1、12016 年苏科新版九年级数学上册同步训练：2.5 直线与圆的位置关系一、选择题（共 3 小题）1如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG若 OGDG ，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ）ACD+DF=4 BCD DF=2 3 CBC +AB=2 +4 DBCAB=22若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ）A B2 2 C2 D 23将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 30，得正方形
2、 AB1C1D1，B 1C1 交 CD 于点 E，AB= ，则四边形 AB1ED 的内切圆半径为（ ）A B C D二、填空题（共 4 小题）4边长为 1 的正三角形的内切圆半径为 5如图，ABC 的内心在 x 轴上，点 B 的坐标是（2， 0），点 C 的坐标是（0，2），点 A 的坐标是（3 ，b ），反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A，则 k= 26一般地，如果在一次实验中，结果落在区域 D 中每一个点都是等可能的，用 A 表示“实验结果落在 D中的某个小区域 M 中” 这个事件，那么事件 A 发生的概率 PA= 如图，现在等边ABC 内射入一个点，则该点落在ABC 内切圆中的概
3、率是 7如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 三、解答题（共 10 小题）8如图，O 是ABC 的内心，BO 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D，连接 DC，DA ，OA ，OC，四边形 OADC 为平行四边形（1）求证：BOCCDA；（2）若 AB=2，求阴影部分的面积39如图，AD 是O 的切线，切点为 A，AB 是O 的弦过点 B 作 BCAD，交O 于点 C，连接AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且
4、BCP= ACD （1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB=9，BC=6 求 PC 的长10如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线， E 是O 上一点，D 是 AM 上一点，连接DE 并延长交 BN 于点 C，且 ODBE，OFBN（1）求证：DE 与O 相切；（2）求证：OF= CD11如图，AB 是O 直径，D 为O 上一点，AT 平分BAD 交O 于点 T，过 T 作 AD 的垂线交 AD的延长线于点 C（1）求证：CT 为O 的切线；（2）若O 半径为 2，CT= ，求 AD 的长12如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2
5、的圆与 y 轴交于点 A，点 P（4，2）是O外一点，连接 AP，直线 PB 与O 相切于点 B，交 x 轴于点 C（1）证明 PA 是O 的切线；4（2）求点 B 的坐标13如图，ABC 内接于O，AB 是直径，O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OFBC 交 AC 于点E，交 PC 于点 F，连接 AF（1）判断 AF 与O 的位置关系并说明理由；（2）若O 的半径为 4，AF=3，求 AC 的长14如图，AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，D 为 O 上的一点，CD=CB，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若 BD 的弦心距 OF=
6、1，ABD=30，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）15如图，AB 是O 的直径，AF 是O 切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD= ，BE=2 求证：（1）四边形 FADC 是菱形；（2）FC 是O 的切线516如图 1，ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，ODCA 于点 D，OE CB 于点 E，以 O 为圆心，OD 为半径作O（1）求证：O 与 CB 相切于点 E；（2）如图 2，若O 过点 H，且 AC=5，AB=6 ，连接 EH，求BHE 的面积和 tanBHE 的值17如图，O 的直径 AB=6，AD、B
7、C 是O 的两条切线，AD=2，BC= （1）求 OD、OC 的长；（2）求证：DOCOBC；（3）求证：CD 是O 切线62016 年苏科新版九年级数学上册同步训练：2.5 直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一、选择题（共 3 小题）1如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG若 OGDG ，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ）ACD+DF=4 BCD DF=2 3 CBC +AB=2 +4 DBCAB=2【考点】三角形的内
