1、第5节 古典概型与几何概型,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,解题规范夯实,知识梳理自测 把散落的知识连起来,1.古典概型的特点是什么? 提示:基本事件个数有限、每个基本事件发生的可能性相同. 2.几何概型的特点是什么? 提示:基本事件个数无限,每个基本事件发生的可能性相同.,【教材导读】,知识梳理,1.古典概型 (1)古典概型的特征:有限性:在一次试验中,可能出现的结果是 的,即只有有限个不同的基本事件;等可能性:每个基本事件出现的可能性是的. (2)古典概型的概率计算的基本步骤:判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件为A; 分别计算基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事
2、件个数m;利用古典概型的概率公式P(A)= ,求出事件A的概率.,有限,相等,2.几何概型 (1)概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(或面积或体积)成 ,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)几何概型的基本特点:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 多个;每个基本事件出现的可能性 . (3)计算公式: P(A)= .,比例,无限,相等,双基自测,1.设xyN|0y9,则log2xN的概率为( ),B,2.(2017福建宁德第三次质检)已知M是圆周上的一个定点,若在圆周上任取一点N,连接MN,则弦MN的长不小于圆半径的概率是( ),D,3.已知一只蚂蚁在圆
3、:x2+y2=1的内部任意随机爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|1内的概率是( ),A,4.(2017四川成都七中6月高考热身)有一个正方体的玩具,六个面分别标注了数字1,2,3,4,5,6,甲乙两位学生进行如下游戏:甲先抛掷一次,记下正方体朝上的数字为a,再由乙抛掷一次,朝上数字为b,若|a-b|1就称甲、乙两人“默契配合”,则甲、乙两人“默契配合”的概率为( ),D,5.(2017湖北武汉四月调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P,以MP,NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( ),A,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,古典概
4、型,【例1】 (1)(2017山东卷)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ),(2) 导学号 38486209 (2017福建泉州考前适应性模拟)抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子,其4个面分别标有数字1,2,3,4,记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a(若两数相等,则取该数),平均数为b,则事件“a-b=1”发生的概率为( ),(3)(2017陕西西安铁一中模拟)如果一个a位十进制数a1a2a3an的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序,即满足:a1a3a5a6,我们称这种数为“波浪数”.从1,2,3,4,5组成的数字
5、不重复的五位数中任取一个五位数abcde,这个数为“波浪数”的概率是( ),反思归纳 解古典概型题的关键是求出基本事件的总数,以及随机事件含有的基本事件个数,解题中要注意分类、分步,全面考虑各种可能,必要时利用对立事件概率之间的关系从反面求解.,跟踪训练1:(1)(2017重庆八中适应性月考)田忌与齐王赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,则齐王的马获胜的概率为( ),(2)(2017山西孝义考前热身)某公司准备招聘一批员工,有20人经过初试,其中有5人是与公
6、司所需专业不对口,其余都是对口专业,在不知道面试者专业情况下,现依次选取2人进行第二次面试,则选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是( ),考点二,几何概型,【例2】 (1)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ),答案:(1)B,(2)(2017江苏卷)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是 .,反思归纳 几何概型一般就是直线上的、平面上的和空间中的,直线上的几何概型的概率表现为线段的长度之比,平面上的就是区域面积的比,空间中
7、的就是体积之比等.解答几何概型试题要善于根据这些特点寻找基本事件所在线、面、体,寻找随机事件所在的线、面、体,把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算.正确确定基本事件占有的空间位置和随机事件在这个位置中的情况,然后计算相关的量,再根据几何概型的公式计算概率.,跟踪训练2:(1)(2017陕西渭南二模)已知函数f(x)=log2x,x1,8,则不等式1f(x)2成立的概率是( ),(2) 导学号 38486210 一个多面体的三视图和直观图如图所示,M是AB的中点,一只蜻蜓在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为( ),考点三,古典概型与几何概型的
8、综合,【例3】 导学号 18702580 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次,其中O为圆心,且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费了218元,第一次转动获得了20元,第二次获得了10元,则其共获得了30元优惠券)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动.,(1)若顾客甲消费了128元,求他获得优惠券金额大于0元的概率?,(2)若顾客乙消费了280元,求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率?,反思归纳 区分问题是几何概型还是
9、古典概型是解题的关键,其共同的特征是基本事件发生的可能性相同,不同点是“几何概型中基本事件个数是无限的”、“古典概型中基本事件个数是有限的”.,跟踪训练3: 导学号 18702581 某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如下表,大会组委会为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐,其中亚军队有5人.,(1)求季军队的男运动员人数;,(2)从前排就坐的亚军队5人(3男2女)中随机抽取2人上台领奖,请求出有女生上台领奖的概率;,(3)抽奖活动中,运动员通过操作按键,使电脑自动产生0,4内的两个均匀随机数x,y
10、,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序.若电脑显示“中奖”,则运动员获相应奖品;若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求运动员获得奖品的概率.,备选例题,【例1】 (2017福建泉州3月质检)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校3 000名学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级,现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示.,(1)求a,b,c的值;,(2)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数;,(3)已知已采用分层抽样的方法,从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训;现再从这6人中任选2人参
11、加市级校园安全知识竞赛,求选取的2人中有1人为“优秀”的概率.,【例2】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,古典概型与统计的综合 【典例】(12分)(2016江西省八所重点中学联考)2015年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段: 60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90)后得到如图的
12、频率分布直方图.,审题指导,(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值; (2)若从车速在60,70)的车辆中任意抽取2辆,求车速在65,70)的车辆恰有一辆的概率.,满分展示 解:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于77.5. 2分 设中位数为x,则中位数的估计值为 0.015+0.025+0.045+0.06(x-75)=0.5, 解得x=77.5, 即中位数的估计值为77.5. 5分,(2)从题图中可知,车速在60,65)的车辆数为m1=0.01540=2(辆), 6分 车速在65,70)的车辆数为m2=0.02540=4(辆). 7分 车速在60,65)的车
13、辆设为a,b,车速在65,70)的车辆设为c,d,e,f,则所有基本事件有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f) (b,c),(b,d),(b,e),(b,f) (c,d),(c,e),(c,f) (d,e),(d,f) (e,f)共15种. 10分,其中车速在65,70)的车辆恰有一辆的事件有 (a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)共8种. 11分 所以,车速在65,70)的车辆恰有一辆的概率为P= . 12分,答题模板 第一步:据频率分布直方图估计众数; 第二步:估计中位数(即求“中线”); 第三步:求在区间60,65)和65,70)的车辆数; 第四步:求基本事件的个数、随机事件含有的基本事件个数; 第五步:按照古典概型公式求出概率.,
