1、3.立体几何1.(2017全国)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD，AB BD.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAE C 的余弦值.(1)证明 由题设可得ABD CBD.从而 ADCD，又ACD 为直角三角形，所以ADC90，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC ，DOAO，又因为ABC 是正三角形，故 BOAC ，所以DOB 为 二面角 DAC B 的平面角，在 Rt AOB 中，BO 2OA 2AB 2，又 A
2、BBD ，所以 BO2DO 2BO 2AO 2AB 2BD 2，故DOB90，所以平面 ADC平面 ABC.(2)解 由题设及(1)知，OA，OB， OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向， 为 z 轴正方向， | |为单位长度，建立如图所示的空OA OB OD OA 间直角坐标系 Oxyz，则 O(0，0，0)，A ，D ，B ，C(1， 0，0)，(1，0，0) (0，0，1) (0，3，0)由题意知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D12到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得
3、E ，12 (0，32，12)故 ， ， .AE ( 1，32，12) AD ( 1，0，1) OA (1，0，0)设平面 AED 的法向量为 n1(x 1，y1，z1)，平面 AEC 的法向量为 n2(x 2，y2，z2)，则Error!解得 n1 ，(1，33，1)Error!解得 n2(0，1， )，3设二面角 DAEC 为 ，易知 为锐角，则 cos .|n1n2|n1|n2| 772.(2017河南百校联盟模拟)在如图所示的直三棱柱 ABC A1B1C1 中，D ，E 分别是BC，A 1B1 的中点 .(1)求证：DE 平面 ACC1A1；(2)若 ABBC，ABBC，ACB 160
4、，求直线 BC 与平面 AB1C 所成角的正切值.(1)证明 取 AB 中点 F，连接 DF，EF.在ABC 中，因为 D，F 分别为 BC，AB 的中点，所以 DFAC，又 DF平面 ACC1A1，AC平面 ACC1A1，所以 DF平面 ACC1A1.在矩形 ABB1A1 中，因为 E，F 分别为 A1B1，AB 的中点，所以 EFAA 1，又 EF平面 ACC1A1，AA1平面 ACC1A1，所以 EF平面 ACC1A1.因为 DFEFF，所以平面 DEF平面 ACC1A1.因为 DE平面 DEF，故 DE 平面 ACC1A1.(2)解 因为三棱柱 ABCA 1B1C1为直三棱柱，所以 B
5、C BB1，又 ABBC，ABBB 1B，所以 BC平面 ABB1A1.因为 ABBC，BB 1BB 1，所以ABB 1CBB 1，AB1CB 1，又ACB 160，所以AB 1C 为正三角形，所以 AB1 AC AB，所以 BB1AB.AB2 BB21 2取 AB1 的中点 O，连接 BO，CO，所以 AB1BO ，AB1CO，所以 AB1平面 BCO，所以平面 AB1C平面 BCO，点 B 在平面 AB1C 上的射影在 CO 上，所以BCO 即为直线 BC 与平面 AB1C 所成的角.在 Rt BCO 中，BO AB BC，22 22所以 tanBCO .BOBC 223.(2017中原名
6、校豫南九校模拟) 如图，在矩形 ABCD 中，AB1，ADa，PA平面ABCD，且 PA 1，E，F 分别为 AD，PA 的中点，在 BC 上有且只有一个点 Q，使得PQQD .(1)求证：平面 BEF平面 PDQ；(2)求二面角 EBFQ 的余弦值.(1)证明 方法一 (向量法)以 A 点为原点，分 别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴，z 轴的正方AB AD AP 向，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，a，0)，P(0，0，1)，设 Q(1，x，0)，则 (1，x ，1) ， ( 1， ax ，0)，PQ QD 若 PQQD ，则 1 x (
7、ax)0，PQ QD 即 x2ax10，a 240，a2，x1.Q ， ，(1，1，0) QD ( 1，1，0)又 E 是 AD 的中点，E ， ，(0，1，0) BE ( 1，1，0) ，QD BE BEDQ，又 BE平面 PDQ，DQ平面 PDQ，BE平面 PDQ，又 F 是 PA 的中点，EFPD ，EF平面 PDQ，PD平面 PDQ，EF平面 PDQ，BEEFE，BE，EF 平面 BEF，平面 BEF平面 PDQ.方法二 (几何法)题意转化为矩形 ABCD 中 AQ 垂直于 QD 的点 Q 只有一个， 则以 AD 为直径的圆与线段 BC 相切，易得 BC2， Q 是线段 BC 的中点，
