1、一元二次方程一、填空题1一元二次方程（1+3x）（x 3）=2x 2+1 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 2关于 x 的方程（m1）x 2+（m+1）x+3m+2=0 ，当 m 时为一元一次方程；当 m 时为一元二次方程3若（a+b ）（ a+b+2）=8，则 a+b= 4x 2+3x+ =（x + ） 2；x 2 +2= （x ） 25直角三角形的两直角边是 3：4，而斜边的长是 20cm，那么这个三角形的面积是 cm26若方程 x2+px+q=0 的两个根是2 和 3，则 p= ，q= 7若代数式 4x22x5 与 2x2+1 的值互为相反数，则 x 的
2、值是 8代数式 2x2+3x+7 的值为 12，则代数式 4x2+6x10= 9当 t 时，关于 x 的方程 x23x+t=0 可用公式法求解10若实数 a，b 满足 a2+abb2=0，则 = 二、选择题11下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）Aax 2+bx+c=0 Bx 2+2x=x21 C3（x+1） 2=2（x +1） D + 2=012若 2x+1 与 2x1 互为倒数，则实数 x 为（ ）A B1 C D13若 m 是关于 x 的方程 x2+nxm=0 的解，且 m 0，则 m+n 的值是（ ）A1 B0.5 C0.5 D 114关于 x 的方程 x2+mx+n=0
3、的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的是（ ）Am=0，n=0 Bm=0，n 0 Cm0，n=0 Dm0，n015关于 x 的一元二次方程 x2k=0 有实数根，则（ ）Ak 0 Bk0 Ck0 Dk016若方程 ax2+bx+c=0（ a0），a、b 、c 满足 a+b+c=0 和 ab+c=0，则方程的根是（ ）A1 ，0 B1，0 C1， 1 D无法确定三、解答题17（1 ）（x+4） 2=5（x+4）；（2）（x+1） 2=4x；（3）（x+3） 2=（12x） 2；（4）2x 210x=318已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 x29x+20=0 的一个根，求这个等腰三角形
4、的腰长19已知一元二次方程（m1）x 2+7mx+m2+3m4=0 有一个根为零，求 m 的值20已知方程 x22ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a 取何值时，方程有两个正根？（3）a 取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a 取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1一元二次方程（1+3x）（x 3）=2x 2+1 化为一般形式为： x 28x4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为： 8 ，常数项为： 4 【考点】一元二次方程的一般形式【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0，a 叫二次项系数，b 叫一次项
5、系数，c 叫常数项【解答】解：去括号得，x3+3x 29x=2x2+1，移项得，x 28x4=0，所以一般形式为 x28x4=0；二次项系数为 1；一次项系数为 8；常数项为4故答案为 x28x4=0，1，8 ，4【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a0，a ，b，c 为常数），a叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项2关于 x 的方程（m1）x 2+（m+1）x+3m+2=0 ，当 m =1 时为一元一次方程；当 m 1 时为一元二次方程【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义【专题】方程思想【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，
6、并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程是一元一次方程可以确定 m 的取值【解答】解：要使方程是一元一次方程，则 m1=0，m=1要使方程是一元二次方程，则 m10 ，m1故答案分别是：m=1 ；m 1【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定 m 的取值3若（a+b ）（ a+b+2）=8，则 a+b= 2 或4 【考点】换元法解一元二次方程【专题】换元法【分析】把原方程中的（a+b）代换成 y，即可得到关于 y 的方程 y2+2y8=0，求得 y 的值即为 a+b 的值【解答】解：把原方程中的 a+
7、b 换成 y，所以原方程变化为：y 2+2y8=0，解得 y=2 或 4，a+b=2 或 4【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观4x 2+3x+ =（x + ） 2；x 2 2 x +2=（ x ） 2【考点】完全平方式【专题】计算题【分析】（1）根据首项是 x 的平方及中间项 3x，利用中间项等于 x 与 乘积的 2 倍即可解答（2）根据首项与尾项分别是 x 与 的平方，那么中间项等于 x 与 乘积的
8、2 倍即可解答【解答】解：（1）首项是 x 的平方及中间项 3x，3x=2 x ，x2+3x+ = ，应填 ， （2）首项与尾项分别是 x 与 的平方，2 x 即为中间项x 22 x+2= ，故应填：2 ， 故答案为： ， ，2 ， 【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式5直角三角形的两直角边是 3：4，而斜边的长是 20cm，那么这个三角形的面积是 96 cm 2【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用【专题】几何图形问题【分析】根据直角三角形的两直角边是 3：4，设出两直角边的长分别是 3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可【解答】解：设两直角边分别是 3x
