1、151 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题知识点一 直线与平面平行的判定定理思考 如图，一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 内，把这块木板绕 AB 转动，在转动过程中， AB 的对边 CD(不落在 内)和平面 有何位置关系？答案 平行梳理 判定定理表示定理 图形 文字 符号直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与
2、此平面平行 Error!a 知识点二 平面与平面平行的判定定理思考 1 三角板的一条边所在平面与平面 平行，这个三角板所在平面与平面 平行吗？答案 不一定思考 2 三角板的两条边所在直线分别与平面 平行，这个三角板所在平面与平面 平行吗？答案 平行梳理 判定定理2表示定理 图形 文字 符号平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行Error! 1若直线 l 上有两点到平面 的距离相等，则 l平面 .( )2若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线平行( )3若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行( )4若一个
3、平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行( )类型一 直线与平面平行的判定问题命题角度 1 以锥体为背景证明线面平行例 1 如图， S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M， N 分别是 SA， BD 上的点，且 .AMSM DNNB求证： MN平面 SBC.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明证明 连接 AN 并延长交 BC 于点 P，连接 SP.因为 AD BC，所以 ，DNNB ANNP3又因为 ，所以 ，所以 MN SP，AMSM DNNB AMSM ANNP又 MN平面 SBC， SP平面 SBC，所以 MN平面 SBC.引申探究
4、本例中若 M， N 分别是 SA， BD 的中点，试证明 MN平面 SBC.证明 连接 AC，由平行四边形的性质可知， AC 必过 BD 的中点 N，在 SAC 中， M， N 分别为SA， AC 的中点，所以 MN SC，又因为 SC平面 SBC， MN平面 SBC，所以 MN平面 SBC.反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理跟踪训练 1 在四面体 A BCD 中， M， N 分别是 ACD， BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_考
5、点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明答案 平面 ABD 与平面 ABC解析 如图，取 CD 的中点 E，连接 AE， BE， MN.则 EM MA12， EN BN12，所以 MN AB.又 AB平面 ABD， MN平面 ABD，所以 MN平面 ABD，同理， AB平面 ABC， MN平面 ABC，所以 MN平面 ABC.命题角度 2 以柱体为背景证明线面平行4例 2 在三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别是棱 BC， CC1的中点，在线段 AB 上是否存在一点M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明解 存在证
6、明如下：如图，取线段 AB 的中点为 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1的交点由已知得， O 为 AC1的中点，连接 MD， OE，则 MD， OE 分别为 ABC， ACC1的中位线，所以 MD AC 且 MD AC， OE AC 且 OE AC，12 12因此 MD OE 且 MD OE.连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE MO.因为直线 DE平面 A1MC， MO平面 A1MC，所以直线 DE平面 A1MC.即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)，使直线 DE平面 A1MC.反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平
7、行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线5跟踪训练 2 如图所示，已知长方体 ABCD A1B1C1D1.(1)求证： BC1平面 AB1D1；(2)若 E， F 分别是 D1C， BD 的中点，求证： EF平面 ADD1A1.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明证明 (1) BC1平面 AB1D1， AD1平面 AB1D1， BC1 AD1， BC1平面 AB1D1.(2)点 F 为 BD 的中点， F 为 AC 的中点，又点 E 为 D1C 的中点， EF AD1， EF平面 ADD1A1， AD1平面 ADD1A1， EF平面
8、 ADD1A1.类型二 平面与平面平行的判定例 3 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分別是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1)B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的证明证明 (1)因为 G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点，所以 GH 是 A1B1C1的中位线，所以 GH B1C1.又因为 B1C1 BC，所以 GH BC，所以 B， C， H， G 四点共面(2)因为 E， F 分别是 AB， AC 的中点，所以 EF BC.因为 EF平面 BCHG
9、， BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.因为 A1G EB， A1G EB，6所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E GB.因为 A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.因为 A1E EF E，所以平面 EFA1平面 BCHG.反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)转化为线线平行：平面 内的两条相交直线与平面 内的两条
