1、161 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题知识点一 直线与平面垂直的定义思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案 不变，90.梳理 线面垂直的概念定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法 l 有关概念直线 l 叫作平面 的垂线，平面 叫作直线 l 的垂面，它们唯一的公共点 P 叫作垂足图示画法 画直线与平面垂直时，通常把直
2、线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD， DC 与桌面接触)观察折痕 AD 与桌面的位置关系思考 1 折痕 AD 与桌面一定垂直吗？答案 不一定思考 2 当折痕 AD 满足什么条件时， AD 与桌面垂直？答案 当 AD BD 且 AD CD 时，折痕 AD 与桌面垂直梳理 判定定理2文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l a， l b， a ， b ， a b Al 图形语言知识点三 二面角思考 1 观察教室内门与墙面，当门绕着门
3、轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案 二面角思考 2 平时，我们常说“把门开大一点” ，在这里指的是哪个角大一点？答案 二面角的平面角梳理 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫作二面角的棱两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法以直线 AB 为棱，半平面 ， 为面的二面角，记作二面角面 AB .(4)二面角的平面角：若有 O l； OA ， OB ； OA l， OB l，则二面角 l 的平面角是 AOB.知识点四 平面与平面垂直思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做
4、成“铅锤” ，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案 都是垂直梳理 (1)平面与平面垂直的概念定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3画法：记法： .(2)判定定理文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言 l ， l 1若直线 l平面 ，则 l 与平面 内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )2若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l .( )3若 l ，则过 l 有无数个平面与 垂直( )4两垂直平面
5、的二面角的平面角大小为 90.( )类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解例 1 下列命题中，正确的序号是_若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l ；若直线 l 不垂直于平面 ，则 内没有与 l 垂直的直线；若直线 l 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 解析 当直线 l 与平面 内的无数条直线垂直时， l 与 不一定垂直，所以不正确；当l 与 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 垂直，所以不正确；当 l 与 不垂直时，
6、l 可能与 内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直4线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线跟踪训练 1 (1)若三条直线 OA， OB， OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于( )A平面 OAB B平面 OACC平面 OBC D平面 ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)考点 直线与
7、平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 (1)C (2)解析 (1) OA OB， OA OC， OB OC O， OB， OC平面 OBC， OA平面 OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件类型二 线面垂直的判定例 2 如图，已知 PA 垂直于 O 所在的平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上任意一点，求证：BC平面 PAC.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 PA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC.又 AB
8、 是 O 的直径， BC AC.而 PA AC A， PA， AC平面 PAC， BC平面 PAC.引申探究 若本例中其他条件不变，作 AE PC 交 PC 于点 E，求证： AE平面 PBC.5证明 由例 2 知 BC平面 PAC，又 AE平面 PAC， BC AE. PC AE，且 PC BC C， PC， BC平面 PBC， AE平面 PBC.反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于
9、这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面跟踪训练 2 如图，已知 PA 垂直于 O 所在的平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上任意一点，过点 A 作 AE PC 于点 E，作 AF PB 于点 F，求证： PB平面 AEF.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 由引申探究知 AE平面 PBC. PB平面 PBC， AE PB，又 AF PB，且 AE AF A， AE， AF平面 AEF， PB平面 AEF.类型三 面面垂直的判定例 3 如图所示，在四棱锥 S ABCD 中，底面四边形 ABCD 是平行四边形， SC平面ABCD
10、， E 为 SA 的中点6求证：平面 EBD平面 ABCD.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 连接 AC，与 BD 交于 O 点，连接 OE. O 为 AC 的中点， E 为 SA 的中点， EO SC. SC平面 ABCD， EO平面 ABCD.又 EO平面 EBD，平面 EBD平面 ABCD.反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线(2)证明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角跟踪训练 3 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ACB90， AC AA1
