1、第 50 练 关于计算过程的再优化题型分析 高考展望 中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.高中数学新课程标准所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.数学运算，都是依据相应的概念、法则、
2、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1.培养良好的审题习惯.2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式122 23 2n 2 n(n1)(2n1)，三角函数中的辅助角公式 asin xbcos 16x
3、sin(x )等等.a2 b24.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的.高考必会题型题型一 化繁为简，优化计算过程例 1 过点( ，0)引直线 l 与曲线 y 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB2 1 x2的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( )A. B. C. D.33 33 33 3答案 B解析 由 y 得，x 2y 21(
4、y0)，1 x2设直线方程为 xmy ，mb0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，x2a2 y2b2连接 AF，BF.若| AB|10，|AF|6，cosABF ，则 C 的离心率 e_.45答案 57解析 如图，设|BF|m，由题意知，m2100210mcosABF 36，解得 m8，所以ABF 为直角三角形，所以|OF|5，即 c5，由椭圆的对称性知|AF| BF|8( F为右焦点)，所以 a7，所以离心率 e .57点评 熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键.题型三 代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例 3 设 b0，数列a n满足 a1b，a
5、 n (n2).nban 1an 1 2n 2(1)求数列a n的通项公式；(2)证明：对于一切正整数 n，a n 1.bn 12n 1(1)解 由 a1b0 ，知 an 0，nban 1an 1 2n 2 .nan 1b 2bn 1an 1令 An ，A1 ，nan 1b当 n2 时，A n An11b 2b A11b 2b2 2n 2bn 1 2n 1bn 1 .1b 2b2 2n 2bn 1 2n 1bn当 b2 时，An ；1b1 2bn1 2b bn 2nbnb 2当 b2 时，A n .n2综上，a nError!(2)证明 当 b2 时， (2n1 b n1 )bn 2nb 2(
6、2 n1 b n1 )(bn1 2b n2 2 n1 )2 n1 bn1 2 n2 bn2 2 2nb 2n2b 2n1 2 n1 bn12 nbn( )2b 22b2 2nbn bn2n bn 12n 1 b22nbn(222)，2n2 nbnn2 n1 bn，a n ，则 f(10x)0 的解集为( )12A.x|xlg 2 B.x|1lg 2 D.x|x0 的解集为( 1， )，即10 时，f (f(x)表达式的展开式中常数项为( )A.20 B.20 C.15 D.15答案 A解析 当 x0 时，ff(x) ( )6( )6 的展开式中，常数项为 C ( )3( )x1x 1x x 3
7、61x x320.5.在ABC 中，若 ，则( )ACAB cos Bcos CA.AC B.AB C.BC D.以上都不正确答案 C解析 ，ACAB sin Bsin C cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C0.sin(BC)0.又0，b0)，O 为坐标原点，离心率 e2，点 M( ， )在双曲线x2a2 y2b2 5 3上.(1)求双曲线方程；(2)若直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 0，求 的值.OP OQ 1|OP|2 1|OQ|2解 (1)e2，c 2a，b 2c 2a 23a 2，双曲线方程为 1，x2a2 y23a2即 3x2y 23a 2，点 M
8、( ， )在双曲线上，5 31533a 2，a 24，所求双曲线方程为 1.x24 y212(2)设直线 OP 的方程 为 ykx (k0)，联立 1 得Error!x24 y212|OP |2x 2y 2 .12k2 13 k2 0，OP OQ 直线 OQ 的方程为 y x，1k同理可得|OQ| 2 ，12k2 13k2 1 .1|OP|2 1|OQ|2 3 k2 3k2 112k2 1 2 2k212k2 1 1611.已知数列a n中，a n1 (nN *，aR 且 a0).1a 2n 1(1)若 a7，求数列a n中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN *，都有 ana 6 成
9、立，求 a 的取值范围.解 (1)a n1 (nN *，aR ，且 a0)，1a 2n 1又 a7，a n1 (nN *).12n 9结合函数 f(x)1 的单调性，12x 9可知 1a 1a 2a 3a 4，a5a 6a 7a n1(nN *).数列a n中的最大项为 a52，最小 项为 a40.(2)an1 1 ，1a 2n 112n 2 a2已知对任意的 nN *，都有 ana 6 成立，结合函数 f(x)1 的单调性，12x 2 a2可知 5 6，即10a 8.2 a212.若正数 x，y 满足 x2y44xy，且不等式(x2y)a 22a2xy340 恒成立，求实数a 的取值范围.解 正实数 x，y 满足 x2y44xy，即 x2y4xy4.不等式(x2y) a22a2xy 340 恒成立，即(4xy4) a22a2xy340 恒成立，变形得 2xy(2a21)4a 22a34 恒成立，即 xy 恒成立.2a2 a 172a2 1又x0，y0，x 2y 2 ，2xy4xyx2y442 ，2xy即 2( )2 20，xy 2xy 或 (舍去)，可得 xy2.xy 2 xy22要使 xy 恒成立，2a2 a 172a2 1只需 2 恒成立，2a2 a 172a2 1化简得 2a2a150，解得 a3 或 a .52故 a 的取值范围是(，3 ， ).52
