1、由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费第 28 章 锐角三角函数 专项训练专训 1 求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦 值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比直接用锐角三角函数的定义1如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD5，AC6，(第 1 题)则 tan B 的值是( )A. B.45 35C. D.34 432如图，在ABC 中， ADBC ，垂足是 D，若 BC14，AD
2、12，tan BAD ，求 sin C 的值34(第 2 题)3如图，直线 y x 与 x 轴交于点 A，与直线 y2x 交于点 B.12 32(1)求点 B 的坐标；(2)求 sinBAO 的值由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4若A 为锐角，且 sin A ，则 cos A( )32A1 B. C. D.32 22 125若 为锐角，且 cos ，则 sin(90) ( )1213A. B. C. D.513 1213 512 1256若 为锐角，且 sin2cos 2301，则 _巧设参数7
3、在 RtABC 中，C 90，若 sin A ，则 tan B 的值为( )45A. B. C. D.43 34 35 458已知，在ABC 中， A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且a，b，c 满足 b2(ca)(ca) 若 5b4c0，求 sin Asin B 的值 利用等角来替换9如图，已知 RtABC 中，ACB90 ，CD 是斜边 AB 的中线，过点A 作 AECD，AE 分别与 CD，CB 相交于点 H，E 且 AH2CH ，求 sin B 的值(第 9 题)由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费专训 2 同角或互余两角的三角函
4、数关系的应用名师点金：1同角三角函数关系：sin 2 cos 21，tan .sin cos 2互余两角的三角函数关系：sin cos(90)， cos sin(90)，tan tan(90)1.同角间的三角函数的应用1已知 4，求 的值sin Acos A sin A 3cos A4sin A cos A2若 为锐角，sin cos ，求 sin cos 的值22余角间的三角函数的应用3若 45 和 45 均为锐角，则下列关系式正确的是( )Asin(45 ) sin(45)Bsin 2(45) cos 2(45) 1Csin 2(45)sin 2(45)1Dcos 2(45)sin 2(4
5、5)14计算 tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89的值同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5已知 sin cos (为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为1225sin 和 cos .由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费6已知 为锐角且 sin 是方程 2x27x30 的一个根，求的值1 2sin cos 专训 3 用三角函数解与圆有关问题名师点金：用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出 现， 应高度重视一、选择题1如图，已知ABC 的外接圆 O 的半径为 3，
6、AC4，则 sin B( )A. B. C. D.13 34 45 23(第 1 题)(第 2 题)2如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C作 CD AB 交 AB 于 D，已知 cosACD ，BC4，则 AC 的长为( )35A1 B. C3 D.203 1633在ABC 中，ABAC5，sin B .O 过 B，C 两点，且O 半径45r ，则 OA 的长为( )10A3 或 5 B5 C4 或 5 D44如图，在半径为 6 cm 的O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧BC 上一点，且 D30.下列四个结论：由莲山课件提供 http:/
7、 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费(第 4 题)OABC；BC6 cm；3sin AOB ；32四边形 ABOC 是菱形其中正确结论的序号是( )A B C D二、填空题5如图，AB 是O 的直径，AB15，AC9，则 tanADC_.(第 5 题)(第 6 题)6如图，直线 MN 与O 相切于点 M，MEEF 且 EFMN，则 cos E_.7如图，在半径为 5 的O 中，弦 AB6，点 C 是优弧 AB 上的一点(不与 A，B 重合) ，则 cos C 的值为_(第 7 题)(第 8 题)8如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是直角梯形，BCOA，P 分别与 OA
8、，OC，BC 相切于点 E，D，B，与 AB 交于点 F，已知 A(2，0)，B(1，2) ，则 tanFDE_.由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费三、解答题9如图，RtABC 中，C90 ，AC ，tan B ，半径为 2 的C512分别交 AC，BC 于点 D， E，得到.(1)求证：AB 为C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积(第 9 题)10如图，AB 是O 的直径，ABT45，AT AB.(1)求证：AT 是O 的切线；(2)连接 OT 交O 于点 C，连接 AC，求 tanTAC 的值(第 10 题)11.如图，AB 是O 的直径
9、，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DE AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证：DCDE ；(2)若 tanCAB ，AB3，求 BD 的长12(第 11 题)12如图，以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC，BC 的交点分别为 D，E，且.(1)试判断ABC 的形状，并说明理由；由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费(2)已知半圆的半径为 5，BC12，求 sinABD 的值(第 12 题)13如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 E，点O 在线段 AE 上，O 过 B
10、，D 两点，若 OC5，OB 3，且 cosBOE .35求证：CB 是 O 的切线(第 13 题)答案专 训 11C2解：ADBC，tan BAD .BDADtan BAD ，AD12， ，BD9.34 34 BD12CDBC BD149 5，由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费在 RtADC 中，AC 13，AD2 CD2 122 52sin C .ADAC 12133解：(1)解方程组 得y 12x 32，y 2x， ) x 1，y 2， )点 B 的坐标为(1，2)(第 3 题)(2)如图，过点 B 作 BCx 轴于点 C，由 x 0，解
11、得 x3，12 32则 A( 3，0)，OA3，AB 2 ，AC2 BC2 5sin BAC ，BCAB 225 55即 sin BAO .554D 5.B 6.30 7.B8解：b 2(ca)(c a)，b 2c 2a 2，即 c2a 2b 2，ABC 是直角三角形5b4c0 ，5b4c ，则 ，设 b4k，c 5k ，那么 a3k.bc 45sin Asin B .3k5k 4k5k 759解：CD 是斜边 AB 的中线，CDADBD.DCB B.ACDDCB 90 ， ACDCAH90，由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费DCB CAHB.