11、， D12是棱 AA1的中点证明：平面 BDC1平面 BDC.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 由题设知 BC CC1，BC AC， CC1 AC C， CC1， AC平面 ACC1A1，所以 BC平面 ACC1A1.7又 DC1平面 ACC1A1，所以 DC1 BC.由题设知 A1DC1 ADC45，所以 CDC190，即 DC1 DC.又 DC BC C， DC， BC平面 BDC，所以 DC1平面 BDC.又 DC1平面 BDC1，故平面 BDC1平面 BDC.类型四 与二面角有关的计算例 4 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求二面角 B A1
12、C1 B1的正切值考点 二面角题点 看图索角解 取 A1C1的中点 O，连接 B1O， BO.由题意知 B1O A1C1，又 BA1 BC1， O 为 A1C1的中点，所以 BO A1C1，所以 BOB1即是二面角 B A1C1 B1的平面角因为 BB1平面 A1B1C1D1， OB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1 OB1.设正方体的棱长为 a，则 OB1 a，22在 Rt BB1O 中，tan BOB1 ，BB1OB1 a22a 2所以二面角 B A1C1 B1的正切值为 .28反思与感悟 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小
13、或三角函数值，其步骤为作角证明计算(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等跟踪训练 4 如图， AB 是 O 的直径， PA 垂直于 O 所在的平面， C 是圆周上的一点，且PA AC，求二面角 P BC A 的大小考点 二面角题点 看图索角解 由已知 PA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC. AB 是 O 的直径，且点 C 在圆周上， AC BC.又 PA AC A， PA， AC平面 PAC， BC平面 PAC.又 PC平面 PAC， PC BC.又 BC 是二面角 P BC A 的棱， PCA 是二面角 P BC A 的平面角由
14、PA AC 知， PAC 是等腰直角三角形， PCA45，即二面角 P BC A 的大小是 45.1已知直线 m， n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 B解析 若异面直线 m， n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在92已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出 m 的是( )A ，且 m B m n，且 n C m n，且 n D m n，且 n 考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 B
15、解析 A 中，由 ，且 m ，知 m ；B 中，由 n ，知 n 垂直于平面 内的任意直线，再由 m n，知 m 也垂直于 内的任意直线，所以 m ，符合题意；C，D 中， m或 m 或 m 与 相交，不符合题意，故选 B.3如图， l，点 A， C ，点 B ，且 BA ， BC ，那么直线 l 与直线 AC的关系是( )A异面 B平行C垂直 D不确定考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 C解析 BA ， l， l ， BA l.同理 BC l，又 BA BC B， l平面 ABC. AC平面 ABC， l AC.4三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， AB10，
16、 BC8， CA6，则二面角 P AC B 的73大小为_考点 二面角题点 看图索角答案 60解析 由题意易得点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是 AB 的中点取 AC 的中点 Q，连接 OQ，则OQ BC.10由题意可得 ABC 是直角三角形，且 ACB90， AQO90，即 OQ AC.又 PA PC， PQ AC， PQO 即是二面角 P AC B 的平面角 PA ， AQ AC3， PQ8.7312又 OQ BC4，cos PQO ，12 OQPQ 12 PQO60，即二面角 P AC B 的大小为 60.5.如图，在四面体 ABCD 中， CB CD， AD BD，且 E， F
17、分别是 AB， BD 的中点求证：平面 EFC平面 BCD.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 E， F 分别是 AB， BD 的中点， EF AD，又 AD BD， EF BD. CB CD， F 是 BD 的中点， CF BD.又 EF CF F， EF， CF平面 EFC， BD平面 EFC.又 BD平面 BCD，平面 EFC平面 BCD.111.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若 a b， a ，则 b ；若 ， a ，则 a .2证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；
18、(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直3证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的一、选择题1已知 l ，则过 l 与 垂直的平面( )A有 1 个 B有 2 个C有无数个 D不存在考点 平面与平面垂直的判定题点 判定两平面垂直答案 C解析 过直线 l 的平面都与 垂直2过两点与一个已知平面垂直的平面( )A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在考点 平面与平面垂直的判定
19、题点 判定两平面垂直答案 C解析 若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直3下列说法中，正确的有( )12如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过直线 l 外一点 P，有且仅有一个平面与 l 垂直；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内A2 个 B3 个C4 个 D5 个考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答
