1、连云港市 2017 届高三年级模拟考试数学第卷（共 70 分）一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,江答案填在答题纸上)1.已知集合 , ,则集合 中元素的个数为 21，A70，BBA2.设 , ， ( 为虚数单位)，则 的值为 aRbbiaib3.在平面直角坐标系 中,双曲线 的离心率是 xOy1342yx4.现有三张识字卡片,分别写有“中” 、 “国” 、 “梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 5.如图是一个算法的流程图，则输出的 的值为 k6.已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 7.已知实数 ， 满足 则 的取值范围是 xy,2,1xxy
2、8.若函数 的图象过点 ，则函数 在 上)sin(2)(f )0)3,0()(xf,0的单调减区间是 9.在公比为 且各项均为正数的等比数列 中， 为 的前 项和.若 ，且qnanSa21qa，则 的值为 25S10.如图，在正三棱柱 中，已知 ，点 在棱 上，则三棱1CBA31AP1C锥 的体积为 1ABP11.如图，已知正方形 的边长为 2， 平行于 轴，顶点 ， 和 分别在函数ABCDBCxABC， 和 的图象上，则实数 的值为 xyalog31xyalog2)1(log3axya12.已知对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范),5()1,x 0)2(2axxa围是 13.在平面直角坐
3、标系 中，圆 ： .若圆 存在以 为中点的OyC3)()(22myCG弦 ，且 ，则实数 的取值范围是 ABG2m14.已知 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， ，当CABabc2c取得最大值时， 的值为 ab第卷（共 90 分）二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.如图，在 中，已知点 在边 上， ， ，ABCDABD354cosA， .135cosACB（1）求 的值；Bcos（2）求 的长 .CD16.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，点 在棱 上（异于点 ，ACPABDEPC） ，平面 与棱 交于点 .EF（1
4、）求证： ；EFAB/（2）若平面 平面 ，求证： .PDCEFA17. 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ，xOyC1342yxA，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（点 在 轴上方）.BFlPQ（1）若 ，求直线 的方程；FPQ2l（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 ？若存在，AB1k221k求出 的值；若不存在，请说明理由 .18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 的圆心与矩形 对角线的OABCD交点重合，且圆与矩形上下两边相切（ 为上切点） ，与左右两边相交（ ， 为其中两EFG个交点） ，图中阴影部分为不透光区
5、域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1 ，且m，设 ，透光区域的面积为 .21ADBEOFS（1）求 关于 的函数关系式，并求出定义域；S（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度 .AB19. 已知两个无穷数列 和 的前 项和分别为 ， ， ， ，对任意nabnnST1a42S的 ，都有 .NnS213（1）求数列 的通项公式；n（2）若 为等差数列，对任意的 ，都有 .证明： ；bNnnTSnba（3）若 为等比数列， ， ，求满足 的 值.n1ab2 )(2Nkbn20. 已知函数 ， .)0(ln)(mxxf l(xg（1）当 时，求函数
6、的单调区间；mf（2）设函数 ， .若函数 的最小值是 ，求2)()(xgfxh0)(xhy23的值；（3）若函数 ， 的定义域都是 ，对于函数 的图象上的任意一点 ，)(xf ,1e)(xf A在函数 的图象上都存在一点 ，使得 ，其中 是自然对数的底数， 为坐gBOBAeO标原点，求 的取值范围.m21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 的弦 ， 交于点 ，且 为弧 的中点，点 在弧 上，若OABMNCAMNDBM，求 的度数.
7、DCN3B.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，若 ，求矩阵 的特征值.daA234821AAC.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点 ，点 在直线 ： 上，当),(Bl )20(sinco线段 最短时，求点 的极坐标 .ABD.选修 4-5：不等式选讲已知 ， ， 为正实数，且 ，求证： .abc233cbaa3cba请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段xOy)0,1(F1xnyM的中垂线与动直线 的交点为 .MFnP（1）求动点 的轨迹 的方程
8、；PE（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： 的大小为定值.MABAMB23.选修 4-5：不等式选讲已知集合 ，对于集合 的两个非空子集 ， ，若,.21nU)2,(NUAB，则称 为集合 的一组“互斥子集”. 记集合 的所有“互斥子集”的BA)BA组数为 （视 与 为同一组“互斥子集” ）.)(f,(（1）写出 ， ， 的值；2)3f4f（2）求 .)(nf三师 2017 届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试一、填空题1.5 2. 1 3. 4. 5.6 6. (或 5.2) 7. (或276152632,1)3xy8. (或 ) 9. 10. 11. 12. (或
9、127,(,21534925,1)5a13. (或 ) 14. ,m2二、解答题15.解:(1)在 中, , ，ABC54cos),0(A所以 .21sin3)12同理可得, .3iAB所以 )(cosC)cos(ACBcsins.6413512(2)在 中,由正弦定理得, . ABCBAsin20135AC又 ,所以 .D3541在 中,由余弦定理得 , B BDCDcos2264135212.916. 解:(1) 因为 是矩形，所以 ABCDCDAB/又因为 平面 ， 平面 ，PP所以 平面 /又因为 平面 ，平面 平面 ，EFEF所以 AB/（2）因为 是矩形，所以 CDADB又因为平面