8、切圆与内心；翻折变换（折叠问题）【专题】压轴题【分析】设O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N，证明OMGGCD ，得到OM=GC=1，CD=GM=BCBM GC=BC2设 AB=a，BC=b，AC=c，O 的半径为 r，O 是 RtABC 的内切圆可得 r= （a+bc），所以 c=a+b2在 RtABC 中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出 a，b 的值，所以 BC+AB=2 +4再设 DF=x，在 RtONF 中， FN= ，OF=x，ON= ，由勾股定理可得 ，解得 x=4 ，从而得到 CDDF= ，CD+DF= 即可解答【解答】解：如图，设O 与
9、BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N，7将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG，OG=DG，OGDG，MGO+DGC=90，MOG+MGO=90，MOG=DGC，在OMG 和GCD 中，OMGGCD，OM=GC=1，CD=GM=BC BMGC=BC2AB=CD，BCAB=2 设 AB=a，BC=b，AC=c，O 的半径为 r，O 是 RtABC 的内切圆可得 r= （a+bc），c=a+b2在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 a2+b2=（a+b 2） 2，整理得 2ab4a4b+4=0，又BCAB=2 即 b=2+a，代入
10、可得 2a（2+a）4a 4（2+a）+4=0，解得 （舍去）， ，BC+AB=2 +4再设 DF=x，在 RtONF 中， FN= ，OF=x，ON= ，由勾股定理可得 ，解得 x=4 ，CDDF= ，CD+DF= 8综上只有选项 A 错误，故选 A【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质2若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ）A B2 2 C2 D 2【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等
11、腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长【解答】解：等腰直角三角形外接圆半径为 2，此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 2 ，它的内切圆半径为：R= （2 +2 4）=2 2故选 B【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r= （a+bc）；（a、b 为直角边，c 为斜边）直角三角形的外接圆半径：R= c3将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 30，得正方形 AB1C1D1，B 1C1 交 CD 于点 E，AB= ，
12、则四边形 AB1ED 的内切圆半径为（ ）A B C D【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质【专题】压轴题9【分析】作DAF 与AB 1G 的角平分线交于点 O，则 O 即为该圆的圆心，过 O 作OFAB 1，AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出 OF 的长，即该四边形内切圆的圆心【解答】解：作DAF 与AB 1G 的角平分线交于点 O，过 O 作 OFAB 1，则OAF=30 ，AB 1O=45，故 B1F=OF= OA，设 B1F=x，则 AF= x，故（ x） 2+x2=（2x） 2，解得 x= 或 x= （舍去），四边形 AB1ED 的内切圆半径为： 故选：B【点
13、评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键二、填空题（共 4 小题）4边长为 1 的正三角形的内切圆半径为 【考点】三角形的内切圆与内心【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的 30的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可【解答】解：内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个 30的直角三角形，则OBD=30，BD= ，10tanOBD= = ，内切圆半径 OD= = 故答案为： 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的
14、半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个 30的直角三角形5如图，ABC 的内心在 x 轴上，点 B 的坐标是（2， 0），点 C 的坐标是（0，2），点 A 的坐标是（3 ，b ），反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A，则 k= 15 【考点】三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】计算题【分析】根据内心的性质得 OB 平分ABC，再由点 B 的坐标是（ 2，0），点 C 的坐标是（0，2）得到OBC 为等腰直角三角形，则OBC=45，所以ABC=90 ，利用勾股定理有 AB2+BC2=AC2，根据两点间的距离公式得到（3 2） 2+b2+22+22=（ 3） 2+（b