9、、4x ，根据勾股定理得：（3x） 2+（4x） 2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm故这个三角形的面积是 1216=96cm2【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式6若方程 x2+px+q=0 的两个根是2 和 3，则 p= 1 ，q= 6 【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系，分别求出 p、q 的值【解答】解：由题意知，x 1+x2=p，即2+3=p ，p=1；又 x1x2=q，即 23=q，q= 6【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2= ，x 1x2= 解答7若代
10、数式 4x22x5 与 2x2+1 的值互为相反数，则 x 的值是 1 或 【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得 x 的值【解答】解：代数式 4x22x5 与 2x2+1 的值互为相反数，4x 22x5+2x2+1=0，即（x1）（3x+2）=0 ，解得 x=1 或 【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法8代数式 2x2+3x+7 的值为 12，则代数式 4x2+6x10= 0 【考点】代数式求值【专题】整体思想【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解【解答】解：2x 2+3x+7=122x 2+3x
11、=1274x 2+6x10=2（2x 2+3x） 10=2（12 7） 10=0【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案9当 t 时，关于 x 的方程 x23x+t=0 可用公式法求解【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】关于 x 的方程 x23x+t=0 可用公式法求解，则=b 24ac0，即=3241t=94t0，解不等式即可【解答】解：关于 x 的方程 x23x+t=0 可用公式法求解，=b 24ac0，即=3 241t=94t0，t 故答案为 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a ，b，c 为常数
12、）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10若实数 a，b 满足 a2+abb2=0，则 = 【考点】解一元二次方程公式法；一元二次方程的解【专题】计算题【分析】把 b 看成常数，解关于 a 的一元二次方程，然后求出 的值【解答】解：a 2+abb2=0=b 2+4b2=5b2a= = b = 故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把 b 看成是常数，用求根公式解关于 a 的一元二次方程，然后求出 的值二、选择题11下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）Aax 2+bx+c=0 Bx 2+2x
13、=x21 C3（x+1） 2=2（x +1） D + 2=0【考点】一元二次方程的定义【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是 2；（3）只含有一个未知数由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：A、a=0 时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为 2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为 3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误故选 C【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高
14、次数是 2，这样的方程就是一元二次方程12若 2x+1 与 2x1 互为倒数，则实数 x 为（ ）A B1 C D【考点】解一元二次方程直接开平方法【分析】两个数互为倒数，即两数的积是 1，据此即可得到一个关于 x 的方程，从而求解【解答】解：根据 2x+1 与 2x1 互为倒数，列方程得（2x +1）（2x 1）=1 ；整理得 4x21=1，移项得 4x2=2，系数化为 1 得 x2= ；开方得 x= 故选 C【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a 0）；ax 2=b（a，b 同号且 a0）；（x+a） 2=b（b 0）；a（ x+b） 2=c（a ，c 同号且 a0
15、）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”本题开方后要注意分母有理化13若 m 是关于 x 的方程 x2+nxm=0 的解，且 m 0，则 m+n 的值是（ ）A1 B0.5 C0.5 D 1【考点】一元二次方程的解【专题】计算题【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将 m 代入原方程即可求得 m+n 的值【解答】解：把 x=m 代入方程 x2+nxm=0 得 m2+mnm=0，又m0，方程两边同除以 m，可得 m+n=1；故本题选 A【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数
16、不得为零14关于 x 的方程 x2+mx+n=0 的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的是（ ）Am=0，n=0 Bm=0，n 0 Cm0，n=0 Dm0，n0【考点】解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解【分析】代入方程的解求出 n 的值，再用因式分解法确定 m 的取值范围【解答】解：方程有一个根是 0，即把 x=0 代入方程，方程成立得到 n=0；则方程变成 x2+mx=0，即 x（x+m）=0则方程的根是 0 或m，因为两根中只有一根等于 0，则得到m0 即 m0方程 x2+mx+n=0 的两根中只有一个等于 0，正确的条件是 m0，n=0 故选 C【点评】本题主要考查了方程的
