1、1第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法 题号垂直关系的基本问题 1,6,11直线与平面垂直的判定与性质 2,8,9,12平面与平面垂直的判定与性质 3,4,7线面角与二面角 5,10,13,14基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017南阳、信阳等六市一模)设直线 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是( D )(A)若 m,n,mn,则 (B)若 m,n,mn,则 (C)若 m,n,mn,则 (D)若 m,n,mn,则 解析:若 m,n,mn,则 、 位置关系不确定,选项 A 不正确;若 m,则 中存在直线 c 与 m 平行,mn,
2、n,则 c,又因为 c,所以 ,选项 B 不正确;若m,n,mn,则 , 可以相交,选项 C 不正确;若 m,mn,则 n,又 n,所以 ,选项 D 正确.故选 D.2.已知平面 与平面 相交,直线 m,则( C )(A) 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直(B) 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直(C) 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直(D) 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直解析:如图,在平面 内的直线若与 , 的交线 a 平行,则有 m 与之垂直.但却不一定在 内有与 m 平行的直线,只有当 时才存在.故选 C.
3、3.如图,在斜三棱柱 ABCA1B1C1中,BAC=90,BC 1AC,则点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在( A )(A)直线 AB 上(B)直线 BC 上(C)直线 AC 上(D)ABC 的内部解析:连接 AC1,因为 ACAB,ACBC 1,ABBC 1=B,所以 AC平面 ABC1,又 AC平面 ABC,所以平面 ABC1平面 ABC,所以点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上,故选 A.24.如图,在四面体 DABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是( C )(A)平面 ABC平面 ABD(B)平面 ABD平面 B
4、DC(C)平面 ABC平面 BDE,且平面 ADC平面 BDE(D)平面 ABC平面 ADC,且平面 ADC平面 BDE解析: 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BEAC,同理有 DEAC,于是 AC平面 BDE.因为AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD,所以平面 ACD平面 BDE,所以选 C.5.导学号 38486152 已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为 的正三角形,若 P 为底面 A1B1C1的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( B )(A) (B) (C) (D)解析:取正三角
5、形 ABC 的中心 O,连接 OP,则PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角.因为底面边长为 ,所以AD= =,AO=AD=1.三棱柱的体积为 ( )2 AA1=,解得 AA1= ,即 OP=AA1= ,所以 tanPAO= = ,即PAO=.6.设 , 是空间中两个不同的平面,m,n 是平面 及 外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (填序号). 解析:因为当 n,m 时,平面 及 所成的二面角与直线 m,n 所成的角相等或互补,所以若 mn,则 ,从而由正确;同理也正确.答案:或7.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA
6、底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析:由定理可知,BDPC.所以当 DMPC 时,即有 PC平面 MBD,而 PC平面 PCD,所以平面 MBD平面 PCD.答案:DMPC(答案不唯一)38.如图,PA圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC上的正投影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面 PBC.其中正确结论的序号是 . 解析:由题意知 PA平面 ABC,所以 PABC.又 ACBC,PAAC=A,所
7、以 BC平面 PAC.所以 BCAF.因为 AFPC,BCPC=C,所以 AF平面 PBC,所以 AFPB,AFBC.又 AEPB,AEAF=A,所以 PB平面 AEF.所以 PBEF.故正确.答案:能力提升(时间:15 分钟)9.导学号 38486153 如图,正方体 AC1的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.则以下命题中,错误的是( D )(A)点 H 是A 1BD 的垂心(B)AH 垂直于平面 CB1D1(C)AH 延长线经过点 C1(D)直线 AH 和 BB1所成角为 45解析:对于 A,由于 AA1=AB=AD,所以点 A 在平面 A1BD 上的射影必到点
8、 A1,B,D 的距离相等,即点 H 是A 1BD 的外心,而 A1B=A1D=BD,故点 H 是A 1BD 的垂心,命题 A 是真命题;对于 B,由于 B1D1BD,CD 1A 1B,故平面 A1BD平面 CB1D1,而 AH平面 A1BD,从而 AH平面CB1D1,命题 B 是真命题;对于 C,由于 AH平面 CB1D1,因此 AH 的延长线经过点 C1,命题 C 是真命题;对于 D,由 C 知直线 AH 即是直线 AC1,又直线 AA1BB 1,因此直线 AC1和 BB1所成的角就等于直线 AA1与 AC1所成的角,即A 1AC1,而 tanA 1AC1= = ,因此命题 D 是假命题.
