1、12018年中考数学提分训练: 图形的相似一、选择题1.如图，ABC 中，BCDA，DEBC，与ABC 相似的三角形（ABC 自身除外）的个数是（ ）A. 1个 B. 2 个C. 3个 D. 4个2.在ABC 中，点 D,E分别为边 AB,AC的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A. B. C. D. 3.如图，ABCDEF，相似比为 12，若 BC1，则 EF的长是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图，DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，点 O是位似中心，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，则DEF 与ABC 的面积比是（ ）A. 12 B. 14
2、C. 15 D. 165.如图，将矩形 ABCD沿 AE折叠，点 D的对应点落在 BC上点 F处，过点 F作 FGCD，连接 EF，DG，下列结论中正确的有（ ）2ADG=AFG；四边形 DEFG是菱形；DG 2= AEEG；若 AB=4，AD=5，则 CE=1A. B. C. D. 6.如图， 与 中， 交 于 给出下列结论：C=E；ADEFDB；AFE=AFC；FD=FB其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在平行四边形 ABCD中，AB6，AD9，BAD 的平分线交 BC于点 E，交 DC的延长线于点F，BGAE 于点 G，BG4 ，则EFC 的周长为（ ）A. 11
3、 B. 10 C. 9 D. 838.如图，已知在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，AD：BD=2：1，点 F在 AC上，AF：FC=1：2，联结 BF，交 DE于点 G，那么 DG：GE 等于（ ）A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 2：59.如图，ABC 中，D，E 是 BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M 在 AC边上，CM：MA=1：2，BM 交AD，AE 于 H，G，则 BH：HG：GM 等于（ ）A. 4：2：1 B. 5：3：1 C. 25：12：5 D. 51：24：1010.如图，正方形 OEFG和正方形 ABCD是位似图形，且
4、点 F与点 C是一对对应点，点 F的坐标是（1，1），点 C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（ ）A. （0，0） B. （1，0） C. （2，0）D. （3，0）11.已知点 C在线段 AB上，且点 C是线段 AB的黄金分割点（ACBC），则下列结论正确的是（ ） A. AB2=ACBC B. BC2=ACBC C. AC= BC D. BC= AB12.如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点 ，连 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 交 于点 ，则下列结论： 4； ； ； ； .A. 5 B. 4 C. 3 D. 2二、填空题（共 8题；共 8分）13.已知 ，则
5、 =_ 14.已知点 在线段 上，且 ,那么 _ 15.如图，直线 l1l 2l 3 ， 直线 AC交 l1 ， l 2 ， l 3 ， 于点 A，B，C；直线 DF交 l1 ， l 2 ， l 3于点 D，E，F，已知 ，则 =_。16.如图，矩形 ABCD中， ，点 E在 AB上，点 F在 CD上，点 G、H 在对角线 AC上，若四边形 EGFH是菱形，且 EHBC，则 AGGHHC=_17.如图，等腰直角三角形 ABC的顶点 A ， C在 x轴上， BCA=90， AC=BC= ，反比例函数 y= （ k0）的图象过 BC中点 E ， 交 AB于点 D ， 连接 DE ， 当 BDE B
6、CA时， k的值为_.518.如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB4，BC8，过点 O作 OEAC 交 AD于点 E，则 AE的长为_19.如图所示，王华晚上由路灯 A下的 B处走到 C处时，测得影子 CD的长为 1米，继续往前走 3米到达E处时，测得影子 EF的长为 2米，已知王华的身高是 1.5米，那么路灯 A的高度 AB等于_米20.九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为 200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门
7、位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门 15步的 处有一树木，求出南门多少6步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为_步三、解答题 21.已知：如图，在ABC 的中，AD 是角平分线，E 是 AD上一点，且 AB ：AC = AE ：AD求证：BE=BD22.如图，已知菱形 BEDF，内接于ABC，点 E，D，F 分别在 AB，AC 和 BC上若 AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长723.一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=12cm，高 AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上且矩形的长与宽的比
