1、12018年中考数学提分训练: 锐角三角函数一、选择题1.在 RtABC 中，C=90，AC=4，AB=5，则 tanA的值是（ ） A. B. C. D. 2.如图，在ABC 中，AC8，ABC60，C45，ADBC，垂足为 D，ABC 的平分线交 AD于点E，则 AE的长为（ ）A. B. 2 C. D. 3 3.在下列网格中，小正方形的边长为 1，点 A，B，O 都在格点上，则A 的正弦值是（ ）A. B. C. D. 4.已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 125.一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100米，其铅直高度上升了 15米在用科学计
2、算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（ ）A. B. C. D. 6.在ABC 中，C=90，AB=6，cosA= ，则 AC等于（ ）. A. 18 B. 2 C. D. 7.如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部 B的仰角为 30，测量这栋高楼底部 C的俯角为 60，热气球与高楼的水平距离为 45米，则这栋高楼高为（ ）米A.15 B.30 C.45 D.60 8.ABC 中，A，B 均为锐角，且（tanB ）（2sinA ）=0，则ABC 一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是 60的三角形9.如图，矩形 ABCD中，O 为 AC的中点，过点 O的直线
3、分别与 AB，CD 交于点 E，F，连接 BF交 AC于点M，连接 DE，BO.若COB60，FOFC，则下列结论：FBOC，OMCM；EOBCMB；四边形EBFD是菱形；MBOE32.其中正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4310.如图，在半径为 5的O 中，弦 AB=6，点 C是优弧 上一点（不与 A，B 重合），则 cosC的值为（ ）A. B. C. D. 11.如图，四边形 ABCD，A 1B1BA，A 5B5B4A4都是边长为 1的小正方形已知ACB=a，A 1CB1=a1 ， ，A 5CB5=a5 则 tanatana1+tana1tana2+tana4t
4、ana5的值为（ ）A. B. C. 1 D. 二、填空题 12.计算：tan60cos30=_ 13.已知A 是锐角，且 tanA= ，则A=_ 14.坡角为 =60，则坡度 i=_ 15.如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（2， ），以原点 O为中心，将点 A顺时针旋转165得到点 A，则点 A的坐标为_.416.如图，在ABC 中，AB=AC，AHBC，垂足为点 H，如果 AH=BC，那么 sinBAC 的值是_17.在 RtABC 中，C=90，AB=2，BC= ，则 sinA=_ 18.已知ABC，AB=AC，BC=8，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，将ABC 沿着直线
5、DE翻折，点 B落在边 AC上的点 M处，且 AC=4AM，设 BD=m，那么ACB 的正切值是_（用含 m的代数式表示） 19.如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m的建筑物 CD的顶端 D处测得河岸 B处的俯角为 45，测得河对岸 A处的俯角为 30（A，B，C 在同一条直线上），则河的宽度 AB约为_三、解答题20.计算：2cos45tan60+sin30| | 21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 均垂直于地面，点 在线段 上.在 点测得点 的仰角为 ，点 的俯角也为 ，测得 间的距离为 10米，立柱 高 30米.求立柱 的高（结果保留根号）.522.如图，为了测量建
6、筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 .在 上选取观测点 、 ，从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ，从 测得 、 的仰角分别为 、 .求建筑物 的高度（精确到 ） .（参考数据： ， ， .）23.如图 1，水坝的横截面是梯形 ABCD，ABC37，坝顶 DC3m，背水坡 AD的坡度 i（即 tanDAB）为 1：0.5，坝底 AB14m（1）求坝高； （2）如图 2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 AE2DF，EFBF，求 DF的长（参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 ） 6答案解析 一、选择题1.【答案】
7、C 【解析】 ：在 RtABC 中，C=90，AC=4，AB=5，BC= =3tanA= =故答案为：C【分析】利用勾股定理先求出 BC的长，再利用锐角三角形函数的定义，即可求出 tanA的值。2.【答案】C 【解析】 ADBC，ADC 是直角三角形，C=45，DAC=45，AD=DC，AC=8，AD=4 ，在 RtABD 中，B=60，BD= = = ，BE 平分ABC，EBD=30，DE=BDtan30= = ，AE=AD-DE= ，故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形边之间的关系得出 AD的长，在 RtABD 中，根据正切函数的定义由 BD=得出 BD的长，由 DE=BDtan30得
