1、1阶段检测试题(五)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号直线的方程、圆的方程 3直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系 1,2,13,14椭圆定义、标准方程及简单几何性质的应用 7,8,11,16双曲线定义、标准方程及简单几何性质的应用 6,8,9,10抛物线定义、标准方程及简单几何性质的应用 4,15轨迹方程 5,12最值、范围问题、证明问题 17,20定点、定值问题、存在性问题 18,19,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线 l1:2x-y-1=0 与直线
2、 l2:mx+y+1=0 互相垂直的充要条件是( C )(A)m=-2 (B)m=- (C)m= (D)m=2解析:直线 l1:2x-y-1=0 与直线 l2:mx+y+1=0 垂直2m-1=0 m=.故选 C.2.过原点且与圆 x2+y2-4x+3=0 相切的直线的倾斜角为( B )(A)或 (B)或(C)或 (D)或解析:由 x2+y2-4x+3=0,得(x-2) 2+y2=1,所以圆心为(2,0),半径为 1.设直线 l 的方程为 kx-y=0,由圆与直线相切得 =1,解得 k= .设直线 l 的倾斜角为 (00),半径为 r,则有 解得 a=,r2= ,所以要求圆的方程为(x-) 2+
3、y2= .故选 C.4.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( D )(A)y=12x2 (B)y=12x2或 y=-36x2(C)y=-36x2 (D)y= x2或 y=- x2解析:将 y=ax2化为 x2=y,准线 y=- ,由已知得|3+ |=6,所以 a=- 或 a= .所以抛物线方程为 y= 或 y=- x2.故选 D.5.已知动点 P(x,y)满足 5 =|3x+4y-1|,则点 P 的轨迹是( B )(A)直线 (B)抛物线(C)双曲线 (D)椭圆解析:动点 P(x,y)满足5 =|3x+4y-1|,可得 = ,表示动点 P(x,y)到(1
4、,2)与到直线 3x+4y-1=0 距离相等,又(1,2)不在直线 3x+4y-1=0 上,则点 P 的轨迹是以(1,2)为焦点以直线 3x+4y-1=0 为准线的抛物线.故选 B.6.已知双曲线 - =1(a0,b0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 ,若|F|=5,则双曲线的渐近线方程为( D )(A)x2y=0 (B)2xy=0(C)x y=0 (D) xy=0解析:抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为直线 x=-2,因为双曲线 - =1 与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,则双曲线的半焦距 c=2,a2+b2=4, 又因为|PF
5、|=5,所以点 P 的横坐标为 3,代入抛物线 y2=8x 得,y=2 ,则 P(3,2 ),因为3点 P 在双曲线上,则有 - =1, 联立,解得 a=1,b= ,所以双曲线方程为 x2- =1,其渐近线方程为 y= x.故选 D.7.椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=a 与椭圆相交于点 M,N,当FMN 的周长最大时,FMN的面积是( C )(A) (B) (C) (D)解析:设右焦点为 F,连接 MF,NF.因为|MF|+|NF|MN|,所以当直线 x=a 过右焦点时,FMN 的周长最大.由椭圆的定义可得FMN 的周长的最大值 4a=4 ,c= =1.把 c=1 代入椭圆标准方程
6、得+ =1,解得 y= ,所以此时FMN 的面积 S=22 = .故选 C.8.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)与椭圆 + =1 的焦点重合,离心率互为倒数,设 F1,F2为双曲线 C 的左、右焦点,P 为右支上任意一点,则 的最小值为( A )(A)4 (B)8 (C)16 (D)32解析:由椭圆 + =1,可得其焦点 F1(-1,0),F2(1,0),离心率为 ,所以双曲线的离心率 e=2=,解得 a=.设|PF 2|=t,由|PF 1|-|PF2|=2a,则|PF 1|=2a+t,4所以 = = =t+22 +2=4,当且仅当 t=即 t=|PF2|=1 时取等号,所以 的最小值
7、为 4.故选 A.9.已知双曲线 E: - =1(a0,b0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为双曲线 E 的两个焦点,且双曲线 E 的离心率是 2.直线 BD 的斜率为 k.则|k|等于( B )(A)2 (B) (C) (D)3解析:令 x=c,代入双曲线的方程可得 y=b = .由双曲线 E 的离心率是 2,可得 e=2,即 c=2a,b= = a,直线 AC 的斜率为 k,则|k|= = = =.即有|k|=.故选 B.10.已知点 A,B 是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右顶点,P 为双曲线上除顶点外的一点,记 kPA,kPB分别表示直线 PA,PB
8、 的斜率,若 kPAkPB=,则该双曲线的离心率为( C )(A)3 (B)2 (C) (D)解析:由题意知 A(-a,0),B(a,0),设 P(m,n),所以 kPAkPB= = ,5又点 P 在双曲线上,所以 - =1,化简得 n2= ,所以 kPAkPB= =.所以 e= =.故选 C.11.如图,已知椭圆 C1: +y2=1,曲线 C2:y=x2-1 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l与 C2相交于 A,B 两点,直线 MA,MB 分别与 C1相交于 D,E 两点,则 的值是( B )(A)正数 (B)0 (C)负数 (D)皆有可能解析:设 A(x1,y1),B(x2
