=-=45；35.答案为 1.236.37.答案为：38.解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=6，DAB=60，AB=AD=DB，ABD=DBC=60，在ABF 与CBF 中， ，ABFCBF（SAS），正确；过点 E 作 EGAB，过点 F 作 MHCD，MHAB，如图：CE=2，BC=6，ABC=120，BE=62=4，EGAB，EG=2 ，点 E 到 AB 的距离是 2 ，故正确；BE=4，
18、EC=2，S BFE ：S FEC =4：2=2：1，S ABF ：S FBE =3：2，ABF 的面积为= SABE = 62 = ，故错误；S ADB = 63 =9 ，S DFC =SADB S ABF =9 = ，S DFC = 6MF，FM= ，DM= ，CM=DCDM=6 ，tanDCF= = ，故正确；故答案为：39.解：如图所示：过点 M 作 MFDC 于点 F，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 为 AD 中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60，FMD=30，FD= MD= ，FM=DMcos30= ，MC= = ，EC=MCME= 1故答案为： 140.解
19、：过 D 作 DHAM 于 H 交 AC 于 Q，过 Q 作 QPAD 于 P，过 C 作 CKMA于 K，过 K 作 KLCE 于L，KJDN 于 J，AB=AC，D 为 BC 中点，ADBC，BD=CD=15，tanB= ，AC= ，CE=12，AE=ACEC= 12= ，AD= ，AQ= ， PQ= =3，DP=9，tanQDP= ，DNH=KCL，CKL=HDN，tanCKL= ，CL= ，KL= =EJ，EL=KJ=12 ，NJ=4 ，EN= （4 ）=6 4，DN=6 4+9=6 +5故答案为：6 +541.解：在直角ABD 中，tanBAD= = ，BD=ADtanBAD=12
20、=9，CD=BCBD=149=5，AC= = =13，sinC= = 42.解：如图，B=43，在 RtABC 中，sinB= ， AB= 1765（m） 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离为 1765m43.解：原式= x=3,y=1 原式=44.解：（1）过点 E 作 EDBC 于 D，根据题意得：EFFC，EDFC，四边形 CDEF 是矩形，已知底部 B 的仰角为 45即BED=45，EBD=45，BD=ED=FC=24m，BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=25.6（m），答：建筑物 BC 的高度为 25.6m（2）已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52，即AED=5
21、2，AD=EDtan52241.2830.8，AB=ADBD=30.824=6.8答：旗杆 AB 的高度约为 6.8m45.解：过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 GCD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12，ACD 为 80，ACF=90+1280=22，CAF=68，在 RtACF 中，CF=ACsinCAF0.744m，在 RtCDG 中，CG=CDsinCDE0.336m，FG=FC+CG1.1m故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1m46.解：在 RtABD 中， ，又AD=1，AB=3，BD 2=AB2AD 2， 在 RtADC 中，C=45，CD=AD=1BC=BD
22、+DC= +1 47.48.49.50.【解答】解：（1）如图 1，过点 E 作 EHOA 于点 H，EF 与 y 轴的交点为 MOE=OA，=60，AEO 为正三角形，OH=3，EH= =3 E（3，3 ）AOM=90，EOM=30在 RtEOM 中，cosEOM= ，即 = ，OM=4 M（0，4 ）设直线 EF 的函数表达式为 y=kx+4 ，该直线过点 E（3，3 ），3k+4 =3 ，解得 k= ，所以，直线 EF 的函数表达式为 y= x+4 （2）如图 2，射线 OQ 与 OA 的夹角为 （ 为锐角，tan ）无论正方形边长为多少，绕点 O 旋转角 后得到正方形 OEFG 的顶点
23、 E 在射线 OQ 上，当 AEOQ 时，线段 AE 的长最小在 RtAOE 中，设 AE=a，则 OE=2a，a 2+（2a） 2=62，解得 a1= ，a 2= （舍去），OE=2a= ，S 正方形 OEFG=OE2= （3）设正方形边长为 m当点 F 落在 y 轴正半轴时如图 3，当 P 与 F 重合时，PEO 是等腰直角三角形，有 = 或 = 在 RtAOP 中，APO=45，OP=OA=6，点 P1的坐标为（0，6）在图 3 的基础上，当减小正方形边长时，点 P 在边 FG 上，OEP 的其中两边之比不可能为 ：1；当增加正方形边长时，存在 = （图 4）和 = （图 5）两种情况如
24、图 4，EFP 是等腰直角三角形，有 = ，即 = ，此时有 APOF在 RtAOE 中，AOE=45，OE= OA=6 ，PE= OE=12，PA=PE+AE=18，点 P2的坐标为（6，18）如图 5，过 P 作 PRx 轴于点 R，延长 PG 交 x 轴于点 H设 PF=n在 RtPOG 中，PO 2=PG2+OG2=m2+（m+n） 2=2m2+2mn+n2，在 RtPEF 中，PE 2=PF2+EF2=m2+n2，当 = 时，PO 2=2PE22m 2+2mn+n2=2（m 2+n2），得 n=2mEOPH，AOEAHP， = ，AH=4OA=24，即 OH=18，m=9 在等腰 R
25、tPRH 中，PR=HR= PH=36，OR=RHOH=18，点 P3的坐标为（18，36）当点 F 落在 y 轴负半轴时，如图 6，P 与 A 重合时，在 RtPOG 中，OP= OG，又正方形 OGFE 中，OG=OE，OP= OE点 P4的坐标为（6，0）在图 6 的基础上，当正方形边长减小时，OEP 的其中两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 = （图 7）这一种情况如图 7，过 P 作 PRx 轴于点 R，设 PG=n在 RtOPG 中，PO 2=PG2+OG2=n2+m2，在 RtPEF 中，PE 2=PF2+FE2=（m+n ） 2+m2=2m2+2mn+n2当 = 时，PE 2=2PO22m 2+2mn+n2=2n2+2m2，n=2m，由于 NG=OG=m，则 PN=NG=m，OEPN，AOEANP， =1，即 AN=OA=6在等腰 RtONG 中，ON= m，12= m，m=6 ，在等腰 RtPRN 中，RN=PR=6，点 P5的坐标为（18，6）所以，OEP 的其中两边的比能为 ：1，点 P 的坐标是：P 1（0，6），P 2（6，18），P3（18，36），P 4（6，0），P 5（18，6）