8、出 DE的长，再根据线段的和差，由 AE=AD-DE即可得出答案。3.【答案】A 7【解析】 ：如图，由题意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，sinA= = 故答案为：A【分析】延长 AB与 OC，两线相交于点 C，根据方格纸的特点得出 OC=2，AC=4，由勾股定理得 AO，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。4.【答案】B 【解析】 是等腰直角三角形的一个锐角，=45，sin=sin45= 故答案为：B【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。5.【答案】A 【解析】 ：sinA= ，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，故答案为：
9、A【分析】根据正弦函数的定义，由 sinA= =0.15,再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。6.【答案】B 【解析】 在 RtABC 中，C=90，cosA= ，又 AB=6，所以 AC=2故答案为：B【分析】根据三角函数的定义，在 RtABC 中，cosA= A C A B，即可得出答案。7.【答案】D 8【解析】 ：过 A作 ADBC，垂足为 D，在 RtABD 中，BAD=30 ， AD=45m，BD=ADtan30=45 = m,在 RtACD 中，CAD=60，AD=45m，CD=ADtan60=45 = mBC= + =60 m故答案为 ：D【分析】过 A作 ADBC，垂足为
10、 D，在 RtABD 中，由 BD=ADtan30得出 BD，在 RtACD 中，由CD=ADtan60得出 CD,再根据 BC=BD+CD得出答案。8.【答案】D 【解析】 ABC 中，A，B 均为锐角，且（tanB ）（2sinA ）=0，tanB =0或 2sinA =0，即 tanB= 或 sinA= B=60或A=60ABC 有一个角是 60故答案为：D【分析】根据两个因式的积 0，则这两个因式至少有一个因式为 0可得 tanB- =0或 2sinA- =0，解得tanB= ，或 sinA= ，因为ABC 中，A，B 均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得B=60或A=60所以ABC
11、有一个角是 609.【答案】C 9【解析】 连接 BD，四边形 ABCD是矩形，AC=BD，AC、BD 互相平分，O 为 AC中点，BD 也过 O点，OB=OC，COB=60，OB=OC，OBC 是等边三角形，OB=BC=OC，OBC=60，在OBF 与CBF 中， ，OBFCBF（SSS），OBF 与CBF 关于直线 BF对称，FBOC，OM=CM；正确，OBC=60，ABO=30，OBFCBF，OBM=CBM=30，ABO=OBF，ABCD，OCF=OAE，OA=OC，易证AOECOF，OE=OF，OBEF，四边形 EBFD是菱形，10正确，EOBFOBFCB，EOBCMB 不符合题意错误
12、，OMB=BOF=90，OBF=30，MB= ，OF= ，OE=OF，MB：OE=3：2，正确；故答案为：C【分析】（1）连接 BD，由矩形的性质可得 AC=BD，AC、BD 互相平分，因为 O为 AC中点，所以 AC、BD 相较于 O，则 OB=OC，因为有一个角为 60度的等腰三角形是等边三角形，所以OBC 是等边三角形，用边边边定理可得OBFCBF，所以OBF 与CBF 关于直线 BF对称，由对称的性质可得 FBOC，OM=CM；（2）由已知可证得EOBFOBFCB；（3）由（1）可得OBFCBF，所以OBM=CBM= - =30，所以ABO=OBF，根据平行线的性质可得OCF=OAE，
13、用边角边可证得AOECOF，所以 OE=OF，OBEF，根据菱形的判定可得四边形EBFD是菱形，（4）因为OMB=BOF=90，OBF=30，所以 tanOBF= = ,cos30= = ,而 OE=OF，所以 MB：OE=3：2。10.【答案】D 【解析】 ：作直径 AD，连结 BD，如图AD 为直径，ABD=90在 RtABD 中，AD=10，AB=6，BD= =8，cosD= = = C=D，cosC= 故答案为：D【分析】作直径 AD，连结 BD，根据直径所对的圆周角是直角得出ABD=90，在 RtABD 中根据勾股定11理得出 BD的长，根据余弦函数的定义得出 cosD的值，根据同弧
14、所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。11.【答案】A 【解析】 ：根据锐角三角函数的定义，得：tana= =1，tana 1= = ，tana 2= = ，tana 5= = ，则 tanatana1+tana1tana2+tana4tana5=1 + + + + =1 + + + + =1 = 故答案为：A【分析】根据锐角三角函数的定义，依次算出 tana，tana 1， tana2， ，tana 5的值，依次代入tanatana1+tana1tana2+tana4tana5， 并根据 ，进行化简计算即可。二、填空题12.【答案】【解析】 tan60cos30= = .故答案
