1、第23节 正方形,第五章 四边形,目录,contents,课前预习,考点梳理,课堂精讲,广东中考,考点1,考点2,考点3,考点4,课前预习,目录,contents,1（2016无锡一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角相等,B,2. （2016哈尔滨模拟）如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则AFB的度数为（ ） A45 B55 C60 D75,C,4（2016兰州）ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且ACBD，请添加一个条件：_，使得ABCD为正方形.,3.如图，正方形ABCD中，E点在BC上
2、，AE平分BAC若BE= cm，则AEC面积为 cm2,BAD=90,5.如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得到CFE （1）求证：四边形ADCF是平行四边形 （2）当ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是正方形？请说明理由,分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CDAB，即ADC=90，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形进而求出CD=AD即可得出答案,解答：（1）证明： CFE是由ADE绕点E旋转180得到， 点A、E、C三点共线，
3、点D、E、F三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形 （2）解：当ACB=90，AC=BC时，四边形ADCF是正方形理由如下：在ABC中，AC=BC，AD=BD，CDAB，即ADC=90 而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形， 四边形ADCF是矩形又ACB=90， ，故四边形ADCF是正方形,考点梳理,目录,contents,1.定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质：正方形具有 、 、的一切性质. 3.判别方法： 四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形；的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线 的四边形是正方形.,平行四边形,矩形,菱形,有一个
4、是直角,互相垂直平分且相等,4.平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系,课堂精讲,目录,contents,1（2016郯城模拟）在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则AEC=_,【分析】先连接AC， 根据正方形的性质， 得出AC=EC，进而得到E=CAF，再根据平行线的性质，得出E=DAF，最后根据CAD=45，求得AEC的度数,【解答】解：连接AC，则正方形ABCD中，AC=BD CE=BD AC=EC E=CAF ADEC E=DAF CAF=DAF CAD=45 CAF=DAF=22.5 AEC=22.5 故答案为：22.5,2.（2016漳州）如图，正方形AB
5、CO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若D=60，BC=2，则点D的坐标是_.,【分析】过点D作DGBC于点G， 根据四边形BDCE是菱形可知BD= CD，再由BC=2，D=60可得出BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可得出结论,【解答】解：过点D作DGBC于点G， 四边形BDCE是菱形， BD=CD BC=2，D=60， BCD是等边三角形， BD=BC=CD=2， CG=1，GD=CDsin60=2 = ， D（2+ ，1） 故答案为：（2+ ，1）,3.（2015抚顺）如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点
6、A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1= a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2= A1B2，依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 ,【解答】解：在RtA1BB1中，由勾股定理可知；, 正方形AnBnCnDn的面积= 故答案为： ,即正方形A2B2C2D2的面积=,即正方形A1B1C1D1的面积= ； 在RtA2B1B2中，由勾股定理可知：,4.（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作E
7、HAB于H （1）求证：HF=AP； （2）若正方形ABCD的边长为12， AP=4，求线段EQ的长.,【分析】（1）先根据EQBO，EHAB得出EQN=BHM=90根据EMQ=BMH得出EMQBMH，故QEM=HBM由ASA定理得出APBHFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ= BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQtan FBQ的长，由（1）知，APBHFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EFQF即可得出结论,【解答】（1）证明：EQBO，EHAB， EQN=BHM=90 EMQ=BMH， EMQBMH， QEM=HBM 在RtAPB与