8、由 BEQD，EFDP，易得两平面平行.(2)解 设平面 BFQ 的一个法向量 m ，(x，y，z)则 m m 0，BF BQ 由(1)知， ， ，BF ( 1，0，12) BQ (0，1，0)x zy0，12取 z2，得 m ，(1，0，2)同样求得平面 BEF 的一个法向量 n ，cosm，n ，(1，1，2)mn|m|n| 306二面角 EBF Q 为锐角，二面角 EBF Q 的余弦值为 .3064.(2017云南大理统测)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD底面ABCD，且 PA PD AD，E，F 分别为 PC，BD 的中点.22(1)求证：EF平面 PA
9、D；(2)在线段 AB 上是否存在点 G，使得二面角 CPD G 的余弦值为 ，若存在，请求出点33G 的位置；若不存在，请说明理由 .(1)证明 连接 AC，由正方形性质可知， AC 与 BD 相交于点 F，所以在PAC 中，EFPA ，又 PA平面 PAD，EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(2)解 取 AD 的中点 O，连接 OP，OF，因为 PAPD ，所以 POAD ，又因为侧面 PAD底面 ABCD，交线为 AD，所以 PO平面 ABCD，以 O 为原点，分别以射线 OA，OF 和 OP 为 x 轴，y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，不妨设 AD2，则 P ，D
10、 ，C ，假 设在 AB 上存在点 G ，0a2，(0，0，1) ( 1，0，0) ( 1，2，0) (1，a，0)则 ， ， .PC ( 1，2， 1) PD ( 1，0， 1) DG (2，a，0)因为侧面 PAD底面 ABCD，交线为 AD，且底面是正方形，所以 CD平面 PAD，则 CDPA，由 PA2PD 2AD 2，得 PD PA，又 PDCDD，PD，CD平面 PDC，所以 PA平面 PDC，即平面 PDC 的一个法向量为 (1，0，1).PA 设平面 PDG 的法向量 为 n(x， y，z)，由Error!即Error!亦即Error!可取 n(a，2，a).所以|cos ，n
11、| ，PA |PA n|PA |n| 2a24 2a2 33解得 a1 或 a1(舍去).所以线段 AB 上存在点 G，且 G 为 AB 的中点，使得二面角 CPDG 的余弦值为 .335.(2017吉林长春检测)已知三棱锥 ABCD 中，ABC 是等腰直角三角形，且ACBC，BC2，AD平面 BCD，AD1.(1)求证：平面 ABC平面 ACD；(2)若 E 为 AB 的中点，求二面角 ACE D 的余弦值.(1)证明 因为 AD平面 BCD，BC平面 BCD，所以 ADBC，又因为 ACBC，ACADA，AD，AC 平面 ACD，所以 BC平面 ACD，又 BC平面 ABC，所以平面 AB
12、C平面 ACD.(2)解 由已知可得 CD ，如 图所示建立空间直角坐标 系，3由已知 C(0，0，0)，B(0，2，0)，A( ，0，1)，D( ，0，0)，E ，3 3 (32，1，12)则 ， ( ，0，1)， ( ，0，0)，CE ( 32，1，12) CA 3 CD 3设平面 ACE 的法向量 n(x 1，y1，z1)，则Error!Error!令 x11，得 n(1，0， )，3设平面 CED 的法向量 m(x 2，y2，z2)，则Error!Error!令 y21，得 m(0 ，1，2)，二面角 ACED 的余弦值 cosm，n .|nm|n|m| 2325 1556.(2017
13、福建厦门模拟)如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，ADDCCB1，ABC60，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE平面 ABCD，CF 1.(1)求证：BC平面 ACFE；(2)点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角为 ，试求 cos ( 90) 的取值范围.(1)证明 在梯形 ABCD 中，因为 ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以 AB 2，所以 AC2AB 2BC 22AB BCcos 603，所以 AB2AC 2BC 2，所以 BCAC.因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCD AC，BC平面 ABCD，所以 BC平
14、面 ACFE.(2)解 建立以直线 CA，CB，CF 为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系如图所示，令 FM(0 )，3则 C(0，0，0)，A( ，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，3所以 ( ，1，0)， (， 1，1)，AB 3 BM 设 n1(x，y，z)为平面 MAB 的一个法向量，由Error!得Error!取 x1，所以 n1(1， ， )，3 3因为 n2(1 ，0，0)是平面 FCB 的一个法向量.所以 cos .|n1n2|n1|n2| 11 3 3 21 1 32 4因为 0 ，所以当 0 时， cos 有最小值 ，377当 时，cos 有最大值 .所以 cos .312 77，12