8、为 3：2，求这个矩形零件的边长24.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB与河岸垂直，并在 B点竖起标杆 BC，再在 AB的延长线上选择点 D竖起标杆 DE，使得点 E与点 C、A 共线已知：CBAD，EDAD，测得 BC1m，DE1.5m，BD8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB25.如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板 DEF的直角顶点 E放置于三角板 ABC的斜边 AC上，再将三角板 DEF绕点
9、E旋转，并使边 DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC于点 Q（1）【探究一】在旋转过程中，如图 2，当 时，EP 与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明._8如图 3，当 时 E P与 EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由._根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ满足的数量关系式为_,其中 的取值范围是_(直接写出结论，不必证明) （2）【探究二】若 且 AC30cm，连续 PQ，设EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.随着 S取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化？不出相应
10、S值的取值范围. 9答案解析 一、选择题1.【答案】B 【解析】 DEBC BCDABC有两个与ABC 相似的三角形故答案为：B.【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出ADE ABC, 由有两个角对应相等的三角形三角形相似得出BCDABC，从而得出有两个与ABC 相似的三角形。2.【答案】C 【解析】 ：如图，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DEBC，ADEABC， =（ ） 2= 故答案为：C【分析】根据三角形的中位线定理得出 DEBC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出ADE
11、ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。3.【答案】B 【解析】 ：ABCDEF，相似比为 1210EF=2故答案为：B【分析】根据相似三角形的性质及相似比，得出 ，即可求解。4.【答案】B 【解析】 ：D、F 分别是 OA、OC 的中点，DF 是AOC 的中位线。DF= AC，DEF 是由ABC 经过位似变换得到的DEF 与ABC 的相似比是 1:2，DEF 与ABC 的面积比是 1:4故答案为：B【分析】根据 D、F 分别是 OA、OC 的中点，可证得 DF是AOC 的中位线。可证得 DF和 AC的数量关系，再根据DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，即可求得结果。5
12、.【答案】B 【解析】 由折叠的性质可得：ADG=AFG（故正确）；由折叠的性质可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，FGCD，FGE=DEG，DGE=FEG，DGFE，四边形 DEFG是平行四边形，又DE=FE，四边形 DEFG是菱形（故正确）；如图所示，连接 DF交 AE于 O，四边形 DEFG为菱形，GEDF，OG=OE= GE，DOE=ADE=90，OED=DEA，11DOEADE， ，即 DE2=EOAE，EO= GE，DE=DG，DG 2= AEEG，故正确；由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，AB=4，B=90，BF= ，FC=BC-BF=2，设 CE=x，
13、则 FE=DE=4-x，在 RtCEF 中，由勾股定理可得： ，解得： .故错误；综上所述，正确的结论是.故答案为：B.【分析】由折叠的性质可得：ADG=AFG（故正确）；由折叠的性质可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，根据平行线的性质得出FGE=DEG，根据等量代换得出DGE=FEG，根据平行线的判定得出 DGFE，进而根据平行四边形的判定得出四边形 DEFG是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形 DEFG是菱形（故正确）；如图所示，连接 DF交 AE于 O，根据菱形的性质得出 GEDF，OG=OE= GE，然后判定出DOEADE，根据相似三角形的对应边成比