15、+2） 2，解得 b=5，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求 k 的值【解答】解：ABC 的内心在 x 轴上，OB 平分ABC ，点 B 的坐标是（2，0），点 C 的坐标是（0，2），11OB=OC，OBC 为等腰直角三角形，OBC=45，ABC=90，AB 2+BC2=AC2，（3 2） 2+b2+22+22=（3） 2+（b+2） 2，解得 b=5，A 点坐标为（3，5），k=3 5=15故答案为15【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的
16、交点也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式6一般地，如果在一次实验中，结果落在区域 D 中每一个点都是等可能的，用 A 表示“实验结果落在 D中的某个小区域 M 中” 这个事件，那么事件 A 发生的概率 PA= 如图，现在等边ABC 内射入一个点，则该点落在ABC 内切圆中的概率是 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率【专题】几何图形问题【分析】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出 DO，DC 的长，进而得出ABC 的高，再利用圆以及三角形面积公式求出即可【解答】解：连接 CO，DO，由题意可得：ODBC ，OCD=30 ，设 BC=2x
17、，则 CD=x，故 =tan30，12DO=DCtan30= ，S 圆 O=（ ） 2= ，ABC 的高为：2xsin60= x，S ABC= 2x x= x2，则该点落在ABC 内切圆中的概率是： = 故答案为： 【点评】此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键7如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 【考点】三角形的内切圆与内心【专题】压轴题【分析】连接 OB，以及O 与 BC 的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角
18、三角形易求得O 的半径，然后作O 与小圆的公切线 EF，易知BEF 也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边 BEF 的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积【解答】解：如图，连接 OB、OD；13设小圆的圆心为 P，P 与O 的切点为 G；过 G 作两圆的公切线 EF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，则BEF=BFE=9030=60，所以BEF 是等边三角形在 Rt OBD 中，OBD=30，则 OD=BDtan30=1 = ，OB=2OD= ，BG=OBOG= ；由于P 是等边BEF 的内切圆，所以点 P 是B
19、EF 的内心，也是重心，故 PG= BG= ；S o=（ ） 2= ，S P=（ ） 2= ；S 阴影 =SABCSO3SP= = 故答案为： 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中三、解答题（共 10 小题）8如图，O 是ABC 的内心，BO 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D，连接 DC，DA ，OA ，OC，四边形 OADC 为平行四边形（1）求证：BOCCDA；（2）若 AB=2，求阴影部分的面积【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算【专题】计算题14【分析】（1）根据内心性质得1=2，3=4，则 AD=
20、CD，于是可判断四边形 OADC 为菱形，则BD 垂直平分 AC，4= 5=6，易得 OA=OC，2=3，所以 OB=OC，可判断点 O 为ABC 的外心，则可判断ABC 为等边三角形，所以AOB=BOC= AOC=120，BC=AC ，再根据平行四边形的性质得ADC=AOC=120，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明BOCCDA；（2）作 OHAB 于 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOH=30，根据垂径定理得到 BH=AH= AB=1，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BH=AH= AB=1，OH= BH=，OB=2OH= ，然后根据三角形
21、面积公式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 AOBSAOB 进行计算即可【解答】（1）证明：O 是 ABC 的内心，1=2，3= 4，AD=CD，四边形 OADC 为平行四边形，四边形 OADC 为菱形，BD 垂直平分 AC，4= 5= 6，而1=5，OA=OC， 2=3，OB=OC，点 O 为ABC 的外心，ABC 为等边三角形，AOB=BOC=AOC=120 ，BC=AC，四边形 OADC 为平行四边形，ADC=AOC=120，AD=OC，CD=OA，AD=OB，在BOC 和CDA 中，BOCCDA；（2）作 OHAB 于 H，如图，15AOB=120，OA=OB ，BOH=
22、（180120）=30，OHAB，BH=AH= AB=1，OH= BH= ，OB=2OH= ，S 阴影部分 =S 扇形 AOBSAOB= 2= 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算9如图，AD 是O 的切线，切点为 A，AB 是O 的弦过点 B 作 BCAD，交O 于点 C，连接AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且BC