9、,y2),过原点的直线 l:y=tx,联立得 x2-tx-1=0,则 x1+x2=t,x1x2=-1,所以 =(x1,y1+1)(x2,y2+1)=x1x2+(y1+1)(y2+1)=(t2+1)x1x2+t(x1+x2)+1=-(t2+1)+t2+1=0.而 = , = ,所以 = =0.故选 B.12.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分別为 A,B,点 M,N 是椭圆 C 上关于长轴对称的两点,若直线 AM 与 BN 相交于点 P,则点 P 的轨迹方程是( D )(A) x=a(y0)(B)y2=2b(|x|-a)(y0)(C)x2+y2=a2+b2(y0)(D) - =1(
10、y0)解析:由题意可知 A(-a,0),B(a,0),6设 M(x0,y0),N(x0,-y0),y00,P(x,y),y0,则直线 PA 的斜率 k= ,直线 PA 的方程 y= (x+a), 同理直线 PB 的斜率 k= ,直线 PB 的方程 y= (x-a), 得 y2= (x2-a2).由 + =1, = (a2- ),则 y2= (x2-a2),整理得 - =1(ab0)(y0),即点 P 的轨迹方程为 - =1(ab0)(y0). 故选 D.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)13.直线 ax-y+3=0 与圆(x-2) 2+(y-a
11、)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|2 ,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由圆的方程得圆心坐标为(2,a),半径 r=2,由 d2+( )2=r2=4,所以 d2=4- ,又因为圆心到直线 ax-y+3=0 的距离 d= ,|MN|2 ,7所以 ,解得 a-.答案:(-,-14.已知 a,b 为正数,且直线 ax+by-6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 互相平行,则 2a+3b 的最小值为 . 解析:因为直线 ax+by-6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 互相平行,所以 a(b-3)-2b=0 且 5a+120,所以 3a+2b=ab,即+=1,又 a,b 均为正
12、数,则 2a+3b=(2a+3b)( +)=4+9+ +13+2 =25.当且仅当 a=b=5 时上式等号成立.答案:25 15.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点(0,3)的直线与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D,若|AF|+|BF|=6,则点 D 的横坐标为 . 解析:设 AB 的中点为 H,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,设 A,B,H 在准线上的射影分别为 A,B,H,则|HH|= (|AA|+|BB|),由抛物线的定义可得,|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,|AF|+|BF|=6,即为|AA|+|BB|=6,
13、|HH|=6=3,即有 H 的横坐标为 2,设直线 AB:y=kx+3,代入抛物线方程,可得 k2x2+(6k-4)x+9=0,即有判别式(6k-4) 2-36k20,解得 kb0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,则 C 的离心率 e= . 解析:设椭圆的右焦点为 F1,在ABF 中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以ABF 为直角三角形,又因为斜边 AB 的中点为 O,所以|OF|=c=5,连接 AF1,因为 A,B 关于原点对称,所以|BF|=|AF 1|=8,所以 2a=14,a=7,所以离心率 e=
14、.答案:三、解答题(大本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知椭圆 C: + =1(ab0),焦距为 2,离心率 e 为.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过点 P(,1)作圆 O:x2+y2=的切线,切点分别为 M,N,直线 MN 与 x 轴交于点 F,过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,点 F 关于 y 轴的对称点为 G,求ABG 的面积的最大值.解:(1)因为椭圆 C: + =1(ab0),焦距为 2,离心率 e 为.所以由题意,2c=2,解得 c=1.由 e=,解得 a=2.所以 b= = .所以椭圆
15、C 的标准方程为 + =1.(2)由题意,得 O,M,P,N 四点共圆,该圆的方程为(x-) 2+(y-)2= ,9又圆 O 的方程为 x2+y2=,两圆的方程作差,得直线 MN 的方程为 x+2y-1=0,令 y=0,得 x=1,即点 F 的坐标为(1,0),则点 F 关于 y 轴的对称点为 G(-1,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 SABG =|GF|y1-y2|=|y1-y2|,所以 SABG 最大,|y 1-y2|就最大.由题意知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,由得(3m 2+4)y2+6my-9=0,所以 y1+y2= ,y1y2=