14、例得出 DE2=EOAE，又 EO= GE，DE=DG，从而得出结论 DG2= 1 2 AEEG，故正确；由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，根据勾股定理得出 BF的长度，由 FC=BC-BF得出 FC的长，设 CE=x，则 FE=DE=4-x，在 RtCEF 中，由勾股定理可得关于 x的方程，求解得出 x的值，进而判断出错误。6.【答案】B 【解析】 证明：在ABC 和AEF 中，ABCAEF（SAS）C=AFE，故错误；B=E，ADE=FDB12ADEFDB故正确；ABCAEFAF=AC，AFE=CAFC=CAFE=AFC故正确；AB=AEADEADEB=E，ADE=BDFBBD
15、F，FDFB故错误故答案为：B【分析】根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，可对作出判断；根据相似三角形的判定，可对作出判断；即可得出答案。7.【答案】D 【解析】 ：四边形 ABCD为平行四边形，ABCD,ADBC，BAE=AFD，DAF=AEB，AF 为BAD 的角平分线，BAE=EAD，AFD=EAD，BAE=AEB，CEF=CFE，ABE，ADF，CEF 都是等腰三角形，又AB=6，AD=9，AB=BE=6，AD=DF=9，CE=CF=3.BGAE,BG=4 ， 由勾股定理可得：AG 2=AB2BG2AG2=62-（4 ）13解之：AG=2AE=2AG=4，ABCD，AB
16、EFCE. =AE=2EF 即 4=2EFEF=2，EFC 的周长为：CE+CF+EF=3+3+2=8故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，可证ABE，ADF，CEF 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出 CE、CF 的长度，然后利用勾股定理求得 AG的长度，继而可得出 AE的长度，根据相似三角形的性质求出 EF的长度，然后可求出EFC 的周长。8.【答案】B 【解析】 DEBC， =2，CE：CA=1：3， = = ，AF：FC=1：2，AF：AC=1：3，AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设 EG=m，则 BC=2m，DE= m，DG= mm
17、= m，DG：GE= m：m=1：3，故答案为：B【分析】由平行线分线段成比例定理可得 ,所以 CE：CA=1：3， ,由已知可得 AF：AC=1：3，所以 AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设 EG=m，则 BC=2m，则 DE= m，DG= mm= m，所以 DG：GE= m：m=1：3。9.【答案】D 14【解析】 连接 EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM 平行于 ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3 ）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5设 GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=B
18、H：17kBH= K，BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10，故答案为：D【分析】连接 EM，根据平行线分线段成比例定理可得 EM平行于 AD，由相似三角形的判定可得BHDBME，CEMCDA，所以可得比例式 HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，则 AH=AD-DH=3ME-ME=（3- ）ME= ME，所以 AH：ME=12：5，则 HG：GM=AH：EM=12：5，设 GM=5k，GH=12k，由 EM平行于 AD可得比例式 BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得 BH= K，所以BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10
19、。10.【答案】C 【解析】 点 F与点 C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是 CF与 x轴的交点，15设直线 CF解析式为 y=kx+b，将 C（4，2），F（1，1）代入，得 ，解得 ，即 y= x+ ，令 y=0得 x=2，O坐标是（2，0）；故答案为：C【分析】由位似图形的性质可得位似中心在直线 CF上，已知点 F与点 C是一对对应点，所以两个位似图形在位似中心同旁，由图形所在位置可得位似中心就是 CF与 x轴的交点，所以设直线 CF解析式为y=kx+b，将 C（4，2），F（1，1）代入解析式可得关于 k、b 的方程组，解得 k= ,b= ,则直线 CF解析式
20、为 y= x+ ,因为 CF与 x轴相交，所以 y=0，即 x+ =0,解得 x=2，所以 O坐标是（2，0）。11.【答案】D 【解析】 点 C是线段 AB的黄金分割点且 ACBC， ，即 AC2=BCAB，故 A、B 不符合题意；AC= AB，故 C不符合题意；BC= = AB，故 D符合题意；故答案为：D【分析】点 C是线段 AB的黄金分割点且 ACBC，从而得出 BCAC=ACAB= ,根据等比性质即可一一作出判断。12.【答案】B 【解析】【解答】解：ABC 为等边三角形，ABD 为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD 是等腰三角