9、10.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,ABC=60,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD=1,则二面角 BACD 的余弦值为( A )4(A) (B) (C) (D)解析:在菱形 ABCD 中连接 BD 交 AC 于 O 点,则 ACBD,在折起后的图中,由四边形 ABCD 为菱形且边长为 1,则 DO=OB= ,由于 DOAC,BOAC,因此DOB 就是二面角 BACD 的平面角,由BD=1 得 cosDOB= =.11.(2016江西上饶质检)已知 m,n 是两条不相同的直线, 是两个不重合的平面,现有以下说法:若 ,n,m,则 mn;若 m,m,n,则 n;若 mn,m,n,则
10、 ;若 m,n,则 mn;若 ,m,n,则 mn.其中正确说法的序号为 . 解析:对于,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此不正确;对于,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知 , 平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n,因此正确;对于,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,正确;对于,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此不正确;对于,m 与 n 有可能平行,因此不正确.综上所述,其中正确的说法有 .答案:12.如图,在直角梯形 ABCD
11、中,BCDC,AEDC,且 E 为 CD 的中点,M,N 分别是 AD,BE 的中点,将三角形 ADE 沿 AE 折起,则下列说法正确的是 .(写出所有正确说法的序号) 5不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN平面 DEC;不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MNAE;不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MNAB;在折起过程中,一定存在某个位置,使 ECAD.解析:由已知,在未折叠的原梯形中,ABDE,BEAD,所以四边形 ABED 为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.过点 M 作 MPDE,交 AE 于点 P,连接 NP.因为 M,
12、N 分别是 AD,BE 的中点,所以点 P 为 AE 的中点,故 NPEC.又 MPNP=P,DECE=E,所以平面 MNP平面 DEC,故 MN平面 DEC,正确;由已知,AEED,AEEC,所以 AEMP,AENP,又 MPNP=P,所以 AE平面 MNP,又 MN平面 MNP,所以 MNAE,正确;假设 MNAB,则 MN 与 AB 确定平面 MNBA,从而 BE平面 MNBA,AD平面 MNBA,与 BE 和 AD 是异面直线矛盾,错误;当 ECED 时,ECAD.因为 ECEA,ECED,EAED=E,所以 EC平面 AED,AD平面 AED,所以 ECAD,正确.答案:13.(20
13、17广州市一模)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,BDDC,点 E 是 BC 边的中点,将ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD平面 BCD,连接 AE,AC,DE,得到如图 2 所示的几何体.(1)求证:AB平面 ADC;(2) 若 AD=1,AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 ,求点 B 到平面 ADE 的距离.(1)证明:因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,又 BDDC,所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD,所以 DCAB.6又因为折叠前后均有 ADAB,DCAD=D,所以 AB平面 ADC.(2)解:由(1)知
14、 DC平面 ABD,所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD,即CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角.依题意 tanCAD= = ,AD=1,所以 CD= .设 AB=x(x0),则 BD= .因为ABDDCB,所以 = ,即= ,解得 x= ,故 AB= ,BD= ,BC=3.由于 AB平面 ADC,ABAC,E 为 BC 的中点,由平面几何知识得 AE= =,同理 DE= =,所以 SADE =1 = .因为 DC平面 ABD,所以 =CDSABD = .设点 B 到平面 ADE 的距离为 d,则 dSADE = = = = ,所以 d= ,即点 B 到平面 ADE
15、 的距离为 .14.导学号 38486154 已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上的动点.(1)求四棱锥 PABCD 的体积;(2)是否不论点 E 在何位置,都有 BDAE?证明你的结论.7(3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 DAEB 的大小.解:(1)由三视图可知,四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC底面 ABCD,且 PC=2.所以 =S 正方形 ABCDPC=122=,即四棱锥 PABCD 的体积为.(2)不论点 E 在何位置,都有 BDAE.证明如下:连接 AC,因为 ABCD 是正方形,所以 BDAC.因为 PC底面 ABCD,且 BD平面 ABCD,所以 BDPC.又因为 ACPC=C,所以 BD平面 PAC.因为不论点 E 在何位置,都有 AE平面 PAC.所以不论点 E 在何位置,都有 BDAE.(3)在平面 DAE 内过点 D 作 DFAE 于 F,连接 BF.因为 AD=AB=1,DE=BE= = ,AE= ,所以 RtADERtABE,从而ADFABF,所以 BFAE.所以DFB 为二面角 DAEB 的平面角.在 RtADE 中,DF= = = ,所以 BF= .又 BD= ,在DFB 中,由余弦定理得 cosDFB= =-,所以DFB= ,即二面角 DAEB 的大小为 .