12、在 RtACH 中，AH2CH，AC CH.sin Bsin CAH .5CH5CH 55专 训 21分析：本题可利用 求解，在原式的分子、分母上同时除以 cos A，sin Acos A把原式化为关于 的代数式，再整体代入求解即可也可直接由 4，sin Acos A sin Acos A得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值解：(方法 1)原式 .（ sin A 3cos A） cos A（ 4sin A cos A） cos Asin Acos A 34sin Acos A 1 4，原式 .sin Acos A 4 344 1 117(方法 2) 4，sin A4
13、cos A.sin Acos A原式 .4cos A 3cos A44cos A cos A cos A17cos A 1172分析：要求 sin cos 的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解解：sin cos ，(sin cos ) 2 ，22 12即 sin2cos 22sin cos .1212sin cos ，即 2sin cos .12 12由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费(sin cos ) 2sin 2cos 22sin cos 1 .12 32又 为锐角，sin cos 0.sin cos .623
14、C 点拨：(45 )(45)90，sin (45)cos (45) ，sin2(45)sin 2(45) cos 2(45)sin 2(45) 1.4解：tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89(tan 1tan 89)(tan 2tan 88)(tan 44tan 46)tan 451.点拨：互余的两角的正切值的积为 1，即若 90，则 tan tan 1.5解：sin 2cos 21，sin cos ，1225(sin cos ) 2sin 2cos 22sin cos 12 .1225 4925 为锐角，sin cos 0.sin cos .75又sin cos ， 122
15、5以 sin ，cos 为根的一元二次方程为 x2 x 0.75 1225点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式 sin2cos 21 与完全平方公式的综合运用；(2) 若 x1x 2 p，x 1x2q，则以 x1，x 2 为两根的一元二次方程为x2pxq06解：sin 是方程 2x27x30 的一个根，由求根公式，得sin . （ 7） （ 7） 2 42322 754sin 或 sin 3(不符合题意，舍去)12sin 2cos 21，cos 21 .(12)2 34又cos 0 ，cos .32由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 1 2s
16、in cos sin2 cos2 2sin cos |sin cos | .（ sin cos ） 2 |12 32| 3 12专 训 3一、1.D2D 点拨：AB 为直径，ACB90. 又CD AB， B ACD. cos B ， AB . AC .BCAB 35 203 AB2 BC2 1633A 4.B二、5. 6. 7. 8.34 12 45 12三、(第 9 题)9(1)证明： 如图，过点 C 作 CFAB 于点 F，在 RtABC 中，tan B ，BC 2AC2 .AB 5，CACBC 12 5 AC2 BC2 （ 5） 2 （ 25） 2F 2.AB 为C 的切线ACBCAB
17、5255(2)解：S 阴影 S ABC S 扇形CDE ACBC 2 5 .12 nr2360 12 5 5 902236010(1)证明： AB AT，ABTATB45，BAT90，即AT 为 O 的切线(2)解：如图，过点 C 作 CDAB 于 D，则TACACD，tan TOA 2，设 ODx，则ATAO CDOD由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费CD2x，OC xOA.ADAOOD( 1)x ，tan TACtan 5 5ACD .ADCD （ 5 1） x2x 5 12(第 10 题)(第 11 题)11(1)证明： 连接 OC，如图
18、，CD 是O 的切线，OCD90 ，ACO DCE90.又ED AD，EDA90，EADE90.OC OA，ACOEAD，故DCEE ，DCDE.(2)解：设 BDx，则 ADABBD3x，OD OBBD1.5x.在RtEAD 中， tan CAB ，ED AD (3x)由(1) 知，12 12 12DC (3x)在 RtOCD 中，OC 2CD 2DO 2，则121.52 (1.5x) 2，解得 x13(舍去 )，x 21，故 BD1.12（ 3 x） 2 12解：(1) ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE，如图，DAEBAE，即 AE 平分BAC.AB 为直径，AEB90，AEBC
19、 ，ABC 为等腰三角形(2)ABC 为等腰三角形，AEBC，BECE BC 126.12 12在 RtABE 中，AB10，BE6，AE 8.102 62AB 为直径，ADB90，由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费S ABC AEBC BDAC，BD .12 12 81210 485在 RtABD 中，AB10，BD ，485AD ，sin ABD .AB2 BD2145 ADAB 14510 725(第 12 题)(第 13 题)13证明：如图，连接 OD，可得 OBOD.ABAD，AE 垂直平分 BD.在 RtBOE 中，OB3，cos BOE ，OE .35 95CEOC OE .165根据勾股定理得 BE .BO2 OE2125在 RtCEB 中，BC 4.CE2 BE2OB3，BC 4，OC 5，OB 2BC 2OC 2，OBC90，即 BCOB，CB 为O 的切线
