1、专题 06 从地平面到脚手架-分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1分步通分，步步为营；2分组通分，化整为零；3减轻负担，先约分再通分；4拆项相消后通分；5恰当换元后通分，学习分式时应注意：(1)分式与分数的类比整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式
2、区别于整式的关键所在分式问题比起整式问题，增加了几个难点；(1)从“平房”到“楼房” ，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；(3)需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例 1】 _时，分式 的值为 0.m2(1)3m（杭州市中考试题）解题思路：分母不为 0 时，分式有意义，分子与分母的公因式 就不为 01m【例 2】 已知 ，以 ， ，则1abc2bc23abc的值为( )11abcacbA.1 B C2 D 123（太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件 ，对分母分解因式，分解后再通分.2abc【例 3】计算：(1)324aabb（武汉市竞
3、赛试题）(2) 23232322413abababab（天津市竞赛试题）（3）3322211(1)xxx（赣州市竞赛试题）（4）232()baba（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于 或 的代数式，考虑设 ， ，则 ，通babxay1x过换元可降低问题的难度当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.【例 4】求最大
4、的正整数 ，使得 能被 10 整除n310n（美国数学邀请赛试题）解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种【例 5】已知 ， ， ，求 的值15ab7c16caabc（太原市竞赛试题）解题思路：设法求出 的值abc【例 6】(1)设 ， ， 均为非零实数，并且 ， ， ，则abc2()ab3()bc4()ca等于多少？ （北京市竞abc赛试题）(2)计算： 222 21 9050510505k （上海市竞赛试题）解题思路
5、：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得 ， ， 的值；对于(2)，仔细abc观察，即可发现其中规律A 级1要使分式 有意义，则 的取值范围是_ .1xx2代数式 的值为整数的全体自然数 的和是 _ .21yxx（全国初中数学联赛试题）3已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为_ .x221839xxx（“希望杯”邀请赛试题）4若 ，则 _ .123xy42yx（“祖冲之杯”邀请赛试题）5关于分式，下列四种说法中正确的是( ).A含有分母的代数式叫做分式B. 分式的分母、分子同乘以（或除以） 2 3，分式的值不变aC当 时分式 的值为2x24x1D分式 的最小值为零21
6、（重庆市竞赛试题）6已知分式 的值为零，则 的值为( ).(8)1xxA1 Bl C8 D. l 或 8（江苏省竞赛试题）7. 若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有( )x6321xxA. 3 个 B4 个 C6 个 D8 个（江苏省竞赛试题）8若对于3 以外的一切数 均成立，则 的值是( )239mnxxmnA. 8 B8 C16 D169计算：(1) ；24811xxx(2) ；22ababab(3) ；2cccab(4) 111)()()3(9)0xxxx (5) ()()abcabca10当 分别取 ， ， ，1，2，2006 ，2007，时求出代数式 的值，x1207621x将所
7、得结果相加求其和.（全国初中数学联赛试题）11已知 ，求证：11abc212121nnnabcabc（波兰奥林匹克试题）12已知 ，则 的值xyzuyzuxuyxz1xyzuxuyz（北京市竞赛试题）B 级1如果使分式 有意义的一切 的值，都使这个分式的值是一个定值，那么 ， 应满足71axbx ab的条件是_ .2已知 ，其中 A，B，C 为常数，则 B_ .223()xAx（“五羊杯”竞赛试题）3设正整数 ， 满足 且 ，则mn，222111()()3mmn_ .n（“宇振杯”上海市竞赛试题）4当 _时，分式 有最小值，最小值是 _ .x23651x（全国初中数学联赛试题）5已知 ，那么代
8、数式 的值是( )15abbaA5 B7 C3 D 136已知 ， 满足 ab1，记 ，则 M，N 的关系为( 1abMNab，)A.MN BM N CMN D不确定（全国初中数学联赛试题）7以 ， ， 为非零实数，且 ，若 ，解abc0abcabcabc等于( )()A.8 B4 C2 D1（天津市竞赛试题）8已知有理数 ， ， 满足 ， 0，那么 的值是( )abcabcaabcA.正数 B零 C负数 D不能确定（“希望杯”邀请赛试题）9化简：(1) 11111()()()()()()abcabdabcabcd(2) z)(2)(2)()(2)(z)yxzyxxzy10. 为自然数，若 ，则称 为 1 996 的吉祥数，如 ，4 就是 1 n3619nn34619996 的一个吉祥数，试求 1 996 的所有吉祥数的和（北京市竞赛试题）11.用水清洗蔬菜上残留的农药设用 ( 1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本x次清洗前残留的农药量之比为 1现有 （ 2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次试问用哪种方a法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由（孝感市中考试题）12.已知正整数 大于 30，且使得 整除 2002 ，求 的值.n41nn