15、为： .【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。13.【答案】30 【解析】 ：A 是锐角，tanA= ，A=30故答案为：30【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。14.【答案】【解析】 ：坡度 i=tan=tan60= 故答案为： 【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。15.【答案】（ ， ） 【解析】 作 ABx 轴于点 B，12AB= OB=2，则 tanAOB= ，AOB=60，AOy=30，将点 A顺时针旋转 165得到点 A后，AOC=165309045,OA=OA=2OB=4，AC=OC= ,即 A( , )，故答案为：（ ，
16、）.【分析】作 ABx 轴于点 B，根据点 A的坐标得出 AB,OB的长，根据正切函数的定义得出AOB 的度数，进而得出AOy 的度数，将点 A顺时针旋转 165得到点 A后，根据旋转的性质从而得出AOC 的度数，OA=OA=2OB=4，进而得出 AC=OC= ，得出 A的坐标。16.【答案】【解析】 如图，过点 B作 BDAC 于 D，设 AH=BC=2x，AB=AC，AHBC，BH=CH= BC=x，根据勾股定理得，AC= = x，SABC = BCAH= ACBD，即 2x2x= xBD，解得 BC= x，13所以，sinBAC= 故答案为： 【分析】过点 B作 BDAC 于 D，设 A
17、H=BC=2x，由等腰三角形三线合一可得 BH=CH= BC=x，在直角三角形 ACH中，根据勾股定理得，AC= ,因为 SABC = BCAH= ACBD，即 2x2x= xBD，解得 BC= x，在直角三角形 ABD中，sinBAC= .17.【答案】【解析】 ：如图RtABC 中，C=90，AB=2，BC= ，sinA=故答案为：【分析】利用锐角三角函数的定义，即可求解。18.【答案】【解析】 如图所示：作 AHBC，MGBC，连结 EM、MCAB=AC，BC=8，AHBC，14CH=4AC=4AM，CM：AC=3：4AHMG， ，即 ，解得：CG=3BG=5DG=m5由翻折的性质可知
18、MD=BD=m在 RtMGD 中，依据勾股定理可知：MG= tanACB= 故答案为： 【分析】作 AHBC，MGBC，连结 EM、MC由已知条件易得 CM：AC=3：4因为 AHMG，根据平行线分线段成比例定理可得 ,即 ，解得 CG=3，所以 BG=BC-CG=5，所以 DG=BD-DG=m5，由折叠的性质可得 MD=BD=m，在直角三角形 MGD中，由勾股定理可得 MG=,所以 tanACB= .19.【答案】15.3m 【解析】 ：在 RtACD 中，CD=21m，DAC=30，AC= = =21 m，在 RtBCD 中，EDB=45，DBC=45，BC=CD=21m，AB=ACBC=
19、21 2115.3（m），河的宽度 AB约是 15.3m【分析】本题利用锐角三角函数解决实际问题，已知 CD=21m，DAC= ，用 角的正切可以求出 AC的值，因为BCD 是等腰直角三角形，所以 AB=AC-21.三、解答题1520.【答案】 ：原式=2 + = 【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值，及绝对值的意义，先化简，再根据实数的混合运算计算出结果。21.【答案】解：作 CFAB 于 F，则四边形 HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD.由题意得，ACF=30，CED=30，设 CD=x米，则 AF=（30x）米，在 RtAFC 中，FC= ，则 BD=CF= ，ED= -10，在
20、RtCDE 中，ED= ，则 -10= ，解得，x=15 ，答：立柱 CD的高为（15 ）米 【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作 CFAB 于 F，此时CF/水平线，则四边形 HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求 CD，即设 CD=x，由仰角和俯角可得到ACF=30，CED=30，用 x表示出 ED两种代数式，构造方程解答即可.22.【答案】解：在 中， ， . .16在 中， ， . .同理 . .解得 .因此，建筑物 的高度约为 【解析】【分析】在 Rt CED 中，根据正切函数的定义得出 DE = ,在 Rt CFD 中根据正切函数的定义得出
21、DF= ,由线段的和差表示出 EF的长，同理再表示出 EF的长，从而得出方程，求解得出 AB的长。23.【答案】（1）解： 过点 D作 DMAB，垂足为 M，过点 C作 CNAB，垂足为 N.因背水坡 AD的坡度 i为 1:0.5，tanDAB=2，设 AM=x，则 DM=2x.又四边形 DMNC是矩形，DM=NC=2x.在 RtBNC 中，tanABC=tan37= ，BN= ，由 x+3+ ，得 x=3，DM=6.即坝高为 6m.（2）解：过点 F作 FHAB，垂足为 H.17设 DF=y，则 AE=2y.EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-(3+y)=11+y，由 FHBE，EFBF，得EFHFBH. ，即 .，解得 y= 或 y= （舍）.DF= .答：DF 的长为 米 【解析】【分析】（1）已知ABC37和背水坡 AD的坡度 i，则过点 D作 DMAB，垂足为 M，过点 C作 CNAB，垂足为 N，由 AB=AM+MN+BN，构造方程解答；（2）过点 F作 FHAB，垂足为 H，由（1）可得FH=DM=6，又EFBF，可证得 EFHFBH，则 其中 HF=6，而 HB与 EH可设 FD=x，用含 x的代数式分别求出 EH和 HB，然后代入 即可.