20、案 B解析 不正确，其他三项均正确4从空间一点 P 向二面角 l 的两个面 ， 分别作垂线 PE， PF， E， F 为垂足，若 EPF60，则二面角 l 的平面角的大小是( )A60 B120C60或 120 D不确定考点 二面角题点 求二面角的大小答案 C解析 若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120；若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60.5三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA， PB， PC 两两垂直， O 是顶点 P 在底面 ABC 上的射影，则( )A S ABC S PBC S OBCB S S OBCS ABC2 PBCC2 S PBC S OBC S ABCD
21、2 S OBC S PBC S ABC答案 B解析 如图，由题设，知 O 是垂心，且有 AP PD，所以 PD2 ODAD，即 S S2 PBCOBCS ABC.6如图， O 为正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是( )13A A1D B AA1C A1D1 D A1C1考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 D解析 由题易知， A1C1平面 BB1D1D，又 OB1平面 BB1D1D， A1C1 B1O.7在正方体 ABCD A1B1C1D1中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1 BD A 的正切值为(
22、)A. B. C. D.32 22 2 3考点 二面角题点 求二面角的大小答案 C解析 如图，连接 AC，交 BD 于点 O，连接 A1O，则 O 为 BD 中点因为 A1D A1B，所以 A1O BD.又因为在正方形 ABCD 中，AC BD，所以 A1OA 为二面角 A1 BD A 的平面角设 AA11，则 AO .22所以 tan A1OA .122 2二、填空题8在 Rt ABC 中， D 是斜边 AB 的中点， AC6， BC8， EC平面 ABC，且 EC12，则ED_.考点 线、面平行、垂直的综合应用14题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 13解析 如图，在 Rt ABC 中
23、，CD AB.12因为 AC6， BC8，所以 AB 10，62 82所以 CD5.因为 EC平面 ABC， CD平面 ABC，所以 EC CD.所以 ED 13.EC2 CD2 122 529在 ABC 中， AB AC5， BC6， PA平面 ABC， PA8，则 P 到 BC 的距离是_考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 4 5解析 如图所示，作 PD BC 于点 D，连接 AD. PA平面 ABC， PA BC.又 PD PA P， CB平面 PAD， AD BC.在 ACD 中， AC5， CD3， AD4.在 Rt PAD 中， PA8， AD4
24、， PD 4 .82 42 510已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： m n； ； n ； m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：15_.(用序号表示)考点 题点 答案 (或)解析 当 m ， m n 时，有 n 或 n .当 n 时， ，即或当 ， m 时，有 m 或 m ，当 n 时， m n，即.11已知三棱锥 D ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB AC ， BC2，则二面角3D BC A 的大小为_考点 二面角题点 求二面角的大小答案 90解析 如图，由题意知 AB AC BD CD ，
25、BC AD2.3取 BC 的中点 E，连接 DE， AE，则 AE BC， DE BC，所以 DEA 为所求二面角的平面角易得 AE DE ，2又 AD2，所以 DEA90.三、解答题12如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP AB2， BC2 ， E， F 分别是 AD， PC 的中点证明： PC平面 BEF.2考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 如图，连接 PE， EC，16在 Rt PAE 和 Rt CDE 中， PA AB CD， AE DE， PE CE，即 PEC 是等腰三角形又 F 是 PC 的中点， EF PC
26、.又 BP 2 BC， F 是 PC 的中点，AP2 AB2 2 BF PC.又 BF EF F， BF， EF平面 BEF， PC平面 BEF.13如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， E 为 BB1的中点，求证：截面 A1CE侧面 ACC1A1.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 如图所示，取 A1C 的中点 F， AC 的中点 G，连接 FG， EF， BG，则 FG AA1，且GF AA1.12因为 BE EB1， A1B1 CB， A1B1E CBE90，所以 A1B1E CBE，所以 A1E CE.因为 F 为 A1C 的中点，所以 EF A1
27、C.又 FG AA1 BE， GF AA1 BE，且 BE BG，1217所以四边形 BEFG 是矩形，所以 EF FG.因为 A1C FG F， A1C， FG平面 ACC1A1，所以 EF侧面 ACC1A1.又因为 EF平面 A1CE，所以截面 A1CE侧面 ACC1A1.四、探究与拓展14在正四面体 P ABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A BC平面 PDF B DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC考点 平面与平面垂直的判定题点 判定两平面垂直答案 C解析 如图所示， BC DF， BC平面
28、 PDF，A 正确由 BC PE， BC AE， PE AE E，得 BC平面 PAE， DF平面 PAE，B 正确平面 ABC平面 PAE(BC平面 PAE)，D 正确15.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AD AA11， AB2，点 E 在棱 AB 上移动(1)证明： D1E A1D；(2)求 AE 等于何值时，二面角 D1 EC D 的大小为 45？考点 二面角题点 看图索角(1)证明 连接 D1A， D1B.18在长方形 A1ADD1中， AD AA11，四边形 A1ADD1为正方形， A1D AD1.又由题意知 AB A1D，且 AB AD1 A， A1D平面 ABD1. D1E平面 ABD1， A1D D1E.(2)解 过 D 作 DF EC 于点 F，连接 D1F. D1D平面 DB， EC平面 DB， D1D EC.又 DF D1D D， EC平面 D1DF. D1F平面 D1DF， EC D1F， DFD1为二面角 D1 EC D 的平面角， DFD145，又 D1DF90， D1D1， DF1.在 Rt DFC 中， DC2， DCF30， ECB60.在 Rt EBC 中， BC1， EB ， AE2 .3 3