23、P= ACD （1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB=9，BC=6 求 PC 的长16【考点】切线的判定与性质【分析】（1）过 C 点作直径 CE，连接 EB，由 CE 为直径得E+BCE=90 ，由 ABDC 得ACD=BAC，而BAC=E，BCP= ACD，所以E=BCP，于是BCP+BCE=90 ，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的性质得到 OAAD，而 BCAD，则 AMBC，根据垂径定理有 BM=CM= BC=3，根据等腰三角形性质有 AC=AB=9，在 RtAMC 中根据勾股定理计算出 AM=6 ；设O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AMr
24、=6 r，在 RtOCM 中，根据勾股定理计算出 r= ，则CE=2r= ，OM=6 = ，利用中位线性质得 BE=2OM= ，然后判断 RtPCMRtCEB ，根据相似比可计算出 PC【解答】解：（1）PC 与圆 O 相切，理由为：过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图，CE 为直径，EBC=90 ，即E+BCE=90，ABDC ，ACD=BAC，BAC=E，BCP=ACDE=BCP，BCP+BCE=90，即PCE=90 ，CEPC ，PC 与圆 O 相切；（2）AD 是O 的切线，切点为 A，OAAD，BCAD，AMBC，BM=CM= BC=3，AC=AB=9，在 Rt AMC 中，AM
25、= =6 ，17设O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AMr=6 r，在 Rt OCM 中，OM 2+CM2=OC2，即 32+（6 r） 2=r2，解得 r= ，CE=2r= ，OM=6 = ，BE=2OM= ，E=MCP，RtPCMRt CEB， = ，即 = ，PC= 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质10如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线， E 是O 上一点，D 是 AM 上一点，连接DE 并延长交 BN 于点 C，且 ODBE，OF
26、BN（1）求证：DE 与O 相切；（2）求证：OF= CD18【考点】切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【分析】（1）连接 OE，由 AM 与圆 O 相切，利用切线的性质得到 OA 与 AM 垂直，即OAD=90 ，根据 OD 与 BE 平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由 OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由 OA=OE，OD 为公共边，利用 SAS 得出三角形AOD 与三角形 EOD 全等，利用全等三角形的对应角相等得到OED=90 ，即 OE 垂直于 ED，即可得证；（2）连接 OC，由 CD 与 CB 为圆的切线，利用切线
27、的性质得到一对直角相等，由 OB=OE，OC 为公共边，利用 HL 得出两直角三角形全等，进而得到 BOC=EOC，利用等量代换及平角定义得到COD=90，即三角形 COD 为直角三角形，由 OF 与 BN 平行，AM 与 BN 平行，得到三线平行，由 O为 AB 的中的，利用平行线等分线段定理得到 F 为 CD 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证【解答】证明：（1）连接 OE，AM 与圆 O 相切，AMOA，即OAD=90 ，ODBE，AOD=ABE，EOD= OEB，OB=OE，ABE=OEB，AOD=EOD，在AOD 和EOD 中，AODEOD（SAS ），OED=
28、OAD=90，则 DE 为圆 O 的切线；（2）如图，连接 OC在 Rt BCO 和 RtECO 中，RtBCORtECO，19BOC=EOC，AOD=EOD，DOC=EOD+EOC= 180=90，AM、BN 为圆 O 的切线，AMAB ，BNAB，AMBN ，OFBN ，AMOFBN，又 O 为 AB 的中点，F 为 CD 的中点，则 OF= CD【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键11如图，AB 是O 直径，D 为O 上一点，AT 平分BAD 交O 于点 T，过 T 作 AD 的垂线交 AD
29、的延长线于点 C（1）求证：CT 为O 的切线；（2）若O 半径为 2，CT= ，求 AD 的长【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理【专题】压轴题20【分析】（1）连接 OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得 CTOT，CT 为O 的切线；（2）证明四边形 OTCE 为矩形，求得 OE 的长，在直角OAE 中，利用勾股定理即可求解【解答】（1）证明：连接 OT，OA=OT，OAT=OTA，又AT 平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，又CTAC，CTOT，CT 为O 的切线；（2）解：过 O 作 OEAD 于 E，则 E 为 AD 中点，又CTA