10、 平面 ，平面 平面 ，PPADBC平面 ，所以 平面 AB又 平面 ，所以 FF又由（1）知 ，所以 E/EA17. 解:(1) 因为 ， ，所以 ，所以 的坐标为（1,0） ，42a32b12bacF设 ， ，直线 的方程为 ，),(1yxP),(Qlmyx代入椭圆方程，得 ，0962ym则 ， 21346y22341若 ，则 ， PFQ0622 m解得 ，故直线 的方程为 52ml 5yx（2）由（1）知， ， ，221346y21349所以 ，)(3491221y所以 ，212yxk)3(12my31)(21y故存在常数 ，使得 321k18. 解:(1) 过点 作 于点 ，则 ，OF
11、GHEOFH所以 ，sincoFH所以 OEFOFHSS扇 形4)21(cosin2，因为 ，所以 ，所以定义域为 1ADBsi)2,6（2）矩形窗面的面积为 sin4i2ABDS矩 形则透光区域与矩形窗面的面积比值为 i2cosicn设 ， sin2co)(f 26则 2icos1f23sincoi2ii，2sin)1(co因为 ，所以 ，所以 ，故 ，621sin02sin0)(f所以函数 在 上单调减)(f),所以当 时， 有最大值 ，此时 6(f436)(1sin2mAB答：（1） 关于 的函数关系式为 ，定义域为 ；SsinS,6（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时， 的长度为
12、1 19. 解:(1) 由 ，得 ，nna213 nnnaS21)(即 ，所以 nna21 nna12由 ， ，可知 a4S3所以数列 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列n故 的通项公式为 na（2）证法一：设数列 的公差为 ，则 ，bddnbTn2)1(1由（1）知， 2Sn因为 ，所以 ，即 恒成立，T2)1(10)(1所以 即,021bd,1d又由 ，得 ，TS所以 dnban)1(2 1)2(bdn1)2(bd0所以 ，得证 证法二：设 的公差为 ，假设存在自然数 ，使得 ，n 00na则 ，即 ，2)1(01adb)1(01)2(11dnba因为 ，所以 所以 ，21)(nnS
13、Tn)2()(12因为 ，所以存在 ，当 时， 恒成立02dNn0 0n0nST这与“对任意的 ，都有 ”矛盾！TS所以 ，得证nba（3）由（1）知， 因为 为等比数列，且 ， ，2nnb1b32所以 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列n所以 ， b2nT则 ，132Sann213n2136n因为 ，所以 ，所以 Nn0262n32nSbTa而 ，所以 ，即 （*） 12ka1nSbTa0131n当 时， （ *）式成立；,n当 时，设 ，3)(21fn则 ，f)1( 0)3(2)13(121 nnn所以 )(20ff故满足条件的 的值为 1 和 2n20. 解:(1) 当 时， ， m
14、xxfln)(1ln)(2xf因为 在 上单调增，且 ，)(xf),00)1(f所以当 时， ；当 时， 1(xfx)(xf所以函数 的单调增区间是 )f ),(（2） ，则 ，令 得 ，2(xmh 22xmxh 0)(xh2m当 时， ，函数 在 上单调减；0x0)()(),0当 时， ，函数 在 上单调增2m)(xh)(xh),2m所以 2)()(in当 ，即 时，)12(m94函数 的最小值 ，)(xhy )12()2( mh 231)2(即 ，解得 或 （舍） ，所以 ；092617179当 ，即 时，2)1(0m4函数 的最小值 ，解得 （舍） )(xhy 23)12()(mh 54
15、m综上所述， 的值为 1m（3）由题意知， ， xkOAln2xkOBl考虑函数 ，因为 在 上恒成立，xyln23y,1e所以函数 在 上单调增，故 ,1e,kOB所以 ，即 在 上恒成立，,2kOAxmln2,e即 在 上恒成立)l(lnex,1设 ，则 在 上恒成立，pl2)(0ln2)(xp,e所以 在 上单调减，所以 x,1e1)(m设 ，)ln()2q则 在 上恒成立，xex0ln21(e,1所以 在 上单调增，所以 )(,1qm)综上所述， 的取值范围为 m,2e21.解：A连结 ， AND因为 为弧 的中点，所以 MADNM而 ，B所以 ，B即 ACN又因为 ，ADBCN3所以
16、 ，180故 45B因为 ，213da46da所以 解得 所以 4286123A所以矩阵 的特征多项式为 ，A)(f 436)1(22令 ，解得矩阵 的特征值为 ， 0)(f 14C以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，x则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 )2,(A)2,0(l 0yx最短时，点 为直线 与直线 的交点，Byx解 得 所以点 的直角坐标为（-1,1） 0yx1B所以点 的极坐标为 )43,2(D因为 ，所以 ，33 cbacba3ac所以 ，3当且仅当 时，取“ ”22. 解:(1) 因为直线 与 垂直，所以 为点 到直线 的距离ny1xMP1x连结
17、，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 PFMFnyPF所以点 的轨迹是抛物线焦点为 ，准线为 )0,(x所以曲线 的方程为 Ey42（2）由题意，过点 的切线斜率存在，设切线方程为 ，),1(n )1(xkny联立 得 ，,42xyk042nky所以 ，即 （*） ，0)(16n12因为 ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为 ， ，2n 1k2因为 ，所以 ，为定值121k90AMB23. 解:(1) ， ，)(f6)3(f 5)4(f（2）解法一：设集合 中有 个元素， k1,.32n则与集合 互斥的非空子集有 个A12n于是 )(1)(knnkCf 11nkknC因为 ，nk210002k nkn 123)(nn，nknnk01 所以 )123()f )123()(n解法二：任意一个元素只能在集合 ， ， 之一中，ABBACU则这 个元素在集合 ， ， 中，共有 种；nn其中 为空集的种数为 ， 为空集的种数为 ，An22所以 ， 均为非空子集的种数为 ，B13n又 与 为同一组“互斥子集” ，),(),(所以 )123nf