10、相交直线分别平行，则 .(4)利用平行平面的传递性：若 ， ，则 .跟踪训练 3 如图所示，已知 A 为平面 BCD 外一点， M， N， G 分别是 ABC， ABD， BCD的重心求证：平面 MNG平面 ACD.考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的证明证明 如图，设 BM， BN， BG 分别交 AC， AD， CD 于点 P， F， H，连接 PF， PH.由三角形重心的性质，得 2，BMMP BNNF BGGH MG PH，又 PH平面 ACD， MG平面 ACD， MG平面 ACD.同理可证 MN平面 ACD，又 MN MG M， MN平面 MNG， MG平面 MNG，7
11、平面 MNG平面 ACD.1在正方体 ABCD A B C D中， E， F 分别为底面 ABCD 和底面 A B C D的中心，则正方体的六个面中与 EF 平行的平面有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 D解析 由直线与平面平行的判定定理知， EF 与平面 AB，平面 BC，平面 CD，平面AD均平行故与 EF 平行的平面有 4 个2直线 a， b 为异面直线，过直线 a 与直线 b 平行的平面( )A有且只有一个 B有无数多个C至多一个 D不存在考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析 在直线 a 上任
12、选一点 A，过点 A 作 b b，则 b是唯一的，因为 a b A，所以a 与 b确定一个平面并且只有一个平面3在正方体 EFGH E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )A平面 E1FG1与平面 EGH1B平面 FHG1与平面 F1H1GC平面 F1H1H 与平面 FHE18D平面 E1HG1与平面 EH1G考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定答案 A解析 如图， EG E1G1， EG平面 E1FG1，E1G1平面 E1FG1， EG平面 E1FG1.又 G1F H1E，同理可证 H1E平面 E1FG1，又 H1E EG E， H1E， EG平面 EGH1，平
13、面 E1FG1 EGH1.4经过平面 外两点，作与 平行的平面，则这样的平面可以作( )A1 个或 2 个 B0 个或 1 个C1 个 D0 个考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定答案 B解析 当经过两点的直线与平面 平行时，可作出一个平面 ，使 .当经过两点的直线与平面 相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面 相交，不能作出与平面 平行的平面故满足条件的平面有 0 个或 1个5.如图，四棱锥 P ABCD 中， AB AD， BAD60， CD AD， F， E 分别是 PA， AD 的中点，求证：平面 PCD平面 FEB.9考点 平面与平面平行的
14、判定题点 平面与平面平行的判定证明 连接 BD，在 ABD 中， BAD60， AB AD， ABD 是等边三角形， E 为 AD 的中点， BE AD，又 CD AD，在四边形 ABCD 中， BE CD.又 CD平面 FEB， BE平面 FEB， CD平面 FEB.在 APD 中， EF PD，同理可得 PD平面 FEB.又 CD PD D，平面 PCD平面 FEB.1直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化2证明面面平行的一般思路：线线平行线面平行面面平行3准确把握线面平行及面面平行两个判定
15、定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键一、选择题1能保证直线 a 与平面 平行的条件是( )A b ， a bB b ， c ， a b， a cC b ， A， B a， C， D b，且 AC BDD a ， b ， a b考点 直线与平面平行的判定10题点 直线与平面平行的判定答案 D解析 由线面平行的判定定理可知，D 正确2如果两直线 a b 且 a ，则 b 与 的位置关系是( )A相交 B b C b D b 或 b考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 D解析 由 a b 且 a 知， b 与 平行或 b .3平面 与 ABC 的两边 AB， AC 分别
16、交于 D， E，且 AD DB AE EC，如图所示，则 BC与 的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D BC考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析 在 ABC 中，因为 AD DB AE EC，所以 BC DE.因为 BC ， DE ，所以 BC .4若六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定答案 D解析 由图知平面 ABB1A1平面 EDD1E1，平面 BCC1B1平面 FEE1F1，平面 AFF1A1平面CDD1
17、C1，平面 ABCDEF平面 A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有 4 对115在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为 AB， AD 上的点，且 AE EB AF FD14，又H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A BD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形B EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C HG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形D EH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 B解析 易证 EF平面 BCD.由 AE EB AF FD 知， EF BD，且 EF B
