1、4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派 10 名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为 m，乙班“口语王”人数为 n，比较 m，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取 2 人，记 X 为来自甲班“口语王 ”的人数，求 X 的分布列和期望.解 (1)因为 甲 80，所以 m4，x60 72 75 77 80 80 84 88 91 9310乙 79，所以 n5，所以 mn.x61 64 70 72 73 85 86 88 94 9710(2)X 取 0，1，2，所以 P(X0) ，C04C
2、25C29 518P(X1) ，C14C15C29 59P(X2) ，C24C05C29 16所以 X 的分布列为X 0 1 2P 518 59 16所以 E(X)0 1 2 .518 59 16 892.(2017 届重庆市第一中学月考 )为了解我校 2017 级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级 2 000 名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：校区 愿意参加 不愿意参加重庆一中本部校区 220 980重庆一中大学城校区 80 720(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取 15 人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学
3、组织摸底考试，考试共有 5 道题，每题 20 分，对于这 5 道题，考生“如花姐”完全会答的有 3 题，不完全会的有 2 道，不完全会的每道题她得分 S 的概率满足：P( S6k) ，k1，2，3，假设解答各题之间没有影响，4 k6对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望 E(S)；试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.解 (1)大学城校区应抽取 15 4( 人).80220 80(2)由题知：对一道不完全会的题， “如花姐”得分的分布列为 P(S6k ) ，k1，2， 3，4 k6即S 6 12 18P 12 13 16所以对于一道不完全会的题， “如花姐”得分的期望为E(S)6
4、12 18 10.12 13 16记 为 “如花姐”做 2 道不完全会的题的得分总和，则 12 ，18，24，30，36，P(12) ；12 12 14P(18) 2 ；12 13 13P(24) 2 ；12 16 13 13 518P(30) 2 ；13 16 19P(36) ；16 16 136E()12 18 24 30 36 20.14 13 518 19 136所以“如花姐”最后得分的期望为 203E() 80.3.(2017云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳 不
5、喜欢游泳 合计男生 10女生 20合计已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 .35(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的 100 名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取 6人成立游泳科普知识宣传组，并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为 X，求 X 的分布列和期望.下面的临界值表仅供参考：P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6
6、35 7.879 10.828参考公式：K 2 ，其中 nab cd.nad bc2a bc da cb d解 (1)因为从 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率 为 ，35所以喜欢游泳的学生人数为 100 60.35其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列 联表补充如下：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 40 10 50女生 20 30 50合计 60 40 100因为 K2 16.6710.828.1004030 2010260405050所以有 99.9%的把握认为喜欢 游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共 60 人，按分层抽样抽取 6 人，则每个个体被抽到的概率均为 ，
7、110从而需抽取男生 4 人，女生 2 人.故 X 的所有可能取值为 0，1，2.P(X0) ，C2C26 115P(X1) ，C14C12C26 815P(X2) ，C24C26 615 25所以 X 的分布列为X 0 1 2P 115 815 25E(X)0 1 2 .115 815 25 434.(2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(， 2).(1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (
8、3，3)之外的零件数，求 P(X1)及 X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3， 3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 i9.97，s 0.212，其中 xi为抽x 11616i 1x11616i 1xi x 2 11616i 1x2i 16x
9、2取的第 i 个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否x 需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据，用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).附 ： 若 随 机 变 量 Z 服 从 正 态 分 布 N(， 2)， 则 P( 3Z 3) 0.997 4， 0.997 416 0.959 2， 0.09.0.008解 (1)抽取的一个零件的尺寸在( 3，3) 之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为 0.002 6，故 XB(16，0.002 6).因此 P(X1)1P(X
10、0) 10.997 4 160.040 8.X 的期望 E(X)160.002 60.041 6.(2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在 (3 ，3)之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 (3 ，3 )之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进 行检查，可 见上述监控生产过 程的方法是合理的.()由 9.97，s0.212，得 的估计值 9.97， 的估计值 0.212，由样本数据可以看出有x 一个零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外，因此需
11、 对当天的生产过程进行检查. 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数 为 (169.979.22)10.02. 115因此 的估计值为 10.02.160.212 2169.97 21 591.134.16i 1x2i剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的 样本方差为 (1 115591.1349.22 21510.02 2)0.008，因此 的估计值为 0.09.0.0085.(2017重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对 50 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 30 名男性驾驶员中，平
12、均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 10 人.在 20 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 5 人，不超过 100 km/h 的有 15 人.(1)完 成 下 面 的 列 联 表 ， 并 判 断 是 否 有 99.5%的 把 握 认 为 平 均 车 速 超 过 100 km/h 的 人 与 性 别 有 关 ；平均车速超过 100 km/h 人数平均车速不超过 100 km/h 人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为女性且车速不
13、超过 100 km/h 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和期望.参考公式：K 2 ，其中 nab cd.nad bc2a bc da cb d参考数据：P(K2k 0) 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解 (1)平均车 速超过 100 km/h 人数 平均车速不超过 100 km/h 人数 合计男性驾驶员人数 20 10 30女性驾驶员人数 5 15 20合计 25 25 50K 2 8.3337.879，502015 1052302
14、02525 253有 99.5%的把握认为平均车 速超过 100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为女性且车速不超过 100 km/h 的车辆的概率为 .1550 310 的可能取 值为 0，1，2，3，且 B ，(3，310)P( 0)C 0 3 ，03(310)(710) 3431 000P(1)C 1 2 ，13(310)(710) 4411 000P(2)C 2 1 ，23(310)(710) 1891 000P(3)C 3 0 ，3(310)(710) 271 000 的分布列 为 0 1 2 3P 3431
15、 000 4411 000 1891 000 271 000E()0 1 2 3 0.9 或 E()np3 0.9.3431 000 4411 000 1891 000 271 000 910 3106.(2017 届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对 100 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值 85，标准差 2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于 3 或车速大于 2 是需矫正速度.(1)从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，求该车辆是需矫正速度的概率；(2)从样
16、本中任取 2 个车辆，求这 2 个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取 2 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和期望.解 (1)记事件 A 为“从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，该车辆是需矫正速度”.因为 378.4 ，289.4，由样本条形图可知，所求的概率 为P(A)P(x3) P(x2) P(x78.4)P( x89.4) .1100 4100 120(2)记事件 B 为“从样本中任取 2 个车辆，这 2 个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为 100，又需 矫正速度个数为 5，故所求概率为 P(B) .C25C2100 1495(3)需矫正速度的个数 服从二项分布，即 B ，(2，120)所以 P C 0 2 ，( 0) 02(120)(1920) 361400P C 1 1 ，( 1) 12(120)(1920) 19200P C 2 0 ，( 2) 2(120)(1920) 1400因此 的分布列为 0 1 2P 361400 19200 1400由 B 知，期望 E()2 .(2，120) 120 110