17、解的定义，以及因式分解法解一元二次方程15关于 x 的一元二次方程 x2k=0 有实数根，则（ ）Ak 0 Bk0 Ck0 Dk0【考点】解一元二次方程直接开平方法【分析】根据直接开平方法的步骤得出 x2=k，再根据非负数的性质得出 k0 即可【解答】解：x 2k=0，x 2=k，一元二次方程 x2k=0 有实数根，则 k0，故选：C【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a0 ）；ax 2=b（a，b 同号且 a0）；（x+a） 2=b（b0）；a（ x+b） 2=c（a ，c 同号且 a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系
18、数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”16若方程 ax2+bx+c=0（ a0），a、b 、c 满足 a+b+c=0 和 ab+c=0，则方程的根是（ ）A1 ，0 B1，0 C1， 1 D无法确定【考点】一元二次方程的解【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等【解答】解：在这个式子中，如果把 x=1 代入方程，左边就变成 a+b+c，又由已知a+b+c=0 可知：当 x=1 时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是 1，同理可以判断方程必有一根是1则方程的根是 1， 1故选 C【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数
19、是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等三、解答题17（1 ）（x+4） 2=5（x+4）；（2）（x+1） 2=4x；（3）（x+3） 2=（12x） 2；（4）2x 210x=3【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】计算题【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解【解答】解：（1） （x+ 4） 2=5（x +4），（x+4） 25（x+4）=0，（x+4）（x +45）=0，x 1=4，x 2=1（2） （x+1） 2=4x，x2+2x+14x=0，（x1） 2=0，x 1=x
20、2=1（3） （x+3） 2（12x） 2=0，（x+3+12x）（x+31+2x）=0，（4 x）（3x+2）=0，x 1=4，x 2= （4） 2x210x=3，2x210x3=0，x= ，x1= ，x 2= 【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题18已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 x29x+20=0 的一个根，求这个等腰三角形的腰长【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到 x=4 时，4，4，8 的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为 5【解答】解：x 29x+20=0，解得 x1
21、=4，x 2=5，等腰三角形底边长为 8，x=4 时，4，4，8 的三条线段不能组成三角形，等腰三角形腰长为 5【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去19已知一元二次方程（m1）x 2+7mx+m2+3m4=0 有一个根为零，求 m 的值【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程因式分解法【分析】由于一元二次方程（m 1）x 2+7mx+m2+3m4=0 有一个根为零，那么把 x=0 代入方程即可得到关于 m 的方程，解这个方程即可求出 m 的值【解答】解：一元二次方程（m 1）x
22、2+7mx+m2+3m4=0 有一个根为零，把 x=0 代入方程中得m2+3m4=0，m 1=4，m 2=1由于在一元二次方程中 m10 ，故 m1，m=4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题20已知方程 x22ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a 取何值时，方程有两个正根？（3）a 取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a 取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式【专题】计算题【分析】（1）根据0 恒成立即可证明（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求
23、出 a 的取值（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答（4）令 x=0 代入方程求解即可【解答】解：（1）方程 x22ax+a=4，可化为：x 22ax+a4=0，=4a 24（a4）=4 +150 恒成立，故方程必有相异实根（2）若方程有两个正根 x1，x 2，则 x1+x2=2a0，x 1x2=a40，解得：a 4（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a0， x1x2=a40，解得：a0（4）若方程有一根为零，把 x=0 代入方程 x22ax+a=4，得：a=4【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记 x1，x 2 是方程 x2+px+q=0 的两根时，x 1+x2=p，x 1x2=q