30、C，OECT，四边形 OTCE 为矩形，CT= ，OE= ，又OA=2 ，在 RtOAE 中， ，AD=2AE=2【点评】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题2112如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（4，2）是O外一点，连接 AP，直线 PB 与O 相切于点 B，交 x 轴于点 C（1）证明 PA 是O 的切线；（2）求点 B 的坐标【考点】切线的判定与性质；坐标与图形性质【专题】计算题【分析】（1）由 AO=2，P 的纵坐标为 2，得到 AP 与 x 轴平行，即 PA 与 AO 垂
31、直，即可得到 AP 为圆O 的切线；（2）连接 OP，OB ，过 B 作 BQ 垂直于 OC，由切线长定理得到 PA=PB=4，PO 为角平分线，进而得到一对角相等，根据 AP 与 OC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到 OC=CP，设 OC=x， BC=BPPC=4x，OB=2，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 OC 与 BC 的长，在直角三角形 OBC 中，利用面积法求出 BQ 的长，再利用勾股定理求出 OQ 的长，根据 B 在第四象限，即可求出 B 的坐标【解答】（1）证明：圆 O 的半径为 2，P （4，2）
32、，APOA，则 AP 为圆 O 的切线；（2）解：连接 OP，OB ，过 B 作 BQOC，PA、PB 为圆 O 的切线，APO= BPO，PA=PB=4，APOC ，APO= POC，BPO=POC，OC=CP，在 Rt OBC 中，设 OC=PC=x，则 BC=PBPC=4x，OB=2，22根据勾股定理得：OC 2=OB2+BC2，即 x2=4+（4x） 2，解得：x=2.5，BC=4 x=1.5，S OBC= OBBC= OCBQ，即 OBBC=OCBQ，BQ= =1.2，在 Rt OBQ 中，根据勾股定理得：OQ= =1.6，则 B 坐标为（1.6， 1.2）【点评】此题考查了切线的性
33、质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键13如图，ABC 内接于O，AB 是直径，O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OFBC 交 AC 于点E，交 PC 于点 F，连接 AF（1）判断 AF 与O 的位置关系并说明理由；（2）若O 的半径为 4，AF=3，求 AC 的长【考点】切线的判定与性质【专题】压轴题【分析】（1）AF 为为圆 O 的切线，理由为：连接 OC，由 PC 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 CP垂直于 OC，由 OF 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到
34、两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由 OC=OA，OF 为公共边，利23用 SAS 得出三角形 AOF 与三角形 COF 全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到 AF 垂直于OA，即可得证；（2）由 AF 垂直于 OA，在直角三角形 AOF 中，由 OA 与 AF 的长，利用勾股定理求出 OF 的长，而OA=OC，OF 为角平分线，利用三线合一得到 E 为 AC 中点，OE 垂直于 AC，利用面积法求出 AE 的长，即可确定出 AC 的长【解答】解：（1）AF 为圆 O 的切线，理由为：连接 OC，PC 为圆 O 切线，CP OC，OCP
35、=90，OFBC，AOF= B，COF=OCB，OC=OB，OCB=B，AOF= COF，在AOF 和 COF 中，AOF COF（SAS），OAF= OCF=90，AFOA，OA 为圆 O 的半径，则 AF 为圆 O 的切线；（2）AOFCOF，AOF= COF，OA=OC，E 为 AC 中点，即 AE=CE= AC，OEAC，OAAF，在 RtAOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，24S AOF= OAAF= OFAE，AE= ，则 AC=2AE= 【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法
36、，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键14如图，AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，D 为 O 上的一点，CD=CB，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若 BD 的弦心距 OF=1，ABD=30，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算【专题】压轴题【分析】（1）首先连接 OD，由 BC 是O 的切线，可得 ABC=90 ，又由 CD=CB，OB=OD，易证得ODC=ABC=90 ，即可证得 CD 为O 的切线；（2）在 RtOBF 中，ABD=30，OF=1，可求得 BD 的长，BOD 的度数，又由 S 阴影
37、=S 扇形 OBDSBOD，即可求得答案【解答】（1）证明：连接 OD，BC 是O 的切线，ABC=90，CD=CB，CBD=CDB，25OB=OD，OBD=ODB，ODC=ABC=90 ，即 ODCD，点 D 在O 上，CD 为O 的切线；（2）解：在 RtOBF 中，ABD=30，OF=1 ，BOF=60，OB=2 ，BF= ，OFBD ，BD=2BF=2 ，BOD=2BOF=120，S 阴影 =S 扇形 OBDSBOD= 2 1= 【点评】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用15如图，AB 是O 的直径，AF 是O
