1、专题五 函数压轴题,函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题； 二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题解答 动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运 动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图 象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做， 逐步分析求解，最后汇总成最终答案,函数压轴题是德州市中考的必考点，自2013年考情变化 至2016年，都是把二次函数的综合题作为整套试卷的压轴题，除此之外，动点函数图象问题也作为选择题的压轴题进行考 查德州市近五年中考对此问题的考查：2017年中考试题第 22题考查了二次函数的实际应用问题；2016年中考试题第24
2、 题考查了二次函数动点问题；2015年中考试题第12题考查了 动点函数图象问题，第24题考查了二次函数存在点问题；,2014年中考试题第24题考查了二次函数的动点问题；2013年 中考试题第24题考查了二次函数相似、存在点问题,类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动 情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问 题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起 了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系 式，最后根据函数关系式判断图象的变化,例1 (2016济南)如图，在四边形ABCD中，ABCD，B 90，ABAD5，BC4，M，N，E分别是AB
3、，AD，CB上的 点，AMCE1，AN3.点P从点M出发，以每秒1个单位长 度的速度沿折线MBBE向点E运动，同时点Q从点N出发，以 相同的速度沿折线NDDCCE向点E运动，当其中一个点到达 后，另一个点也停止运动设APQ的面积为S，运动时间 为t s，则S与t之间的函数关系的大致图象为( ),【分析】 由点Q从点N出发，沿折线NDDCCE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象,【自主解答】 如图，过点D作DFAB于点F，过点Q作QGAB于点G， 当0t2时，点Q在线段ND上
4、ABCD，B90， 四边形BCDF是矩形， DFBC4， AF 3，,DCBF2， AQANNQ3t，APAMMP1t. QGDF，AQGADF，且当t2时，点Q恰好运动到点D，S6；,当2t4时，点Q在线段DC上， S APBC (1t)42t2； 当4t5时，点P，Q均在BC上运动，BPCQt4， PQBCBPCQ122t， S ABPQ 5(122t)5t30，且t5 时，点Q运动点E后停止运动，此时S5.,综上所述，S由函数关系式，S与t之间的函数关系的大致图象为C或D. t2时，S6；t5时，S5，65， S与t之间的函数关系的大致图象为D.故选D.,1如图，ABC是等腰直角三角形，
5、C90，ACBC， AB4，D为AB上的动点，DPAB交折线ACB于点P.设AD x，ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是( ),B,2(2016烟台)如图，O的半径为1，AD，BC是O的两 条相互垂直的直径，点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿 OCD的路线运动设APx，sinAPBy，那么y与x之间的 关系图象大致是( ),C,类型二 二次函数的实际问题作为2017年德州中考试题的重大变化，二次函数近几 年首次没有作为压轴题出现，而是出现在二次函数的实际 应用中解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并 写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续 的问题一般来说，选择的坐
6、标系不同，得出的解析式必 然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往 显得尤为重要,例2 (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行 的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1 m的P处发 出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函 数解析式ya(x4)2h，已知点O与球网的水平距离为5 m， 球网的高度为1.55 m.,(1)当a 时，求h的值；通过计算判断此球能否过 网 (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m， 离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值,【分析】 (1)将点P(0，1)代入y (x4)2h即可 求得h；求出
7、x5时，y的值，与1.55比较即可得出判断； (2)将(0，1)，(7， )代入ya(x4)2h代入即可求得 a，h. 【自主解答】 (1)当a 时，y (x4)2h， 将点P(0，1)代入，得 16h1，解得h .,把x5代入y (x4)2 ，得 y (54)2 1.625. 1.6251.55，此球能过网 (2)把(0，1)，(7，)代入ya(x4)2h，得,3(2017沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品， 如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销 售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每 提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_元时， 才能在半月
8、内获得最大利润,35,4(2017青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两 种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨 .下表是去年该 酒店豪华间某两天的相关记录：,(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？ (2)今年旺季来临，豪华间的间数不变经市场调查发现， 如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如 果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增 加1间不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少 元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？,解：(1)设该酒店豪华间有x间，淡季每间价格为y元，则旺 季每间价格为(1 )y， 由题意可得 解得 (1 )y800. 答