18、D.15又因为 H， G 分别为 BC， CD 的中点，所以 HG BD，且 HG BD.12综上可知， EF HG， EF HG，所以四边形 EFGH 是梯形，且 EF平面 BCD.6如图，下列正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 M， N， P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB平面 MNP 的是( )考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 C12解析 在图 A，B 中，易知 AB A1B1 MN，所以 AB平面 MNP；在图 D 中，易知 AB PN，所以 AB平面 MNP.故选 C.7平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为( )A平行
19、 B相交C平行或相交 D可能重合考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定答案 C解析 若三点分布于平面 的同侧，则 与 平行，若三点分布于平面 的两侧，则 与 相交8已知直线 l， m，平面 ， ，下列说法正确的是( )A l ， l B l ， m ， l ， m C l m， l ， m D l ， m ， l ， m ， l m M 考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定答案 D解析 如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB CD，则 AB平面 DC1， AB平面 AC，但是平面 AC 与平面 DC1不平行，所以 A 错误；取 BB1的中点 E，
20、 CC1的中点 F，可证 EF平面 AC，B1C1平面 AC.EF平面 BC1， B1C1平面 BC1，但是平面 AC 与平面 BC1不平行，所以 B 错误；AD B1C1， AD平面 AC， B1C1平面 BC1，但是平面 AC 与平面 BC1不平行，所以 C 错误；很明显 D 是面面平行的判定定理，所以 D 正确二、填空题9设 m， n 是平面 外的两条直线，给出下列三个推断： m n； m ； n ，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一13个_考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 (或 )解析 若 m n， m ，则 n ，同样，若 m n， n ，
21、则 m .10如图，在五面体 FEABCD 中，四边形 CDEF 为矩形， M， N 分别是 BF， BC 的中点，则 MN与平面 ADE 的位置关系是_考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 平行解析 M， N 分别是 BF， BC 的中点， MN CF.又四边形 CDEF 为矩形， CF DE， MN DE.又 MN平面 ADE， DE平面 ADE， MN平面 ADE.11如图是正方体的平面展开图在这个正方体中， BM平面 ADNE； CN平面ABFE；平面 BDM平面 AFN；平面 BDE平面 NCF.以上四个说法中正确的是_考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面
22、面平行的相互转化答案 解析 以 ABCD 为下底面还原正方体，如图14则易知四个说法都是正确的12.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G， H 分别是棱 CC1， C1D1， D1D， CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足_时，有 MN平面B1BDD1.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 M线段 FH解析 HN BD， HF DD1， HN HF H， BD DD1 D，平面 NHF平面 B1BDD1，故线段 FH 上任意一点 M 与 N 连接，都有 MN平面 B1BDD1.三、解答题1
23、3如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB， A1D1的中点分别为 M， N，求证： MN平面B1D1DB.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定15证明 如图，取 BD 的中点 O，连接 MO， D1O，则 OM AD 且OM AD， ND1 A1D1， AD A1D1，且 AD A1D1，12 12 OM ND1，且 OM ND1，四边形 OMND1为平行四边形， MN OD1.又 MN平面 B1D1DB， OD1平面 B1D1DB， MN平面 B1D1DB.四、探究与拓展14在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C
24、1， BB1的中点，给出下列四个推断： FG平面 AA1D1D； EF平面 BC1D1； FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1.其中推断正确的序号是( )A B C D考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F， G 分别是棱 A1B1， B1C1， BB1的中点， FG BC1. BC1 AD1， FG AD1， FG平面 AA1D1D，AD1平面 AA1D1D， FG平面 AA1D1D，故正确； EF A1C1， A1C1与平面 BC1D1相交， EF与平面 BC1D1相交，故错误； FG B
25、C1， FG平面 BC1D1， BC1平面 BC1D1， FG平面 BC1D1，故正确； EF 与平面 BC1D1相交，平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故错误故选 A.1615如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?考点 平面与平面平行的判定题点 平面与平面平行的判定解 当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO. Q 为 CC1的中点， P 为 DD1的中点， QB PA，又 O 为 DB 的中点， D1B PO.又 PO PA P， BQ D1B B，平面 D1BQ平面 PAO.