16、.则 SGAB =|GF|y1-y2|=|y1-y2|= = .令 t= ,则 t1,SGAB = = = .令 f(t)=3t+,则函数 f(t)在 ,+)上单调递增,在 t1,+)时单调递增,所以 f(t)f(1)=,所以 SGAB 3.故ABG 的面积的最大值为 3.18.(本小题满分 12 分)已知直线 y=-x+1 与椭圆 G: + =1(ab0)相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在直线l:x-2y=0 上,椭圆 G 的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2+y2=4 上.10(1)求椭圆 G 的标准方程;(2)已知点 C,D 分别为椭圆 G 的右顶点与上顶点,设 P 为第三
17、象限内一点且在椭圆 G 上,直线PC 与 y 轴交于点 M,直线 PD 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 CDNM 的面积为定值.(1)解:将直线 y=1-x 代入椭圆方程得,b2x2+a2(1-x)2=a2b2,即(b 2+a2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,即 AB 中点的横坐标是 ,纵坐标是 .由于线段 AB 的中点在直线 l:x-2y=0 上,则 a2=2b2,又 b2=a2-c2,则 a2=2c2,设右焦点(c,0)关于直线 x-2y=0 的对称点为(m,n),则 解得由于椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2
18、+y2=4 上,所以 + =4,得 c2=4,a2=8,b2=4,故椭圆方程为 + =1.(2)证明:设 P(m,n)(mb0)的焦距为 4,过焦点且垂直于 x 轴的弦长为 2 .(1)求椭圆 E 的方程;(2)过椭圆 E 右焦点的直线 l 交椭圆于点 M,N,设椭圆的左焦点为 F,求 的取值范围.解:(1)因为椭圆 E: + =1(ab0)的焦距是 4,所以焦点坐标是(-2,0),(2,0).由题意可得,椭圆 E 过(2, )点,所以 2a= +=4 ,则 a=2 ,b= =2,所以椭圆 E 的方程是 + =1.(2)由题意得,左焦点 F(-2,0),右焦点坐标为(2,0).若直线 l 垂直
19、于 x 轴,则点 M(2, ),N(2,- ). =(4, )(4,- )=14;若直线 l 不垂直于 x 轴,可设 l 的方程为 y=k(x-2),设点 M(x1,y1),N(x2,y2).联立得到(1+2k 2)x2-8k2x+8k2-8=0.则 x1+x2= ,x1x2= .所以 =(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(x1+2)(x2+2)+13k(x1-2)k(x2-2)=(1+k2)x1x2+2(1-k2)(x1+x2)+4(1+k2)= =14- ,因为 0b0)的离心率是 ,过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A,B 两点,|
20、AB|=2.(1)求椭圆方程;(2)过点 P(0, )的动直线 l 与椭圆 E 交于两点 M,N(不是椭圆的顶点),是否存在实数 ,使 + 为定值 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由椭圆的离心率 e= = ,则 a2=2b2,则|AB|= =2,则 b2=a,解得 a=2,b= ,所以椭圆的标准方程为 + =1.(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为y=kx+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),联立 得(1+2k 2)x2+4 kx+2=0,由韦达定理可知 x1+x2=- ,x1x2= ,从而, + =x1x2+y1y2+x 1x2+(y1- )(y2-
21、 )=(1+)(1+k2)x1x2+ k(x1+x2)+3=(1+)(1+k 2) + k(- )+3= =-2+ ,14所以当 =-7 时, + =-9,故存在常数 =-7,使得 + 为定值-9.22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为,点 B(4,0),F2为线段 A1B 的中点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若过点 B 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,已知直线 A1M 与 A2N 相交于点 G,试判断点 G 是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理
22、由.解:(1)设点 A1(-a,0),F2(c,0),由题意可知 c= ,即 a=4-2c. 又因为椭圆的离心率 e=,即 a=2c. 联立方程可得 a=2,c=1,则 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)根据椭圆的对称性猜测点 G 在与 y 轴平行的直线 x=x0上.假设当点 M 为椭圆的上顶点时,直线 l 的方程为 x+4y-4 =0,此时点 N(, ),则联立直线 : x-2y+2 =0 和直线 :3 x+2y-6 =0 可得点 G(1, ),据此猜想点 G 在直线 x=1 上,下面对猜想给予证明: 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程可得(3+4k 2)x2-32k2x+64k2-12=0,0.由韦达定理可得 x1+x2= ,x1x2= .(*)因为直线 :y= (x+2), :y= (x-2),15联立两直线方程得 (x+2)= (x-2)(其中 x 为 G 点的横坐标),即证: = ,即 3k(x1-4)(x2-2)=-k(x2-4)(x1+2),即证 2x1x2-5(x1+x2)+8=0.将(*)代入上式可得 - +8=016k2-3-20k2+3+4k2=0,此式明显成立,原命题得证.所以点 G 在定直线 x=1 上.