38、切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD= ，BE=2 求证：（1）四边形 FADC 是菱形；（2）FC 是O 的切线26【考点】切线的判定与性质；菱形的判定【专题】压轴题【分析】（1）首先连接 OC，由垂径定理，可求得 CE 的长，又由勾股定理，可求得半径 OC 的长，然后由勾股定理求得 AD 的长，即可得 AD=CD，易证得四边形 FADC 是平行四边形，继而证得四边形 FADC是菱形；（2）首先连接 OF，易证得AFOCFO，继而可证得 FC 是O 的切线【解答】证明：（1）连接 OC，AB 是O 的直径，CDAB，CE=DE
39、= CD= 4 =2 ，设 OC=x，BE=2，OE=x2，在 Rt OCE 中， OC2=OE2+CE2，x 2=（x 2） 2+（2 ） 2，解得：x=4，OA=OC=4，OE=2，AE=6，在 Rt AED 中，AD= =4 ，AD=CD，AF 是O 切线，AFAB ，CDAB ，AFCD ，CF AD，27四边形 FADC 是平行四边形，AD=CD，平行四边形 FADC 是菱形；（2）连接 OF，AC ，四边形 FADC 是菱形，FA=FC，FAC=FCA，AO=CO，OAC=OCA，FAC +OAC=FCA+OCA，即OCF=OAF=90，即 OCFC，点 C 在O 上，FC 是 O
40、 的切线【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用16如图 1，ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，ODCA 于点 D，OE CB 于点 E，以 O 为圆心，OD 为半径作O28（1）求证：O 与 CB 相切于点 E；（2）如图 2，若O 过点 H，且 AC=5，AB=6 ，连接 EH，求BHE 的面积和 tanBHE 的值【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由 CA=CB，且 CH 垂直于 AB，利用三线合一得
41、到 CH 为角平分线，再由 OD 垂直于AC，OE 垂直于 CB，利用角平分线定理得到 OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；（2）由 CA=CB，CH 为高，利用三线合一得到 AH=BH，在直角三角形 ACH 中，利用勾股定理求出 CH的长，由圆 O 过 H，CH 垂直于 AB，得到圆 O 与 AB 相切，由（ 1）得到圆 O 与 CB 相切，利用切线长定理得到 BE=BH，如图所示，过 E 作 EF 垂直于 AB，得到 EF 与 CH 平行，得出BEF 与BCH 相似，由相似得比例，求出 EF 的长，由 BH 与 EF 的长，利用三角形面积公式即可求出 BEH 的面积；根据 EF与 BE
42、 的长，利用勾股定理求出 FB 的长，由 BHBF 求出 HF 的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tanBHE 的值【解答】（1）证明：CA=CB，点 O 在高 CH 上，ACH=BCH，ODCA，OECB，OE=OD，圆 O 与 CB 相切于点 E；（2）解：CA=CB，CH 是高，AH=BH= AB=3，CH= =4，点 O 在高 CH 上，圆 O 过点 H，圆 O 与 AB 相切于 H 点，由（1）得圆 O 与 CB 相切于点 E，BE=BH=3，29如图，过 E 作 EFAB，则 EFCH，BEFBCH， = ，即 = ，解得：EF= ，S BHE= BHEF= 3 = ，在 Rt
43、BEF 中，BF= = ，HF=BHBF=3 = ，则 tanBHE= =2【点评】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键17如图，O 的直径 AB=6，AD、BC 是O 的两条切线，AD=2，BC= （1）求 OD、OC 的长；（2）求证：DOCOBC；（3）求证：CD 是O 切线【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由 AB 的长求出 OA 与 OB 的长，根据 AD，BC 为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD 与三角形 BOC 都为直角三角形，利用勾股定理即可求出 OD 与
44、OC 的长；30（2）过 D 作 DE 垂直于 BC，可得出 BE=AD，DE=AB，在直角三角形 DEC 中，利用勾股定理求出 CD的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；（3）过 O 作 OF 垂直于 CD，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用 AAS 得到三角形 OCF 与三角形 OCB 全等，由全等三角形的对应边相等得到 OF=OB，即 OF 为圆的半径，即可确定出 CD 为圆 O 的切线【解答】（1）解：AD、BC 是O 的两条切线，OAD=OBC=90，在 Rt AOD 与 RtBOC 中，OA=OB=3，AD=2，BC= ，根据勾股定理得：OD= = ，OC= = ；（2）证明：过 D 作 DEBC，可得出DAB= ABE= BED=90 ，四边形 ABED 为矩形，BE=AD=2， DE=AB=6，EC=BCBE= ，在 Rt EDC 中，根据勾股定理得：DC= = ， = = = ，DOCOBC；（3）证明：过 O 作 OFDC，交 DC 于点 F，DOCOBC，BCO=FCO ，在BCO 和FCO 中，BCOFCO（AAS ），OB=OF，则 CD 是O 切线