21、形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；16AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF 知 AFAG，故错误；记 AH与 CD的交点为 P，由 AHCD 且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF 和BAH 中， ，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在 RtAPF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= x，设 EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE 中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，
22、EH=BE-BH=a+2x-2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH，17 ，即 ，整理，得：2x 2=（ -1）ax，由 x0 得 2x=（ -1）a，即 AF=（ -1）EF，故正确；故答案为：B【分析】根据等腰直角三角形及等边三角形的性质，及它们有一条公共边得出BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，从而得出CAD 是等腰三角形，且顶角CAD=150，从而判断出ADC=15，故正确；根据三角形的内角和得出DAE=45，根据三角形的外角定理得出AFG，AGF 的度数，由AFGAGF 知 AFAG，故错误；记 AH与 CD的交点为 P，由三角形
23、的内角和得出FAP=30，根据角的和差及等量代换得出BAH=ADC=15，由 ASA判断出ADFBAH 根据全等三角形对应边相等得出 DF=AH，故正确；由AFG=CBG=60，AGF=CGB，判断出AFGCBG，故正确；在 RtAPF 中，设 PF=x，则 AF=2x，根据勾股定理表示出 AP，设 EF=a，由ADFBAH，得出 BH=AF=2x，根据等腰直角三角形的性质得出 BE=AE=AF+EF=a+2x，进而得出 EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判断出PAFEAH，根据相似三角形对应边成比例得出 PFEHAPAE，从而得出关于 x的方程，求解得出结论 2x=（ -1）a，即
24、AF=（ -1）EF，故正确。二、填空题13.【答案】【解析】 ：设 a=2x，b=3x =故答案为：【分析】根据 a与 b的比值，可设 a=2x，b=3x，代入计算即可求解，或利用合比性质求解即可。14.【答案】5:3 【解析】 由题意 AP：BP=2：3，设 AP=2x,BP=3XAB=5XAB：PB=5：3.故答案为：5:3.【分析】根据 AP：BP=2：3，从而说明 AP占两份，BP 占三份，从而得出 AB占 5份，进一步得出答案。1815.【答案】2 【解析】 ：由 和 BC=AC-AB，则 ,因为直线 l1l 2l 3 ， 所以 =2故答案为 2【分析】由 和 BC=AC-AB，可
25、得 的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得16.【答案】323 【解析】 连接 EF交 AC于 O，四边形 EGFH是菱形，EFAC，OE=OF，OG=OH，四边形 ABCD是矩形，B=D=90,ABCD，ACD=CAB，在CFO 与AOE 中，CFOAOE，AO=CO，AG=CH，CAB=CAB,AOE=B=90， AOEABC， = =tanBAC= ，HEBC，AEH=90，19HEO=GEO=BAC， = ，AO=4OG，AGCH=3OG，CH=2OG，AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.【分析】连接 EF交 AC于 O，根据菱形的性质得出 EFAC，OE=OF，OG=
26、OH，根据矩形的性质得出B=D=90,ABCD，根据二直线平行，内错角相等得出ACD=CAB，然后利用 AAS判断出CFOAOE，根据全等三角形对应边相等得出 AO=CO，根据等式的性质得出 AG=CH，然后判断出AOEABC，根据相似三角形对应边成比例得出OABCAB=tanBAC= ，根据平行线的性质及等量代换得出HEO=GEO=BAC，根据等角的同名三角函数值相等得出 AO=4OG，进而得出 AGCH=3OG，从而得出答案。17.【答案】3 【解析】 ：如图，过点 D作 DFBC 于点 F，ABC 中， BCA=90， AC=BC= ， 反比例函数 y= （ k0）的图象过 BC中点 E
27、，BAC=ABC=45，且可设 E（ ， ）， BDE BCA三角形 BDE也是等腰直角三角形，DF=EFF（ ， ）D（ - ， ）20解 得：k=3【分析】过点 D作 DFBC 于点 F，ABC 中， BCA=90， AC=BC= 2 ， 反比例函数 y= （ k0）的图象过 BC中点 E， BAC=ABC=45，且可设 E（ ， ），由 BDE BCA得出 三角形 BDE也是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一得出 DF=EF，进而得出 F,D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于 k的方程，求解得出 k的值。18.【答案】5 【解析】 ：矩形 ABCD，OEACADC=AO