9、：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元,(2)设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总 收入为y元， 由题意可得yx(50 1) x282x， 当x 1 025时，y最大为42 025， 该酒店豪华间上涨的价格为1 025800225(元) 答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收 入最高，最高日总收入为42 025元,类型三 二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问 题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用 待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存 在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平 行四边形、圆等知识
10、综合解答，计算量很大，且题目较为 综合,例3 (2017泰安)如图，是将抛物线yx2平移后得到的 抛物线，其对称轴为x1，与x轴的一个交点为A(1，0)， 另一交点为B，与y轴的交点为C. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；,(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y x 的图象 上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否 存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明 理由,【分析】 (1)设出顶点式，利用待定系数法求函数解析 式；(2)易证OBC是等腰直角三角形，过点N作NHy轴， 根据CHNH即可列方程求解；(3)四边
11、形OAPQ是平行四边 形，则PQOA1，且PQOA，设P点坐标，代入y x 即可求解 【自主解答】 (1)设抛物线的解析式为y(x1)2k. A(1，0)在抛物线上，,0(11)2k，k4， 抛物线的解析式为y(x1)24x22x3. (2)当x0时，y(01)243， 点C(0，3)，OC3. 又B(3，0)， BOC为等腰直角三角形， OCB45.,如图，过点N作NHy轴，垂足为H， NCB90，NCH45， NHCH， HOOCCH3CH3NH， 则设点N为(a，a22a3)， a3a22a3， 解得a0(舍去)或a1， N(1，4),(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQOA1， 且
12、PQOA， 设P(t，t22t3)，则Q(t1，t22t3) 将点Q(t1，t22t3)代入y x ，得 t22t3 (t1) ， 整理得2t2t0， 解得t10，t2 .,t22t3的值为3或 . 点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或,5(2016襄阳)如图，已知点A的坐标为(2，0)，直线y x3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点 为D的抛物线yax2bxc过A，B，C三点 (1)求出B，C两点的坐标、抛物线的解析式及顶点D的坐标；,(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛 物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边 形DEFP为平行四边形
13、，求点P的坐标,解：(1)令x0，代入y x3， y3，C(0，3) 令y0，代入y x3，x4，B(4，0) 设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)， 把C(0，3)代入得8a3，a ， 抛物线的解析式为y x2 x3， 顶点D的坐标为(1， ),(2)当DPBC时，此时四边形DEFP是平行四边形 设直线DP的解析式为ymxn， 直线BC的解析式为y x3， m ， y xn. 把D(1， )代入y xn，得n ， 直线DP的解析式为y x .,联立 解得x3或x1(舍去)， 把x3代入y x ，得y ， 点P的坐标为(3， ),6(2017潍坊)如图，抛物线yax2bxc经过平行四边形 A
14、BCD的顶点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的 另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积 相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物 线上一动点，设点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式； (2)当t为何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；,(3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的 值；若不存在，说明理由,解：(1)将点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bx c，得抛物线的解析式为yx22x3.,(2)直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分， l必过其对称中心 由点A，D知，对称轴为
15、x1，E(3，0)， 设直线l的解析式为ykxm，代入点 和(3，0)得,直线l的解析式为 由 如图，作PHx轴，交l于点M，作FNPH. 点P的纵坐标为yPt22t3， 点M的纵坐标为,PMyPyMt22t3 则SPFESPFMSPEM PMFN PMEH PM(FNEH)当 时，PFE的面积最大，最大值的立方根为,(3)由图可知PEA90. 若P1AE90，作P1Gy轴， OAOE，OAEOEA45， P1AGAP1G45，P1GAG， tt22t33，即t2t0， 解得t1或t0(舍去),若AP2E90，作P2Kx轴，AQP2K， 则P2KEAQP2， 即t2t10， 解得 综上可知，t1或t 时，存在点P使PAE为直角三角形,