8、RtHFE中，APBHFE， HF=AP .,（2）由勾股定理得BP= =4 ， EF是BP的垂直平分线， BQ= BP=2 ， QF=BQtan FBQ=BQtan ABP， =2 = . 由（1）知，APBHFE， EF=BP=4 ， EQ=EFQF=4 - = .,5.如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，DFAB，交BC于点F，当ABC满足条件 时，四边形BEDF 是正方形,【分析】由题意知，四边形DEBF 是平行四边形，再通过证明一组邻 边相等，可知四边形DEBF是菱形， 进而得出ABC=90时，四边形BEDF是正方形,【解答】解：当ABC满足条件ABC=90，四边形
9、DEBF是正方形理由：DEBC，DFAB， 四边形DEBF是平行四边形 BD是ABC的平分线，EBD=FBD， 又DEBC，FBD=EDB，则EBD=EDB，BE=DE 故平行四边形DEBF是菱形， 当ABC=90时，菱形DEBF是正方形 故答案为：ABC=90,6（2016南京二模）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DEAC于点E，DFBC于点F （1）求证：DE=DF； （2）当CD与AB满足怎样的数 量关系时，四边形CEDF为正 方形？请说明理由,【分析】（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出ACD=BCD，再由EDC=FDC=90，可证得ACDBCD
10、，得出CE=CF即可； （2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形,【解答】（1）证明：CD垂直平分线AB， AC=CB ABC是等腰三角形， CDAB， ACD=BCD DEAC，DFBC， DEC=DFC=90 EDC=FDC， 在DEC与DFC中， ， DECDFC（ASA）， DE=DF；,【解答】（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形理由如下： AD=BD，AB=2CD， AD=BD=CD ACD=45，DCB=45， ACB=ACD+BCD=90， 四边形DECF是矩形 又DE=DF， 四边形CEDF是正方形,7（2016抚顺模拟
11、）如图，在ABC中，BAC=90，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于F，连接CF （1）求证：AD=AF； （2）如果AB=AC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论,【分析】（1）由E是AD的中点，AFBC，易证得AEF DEB，即可得AD=BD，又由在ABC中，BAC= 90，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF .（2）由AF=BD=DC，AFBC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得ADBC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形,【解答】（
12、1）证明：AFBC， EAF=EDB， E是AD的中点， AE=DE， 在AEF和DEB中， AEFDEB（ASA）， AF=BD， 在ABC中，BAC=90，AD是中线， AD=BD=DC=BC，AD=AF；,【解答】 （2）解：四边形ADCF是正方形 AF=BD=DC，AFBC， 四边形ADCF是平行四边形， AB=AC，AD是中线， ADBC， AD=AF， 四边形ADCF是正方形,目录,contents,广东中考,8.（2016广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ） A B2 C +1 D2 +1,B,解析：解：正方形ABCD的面
13、积为1， BC=CD=1，BCD=90， E、F分别是BC、CD的中点， CE= BC= ，CF= CD= ， CE=CF， CEF是等腰直角三角形， EF= CE= ， 正方形EFGH的周长=4EF=4 =2 ； 故选：B,9. （2010广东）如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去，则正方形 A4B4C4D4的面积为 ,解析：最初边长为1，面积1，延长一次 为 ，面积5，再延长为51=5，面积52=25， 第二次为5 ，面积53=125， 以此类推，当N=4时，正方
14、形A4B4C4D4的面积为：54=625,625,10.（2015广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF求证：BE=AF,解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，在ABE和ADF中，ABEADF（SAS）， BE=AF,11（2015广东）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG （1）求证：ABGAFG； （2）求BG的长,解析：.解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD， D=B=BCD=90， 将ADE沿AE对折至AFE， AD=AF
15、，DE=EF，D=AFE=90， AB=AF，B=AFG=90， 又AG=AG，,解析：在RtABG和RtAFG中， ， ABGAFG（HL）； （2）ABGAFG， BG=FG， 设BG=FG=x，则GC=6x， E为CD的中点， CE=EF=DE=3， EG=3+x， 在RtCEG中， 32+（6x）2=（3+x）2，解得x=2， BG=2,12. （2007广东）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与BCF相应的EGH在运动过程中始终保持EGHBCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上 （1）若BE=a，求DH的长； （2）当E点在BC边上的什么位置时， DHE的面积取得最小值？并求该三 角形面积的最小值,解析：解：（1）连接FH，则FHBE且FH=BE，在RtDFH中，DF=3aa=2a，FH=a，DFH=90，所以，DH= ；,（2）设BE=x，DHE的面积为y， 依题意y=SCDE+S梯形CDHGSEGH = = = 当x= a，即BE= BC，E是BC的中点时，y取最小值，DHE的面积y的最小值为 ,谢 谢 观 看 ！,