28、E=90,AB=CDAO= AC在 RtAOD 中，AB=4，AD=8AC=BD=EAO=DAO，ADC=AOEAEOACO8AE=4 2解之：AE=5故答案为：5【分析】根据矩形的性质得出ADC=AOE=90,AB=CD，求出 AO的长，再根据勾股定理求出 AC的长，然后证明AEOACO，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可。19.【答案】6 【解析】 ：FHAB21CGAB2（1+BC）=5+BC解之：BC=3AB=1.5（1+BC）=1.5（1+3）=6故答案为：6【分析】抓住题中的隐含条件：FHAB，CGAB，得出对应线段成比例，从而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出 BC
29、的长，继而可求出 AB的长。20.【答案】【解析】 ：DEFG 是正方形，EDG=90，KDC+HDA=90C+KDC=90，C=HDACKD=DHA=90，CKDDHA，CK：KD=HD：HA，CK：100=100：15，解得：CK= 故答案为： 【分析】根据正方形的性质及已知证明C=HDA，CKD=DHA，再证明CKDDHA，得出对应边成比例，就可求出 CK的长。三、解答题21.【答案】解：如图所示：AD 是角平分线，1=2，又AB AD = AE AC，22ABEACD，3=4，BED=BDE，BE=BD 【解析】【分析】利用角平分线的定义得出1=2，根据 AB：AD = AE：AC，可
30、证得ABEACD，得对应角相等即3=4，再根据等角的补角相等证出BED=BDE，然后根据等角对等边证得结论。22.【答案】解：设菱形的边长为 xcm，则 DE=DF=BF=BE=xcm，四边形 BEDF是菱形，DEBC，DFAB，ADE=C，A=CDF，AEDDFC， ， = ，x= ，即菱形的边长是 cm 【解析】【分析】设菱形的边长为 xcm，根据菱形的性质得出 DE=DF=BF=BE=xcm，DEBC，DFAB，根据二直线平行同位角相等得出ADE=C，A=CDF，进而判断出AEDDFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。23.【答案】解：四边形 PQMN是矩形，BCP
31、Q，APQABC， ，由于矩形长与宽的比为 3：2，分两种情况：若 PQ为长，PN 为宽，设 PQ=3k，PN=2k，则 ，解得：k=2，23PQ=6cm，PN=4cm；PN 为 6，PQ 为宽，设 PN=3k，PQ=2k，则 ，解得：k= ，PN= cm，PQ= cm；综上所述：矩形的长为 6cm，宽为 4cm；或长为 cm，宽为 cm 【解析】【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似 ”证得APQABC，即可得到 ，再分两种情况若 PQ为长，PN 为宽与PN 为 6，PQ 为宽，求得 k的值即可求得矩形的长与宽.24.【答案】解
32、：CBAD，EDAD，CBAEDA90，CABEAD，ABCADE， ，又AD=AB+BD，BD=8.5，BC1，DE1.5， ，AB17，即河宽为 17米 【解析】【分析】首先很容易判断出ABC ADE，根据相似三角形对应边成比例即可得出 ADAB=DEBC，从而即可求出河的宽度。25.【答案】（1）解：当 时，PE=QE.即 E为 AC中点，理由如下：连接 BE，ABC 是等腰直角三角形，24BE=CE，PBE=C=45，又PEB+BEQ=90，CEQ+BEQ=90，PEB=CEQ，在PEB 和QEC 中， ,PEBQEC（ASA），PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：
33、作 EMAB，ENBC，EMP=ENQ=90，又PEN+MEP=PEN+NEQ=90，MEP=NEQ,MEPNEQ，EP：EQ=ME:NE,又EMA=ENC=90，A=C，MEANEC，ME:NE=EA:EC， ,EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；02+ 时，EF 与 BC不会相交）.26【分析】【探究一】根据已知条件得 E为 AC中点，连接 BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，PBE=C=45，由同角的余角相等得PEB=CEQ，由全等三角形的判定 ASA可得PEBQEC，再由全等三角形的性质得 PE=QE.作 EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分别证MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性质得 EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.作 EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分别证MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性质得 EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.【探究二】设 EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则 EP= x，根据三角形面积公式得出 S的函数关系式，再根据当 EQBC 时，EQ 与 EN重合时，面积取最小；当 EQ=EF时，S 取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据（1）中数据求得当 EQ与 BE重合时，EPQ 的面积，再来分情况讨论即可.
